Apresentamos uma revisão pedagógica sobre as simetrias galileanas, seus desenvolvimentos e o interesse atual na geometria do espaço-tempo não-relativístico para fins de aplicação. Inicialmente tratamos de alguns aspectos históricos e seguimos com a definição do grupo de Galilei; nos concentramos depois na noção de covariância Galileana. Enfatizamos o estudo de representações que levam a equações da mecânica quântica não-relativística, como a equação de Schrödinger para partículas de spin zero e a equação de Pauli-Schrödinger para partículas de spin 1/2. A forma como as representações são construídas torna evidente, para fins pedagógicos, que conceitos como o spin, não são efeitos tipicamente relativísticos, como aparecem em alguns textos sobre mecânica quântica. Por outro lado, reforçamos a importância da estrutura tensorial (geométrica) para aplicações em sistemas não-relativísticos, como no caso da física da matéria condensada.
Apresentamos uma revisão pedagógica sobre as simetrias galileanas, seus desenvolvimentos e o interesse atual na geometria do espaço-tempo não-relativístico para fins de aplicação. Inicialmente tratamos de alguns aspectos históricos e seguimos com a definição do grupo de Galilei; nos concentramos depois na noção de covariância Galileana. Enfatizamos o estudo de representações que levam a equações da mecânica quântica não-relativística, como a equação de Schrödinger para partículas de spin zero e a equação de Pauli-Schrödinger para partículas de spin 1/2. A forma como as representações são construídas torna evidente, para fins pedagógicos, que conceitos como o spin, não são efeitos tipicamente relativísticos, como aparecem em alguns textos sobre mecânica quântica. Por outro lado, reforçamos a importância da estrutura tensorial (geométrica) para aplicações em sistemas não-relativísticos, como no caso da física da matéria condensada.
Resumo Considerando aspectos gerais do movimento, o conteúdo de simetrias de Lie é deduzido como uma estrutura central para as teorias mecânicas. Este aparato algébrico está relacionado ao princípio variacional de Schwinger, que por vez, associa-se à formulação de Feynman, como é bem conhecido. É neste âmbito de simetrias que diferentes representações da mecânica quântica não-relativística são abordadas. A primeira, e mais natural neste contexto, é a formulação de Liouville-von Neumann em termos da matriz de densidade. Procurando soluções da equação de Liouville-von Neumann, a representação que se estabelece na equação de Schrödinger é obtida como um teorema. Neste caso, enfatizamos o significado da álgebra de Heisenberg na construção dos geradores do grupo de Galilei. Este procedimento, baseado apenas em simetrias, traz uma outra perspectiva de se abordar um problema antigo, mas ainda não completamente resolvido: a relação de Heisenberg para o observável tempo e o gerador de translação no tempo (o Hamiltoniano). A partir da matriz de densidade, a representação da mecânica quântica no espaço de fase, proposta por Wigner, é discutida, o que leva a representação simplética da mecânica quântica. A apresentação mais geral da mecânica quântica é estruturada no espaço de Fock, que aqui é abordado nesse contexto de simetrias. Como consequência, para qualquer tipo de de representação, a mecânica quântica é basicamente uma teoria quântica de campos. Esta interpretação se estabelece por consistência e conduz a soluções de certos problemas iniciais da mecânica quântica, como a noção de onda-partícula e o princípio da complementaridade.
Este Volume III desenvolve uma formulação geométrica completa da mecânica quântica, demonstrando que os fenômenos quânticos emergem da própria estrutura do espaço-tempo, demonstramos que as equações de campo de Einstein — quando interpretadas no domínio espectral e levando em conta coerência de fase — já contêm toda a estrutura da quantização. A mecânica quântica aparece não como axioma, mas como consequência geométrica. Baseado nos resultados experimentais e matemáticos consolidados nos Volumes~0, I e II, o presente trabalho mostra que a quantização não precisa ser postulada: ela surge inevitavelmente de três elementos geométricos fundamentais — frequência própria, transporte paralelo e coerência de fase. A ação aparece como fase acumulada ao longo da linha de universo e sua discretização em janelas de coerência, derivada sem hipóteses externas, conduz naturalmente à condição Sn=nh e a toda a fenomenologia quântica associada. Derivamos a equação de Schrödinger como limite de janelas curtas, obtemos o comutador [x,p]=iℏ da incompatibilidade entre sincronizações espaço-temporais, e reinterpretamos interferência, propagadores e decoerência como propriedades espectrais do transporte paralelo. O espaço de Hilbert surge como espaço espectral da métrica, observáveis correspondem a geradores de deformações isométricas, enquanto o colapso é compreendido como seleção geométrica de subespaços coerentes. O formalismo estende-se a partículas relativísticas, spin, estatísticas quânticas, equação de Dirac, osciladores harmônicos e quantização de campos, onde modos espectrais da métrica assumem o papel de partículas: fótons como 1-formas harmônicas, modos fracos como conexões de 2-formas, glúons como 3-formas e o Higgs como modo fundamental de curvatura escalar. A reinterpretação do Modelo Padrão torna-se assim uma consequência direta da geometria espectral. O Volume culmina no Teorema Central — Geometria = Quantização — mostrando que toda a estrutura quântica é uma manifestação da granularidade espectral do espaço-tempo. Concluímos com previsões experimentais e critérios de falsificação, bem como com a estrutura conceitual necessária para o Volume~IV, dedicado à quantização completa da métrica dentro do mesmo paradigma.
Neste trabalho estudamos inicialmente o surgimento de fases geometricas nas dinâmicas quânticas relativistica e nao-relativistica de uma particula neutra que possui momento de
dipolo magnetico e eletrico permanente interagindo com campos eletricos e magneticos externos
na presenca de defeitos topologicos lineares. Para descrevermos defeitos topologicos
lineares usamos a aproximacao proposta por Katanaev e Volovich, onde defeitos lineares em solidos sao descritos por elementos de linha que sao solucoes das equacoes de Einstein
no contexto da relatividade geral. Analisamos tambem a
inuencia de efeitos nao-inerciais na dinâmica quântica de uma particula neutra em dois tipos distintos de referenciais para
os observadores: um e o referencial de Fermi-Walker e outro e um referencial girante.
Vemos que a diferenca entre dois referenciais esta na presenca/ausencia de efeitos de arrasto
do espaco-tempo que ira influenciar diretamente na mudanca de fase na funcaao de
onda da particula neutra. Em seguida, usamos nosso estudo de fases geometricas para
fazer aplicacoes na Computacao Quântica Holonomica onde mostramos uma nova maneira de implementar a Computacao Quântica Holonomica atraves da interacao entre momentos
de dipolo e campos externos e pela presenca de defeitos topologicos lineares. Outra
aplicacao para a Computacao Quântica Holonomica esta baseada na estrutura de defeitos
topologicos em um material chamado grafeno. Na presenca de defeitos topologicos lineares,
esse material apresenta duas fases quânticas de origens distintas: uma da mistura
dos pontos de Fermi e outra da topologia do defeito. Para dar uma descricao geometrica para a origem de cada fase no grafeno usamos a Teoria de Kaluza-Klein, onde a dimensao extra sugerida por esta teoria descreve os pontos de Fermi no grafeno. Portanto, a implementacao da Computacao Quântica Holonomica no grafeno esta baseada na possibilidade
de construir cones e anticones de grafite de tal maneira que se possa controlar os fluxos
quânticos no grafeno. Na ultima parte deste trabalho estudamos a quantizacao de Landau
para particulas neutras tanto na dinâmica nao-relativistica quanto na dinâmica relativistica. Na dinâmica nao-relativitica, estudamos a quantizacao de Landau na presenca
de defeitos em um referecial inercial e, em seguida, em um referencial naoo-inercial. Na
dinâmica relativistica, estudamos inicialmente a quantizacao de Landau no espaco-tempo
plano em duas configuracoes de campos diferentes. Por fim, estudamos a quantizacao de
Landau relativistica para particulas neutras no espaco-tempo da deslocacao cosmica.
O presente trabalho se destina a um estudo detalhado da chamada equação de spin, a qual pode ser utilizada para descrever o comportamento de sistemas de dois níveis. Para campos externos dados por funções reais, esta equação pode ser identificada com uma redução da equação de Pauli para o caso 0+1 dimensional. Inicialmente, demonstraremos a relação entre esta equação de spin e várias outras equações relacionadas com diversos problemas em física. Com estas relações, podemos construir novas soluções da equação de spin a partir do conhecimento de soluções exatas destes outros problemas e, por outro lado, estender a aplicação das soluções obtidas. Em seguida, descrevemos a forma geral da solução desta equação, construímos o operador de evolução e resolvemos o problema inverso, i.e., a determinação do campo externo supondo o conhecimento de uma solução. Finalizando, para o importante caso de campos externos reais, desenvolvemos um método de construção de novas soluções a partir de uma solução previamente conhecida, utilizando a chamada transformação de Darboux. Em particular, demonstramos a existência de operadores de entrelaçamento de Darboux, que não violam a estrutura específica dos sistemas de dois níveis, e permitem construir novos campos externos também dados por funções reais. Como resultado destes desenvolvimentos, apresentamos uma série de novas soluções exatas para a equação de spin.
Mesmo tratando a gravidade classicamente, a Teoria Quântica de Campos em Espaços Tempos Curvos (TQCEC) faz previsões impressionantes sobre o comportamento de campos quânticos na presença de campos gravitacionais. Entretanto, ao mesmo tempo em que nos revela efeitos surpreendentes, a TQCEC levanta uma série de questionamentos. O desenvolvimento de uma teoria na interface entre a teoria da relatividade, a mecânica quântica e a teoria da informação poderá não só lançar uma nova luz em tais questões como também nos permitir descobrir novos efeitos de gravitação quântica de baixas energias. Entretanto, os efeitos que a teoria da relatividade causa na teoria da informação quântica são não triviais já no espaço-tempo de Minkowski. Faz-se necessáaria portanto uma análise cuidadosa de tais efeitos já no contexto da relatividade especial. Sendo assim, estudamos primeiro o comportamento das desigualdades de Bell usando férmions de spin 1/2 e fótons quando os detetores que medem spin e polarização, respectivamente, movemse com certa velocidade. Além disso, usamos o limite de Holevo para estudar sistemas de comunicação quando as partes que trocam informação tem um movimento relativo. Como um desenvolvimento natural, estudamos diversos aspectos da teoria da informação quântica no contexto da teoria quântica de campos e, em particular, do efeito Unruh. Tais resultados nos permitiram prever o comportamento de qubits nas vizinhanças de um buraco negro de Schwarzschild
Estudamos a Mecânica Quântica não-relativística de sistemas físicos caracterizados pela presença de um grau de liberdade extra, que não comuta com a coordenada temporal. Na linguagem da Geometria Não-Comutativa, tratamos de sistemas descritos por uma álgebra da forma F(Q) X \\"A IND.\\"teta\\"\\"(R X \\"S POT.1\\"), onde F(Q) é a álgebra de funções sobre o espaço de configurações usual \\"Q\\" e \\"A IND.\\"teta\\"\\"(R X \\"S POT.1\\") é uma deformação de F(R X \\"S POT.1\\"), conhecida como cilindro não-comutativo. Do ponto de vista geométrico, os geradores do cilindro não-comutativo correspondem à coordenada temporal e a uma coordenada espacial (extra) compacta, em analogia com o caso das teorias do tipo Kaluza-Klein. Mostramos que, como resultado da não-comutatividade entre o tempo e a dimensão extra, a evolução temporal dos sistemas descritos por F(Q) X \\"A_t(R X S 1) é discretizada. Ao desenvolver a teoria de espalhamento para sistemas definidos nesse espaço-tempo, verificamos o aparecimento de um efeito inexistente no caso usual: transições entre um estado \\"in\\" com energia \\"E IND.\\"alfa\\"\\" e um estado \\"out\\" com energia \\"E IND.\\"beta\\"\\" (diferente de \\"E IND.\\"alfa\\"\\") passam a ser possíveis. Mais especificamente, transições serão possíveis sempre que \\"E IND.\\"beta\\" -\\" E IND.\\"alfa\\" = 2\\"pi\\"/\\"teta\\"n, com n \\'PERTENCE A\\' aos inteiros. As conseqüências desse fato são investigadas de maneira qualitativa, no caso específico de uma barreira uni-dimensional do tipo delta. Essa análise é baseada na aproximação de Born para a matriz de transição