On etudie les representation equivalents de l'equation de Dirac a l'aide de generalisations de la transformation de Foldy-Wouthuysen. On decrit et on compare les differentes methodes de diagonalisation de l'Hamiltonien de Dirac libre ou avec interaction. Des applications montrent l'interet des transformations exprimees sous forme fermee. On discute la definition et l'interpretation des observables, conduisant a distinguer le centre de charge du centre de masse. On resout les difficultees liees aux interactions dependant du temps. On traite les transformations generales conduisant a des representations equivalentes de l'equation de Dirac. On decrit les transformations unitaires soit comme des rotations dans un espace a 2 ou 3 dimensions, soit sous forme parametrique ; Une methode permet de passer d'un Hamiltonien initial donne a un Hamiltonien de forme differente, moyennant certaines contraintes. On met l'accent sur les formes diagonisables. On compare les tranformations de Foldy-Wouthuysen generalisees et celles de Lorentz. Il n'y a pas d'equivalence possible mais toutes sont des cas particuliers de transformations plus generales liees au groupe de Sitter
On etudie les representation equivalents de l'equation de Dirac a l'aide de generalisations de la transformation de Foldy-Wouthuysen. On decrit et on compare les differentes methodes de diagonalisation de l'Hamiltonien de Dirac libre ou avec interaction. Des applications montrent l'interet des transformations exprimees sous forme fermee. On discute la definition et l'interpretation des observables, conduisant a distinguer le centre de charge du centre de masse. On resout les difficultees liees aux interactions dependant du temps. On traite les transformations generales conduisant a des representations equivalentes de l'equation de Dirac. On decrit les transformations unitaires soit comme des rotations dans un espace a 2 ou 3 dimensions, soit sous forme parametrique ; Une methode permet de passer d'un Hamiltonien initial donne a un Hamiltonien de forme differente, moyennant certaines contraintes. On met l'accent sur les formes diagonisables. On compare les tranformations de Foldy-Wouthuysen generalisees et celles de Lorentz. Il n'y a pas d'equivalence possible mais toutes sont des cas particuliers de transformations plus generales liees au groupe de Sitter
On étudie les valeurs probables ou valeurs moyennes de diverees grandeurs opératorielles de la théorie de Dirac dans les états discrets des atomes hydrogénoïdes. Une discussion, en connexion avec ces valeurs moyennes, des composantes de la vitesse (dérivées temporelles des coordonnées de l'électron) et de l'accélération conduit à classer ces grandeurs avec les grandeurs intrinsèques (spin, moments magnétique et électrique) et les opérateurs à densité invariante en un groupe de grandeurs non observables. Celles-ci se présentent toujours sous la forme d'un produit de matrices fondamentales ou d'une combinaison linéaire de tels produits. Cette forme opératorielle serait une condition suffisante du caractère non observable. L'étude du moment magnétique atomique, opérateur de perturbation, permet d'écrire sous sa forme exacte l'opérateur du second ordre, en l'énergie, de Dirac qui a été donné toujours, en présence d'un champ extérieur, sous une forme légèrement inexacte. On montre, en même temps, que la masse intervient sous la forme opératorielle dans les opérations sur des grandeurs quantiques.
Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII. Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.
Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII. Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.
On a : ., Pour l'opérateur q = c-1 ~t, on a : Les deux termes extrêmes se détruisent, et comme Jo (koY) -~ 0 pour y --~ il vient tout simplement :On transforme d'abord la première intégrale du second membre de (5) en intégrale de surface; on additionne membre à membre (5) et (6), puis à l'égalité ainsi obtenue, on ajoute de part et d'autre la même quantitéLes expressions (4) et (7) forment ensemble une identité très générale concernant une fonction quelconque (xu, ct) .'Mais si les o/n sont des f onc- tions d'onde de Dirac% obéissant en l'absence de champ aux équations : le second membre de (7) se réduit à la seule intégrale de surface, soit : Les formules (4) et (8) constituent l'expression du Principe de HUYGENS en Mécanique Ondulatoire à quatre fonctions d'onde de DIRAC.Elles donnent o/n pour un point P situé à l'intérieur de la surface fermée S et zéro à l'extérieur.Les nu sont les composantes de la normale extérieure à la sur- face S. Dans le cas particulier des fonctions d'onde variant sinusoïdalement avec le temps, c'est-à-dire de la forme 03C8n (xu) eikct l'expression (8) s'écrit, après suppression du facteur eikct ;.
On essaie de construire la mécanique quantative relativiste en partant de l'hypothèse que toute grandeur physique possède quatre composantes dans l'espace-temps, qui sont fonctions d'un paramètre quadrivectoriel, point de l'espace-temps. Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l'algèbre et l'analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d'un paramètre quaternionien. L'auteur est ainsi amené à développer l'analyse quaternionienne. L'équation de Dirac s'obtient d'une manière simple et directe de la transformation la plus générale de Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement énergie P, lors du passage du système de l'observateur au système propre du corpuscule, en remplaçant dans cette transformation P par j/i ∂X + e/c A, conformément au postulat quantique. Pour parvenir aux équations de la mécanique quantique relativiste on admet que les éléments de matrice sont des quaternions, fonctions exponentielles du point de l'espace-temps. Les relations d'incertitude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la mécanique quantique quaternionienne conduisent, par ailleurs, à la formulation quadri-vectorielle du principe de Ritz, en accord parfait avec la théorie de la relativité.
La première partie de cette thèse traite des chaînes de spins quantiques. On étudie tout d'abord des systèmes de spins quantiques qui sont reliés de façon continue à la chaîne de Heisenberg s=1. La construction d'un modèle sigma non-linéaire permet d'estimer le gap de ces systèmes. On étudie ensuite une chaîne de spins s=1/2 dopée par des impuretés non-magnétiques possédant un spin nucléaire. A l'aide de techniques de bosonisation, on calcule analytiquement le temps de relaxation longitudinal d'une impureté en fonction de la température, corrections logarithmiques incluses. Ce type d'analyse est également mené sur un liquide de Luttinger chiral, modélisant par exemple un demi-fil quantique. La deuxième partie est consacrée aux systèmes désordonnées en basse dimension. Des liens formels sont éclaircis entre modèle désordonné sur réseau, fermions de Dirac en milieu aléatoire, chaînes de spins supersymétriques non-compactes et modèle sigma non-linéaire. Le détail des calculs est donné sur l'exemple de la transition entre plateaux de l'effet Hall quantique entier. On calcule ensuite exactement les densités d'états et les longueurs de localisation typiques d'un fermion de Dirac en dimension 1 dans des potentiels aléatoires de différentes natures. De nombreux modèles de théorie de la matière condensée, comme par exemple la chaîne XX désordonnée, se ramènent à ce système. Puis nous étudions les fermions de Dirac en dimension 2 en milieu aléatoire. Plus particulièrement, nous analysons le cas de fermions en masse aléatoire. Ce modèle décrit les excitations de basse énergie d'un supraconducteur d'onde d dont les impuretés sont magnétiques. Un diagramme de phase est proposé. Il s'articule autour du point tricritique des fermions de Dirac libres et fait apparaître une phase métallique thermique inattendue.