On a : ., Pour l'opérateur q = c-1 ~t, on a : Les deux termes extrêmes se détruisent, et comme Jo (koY) -~ 0 pour y --~ il vient tout simplement :On transforme d'abord la première intégrale du second membre de (5) en intégrale de surface; on additionne membre à membre (5) et (6), puis à l'égalité ainsi obtenue, on ajoute de part et d'autre la même quantitéLes expressions (4) et (7) forment ensemble une identité très générale concernant une fonction quelconque (xu, ct) .'Mais si les o/n sont des f onc- tions d'onde de Dirac% obéissant en l'absence de champ aux équations : le second membre de (7) se réduit à la seule intégrale de surface, soit : Les formules (4) et (8) constituent l'expression du Principe de HUYGENS en Mécanique Ondulatoire à quatre fonctions d'onde de DIRAC.Elles donnent o/n pour un point P situé à l'intérieur de la surface fermée S et zéro à l'extérieur.Les nu sont les composantes de la normale extérieure à la sur- face S. Dans le cas particulier des fonctions d'onde variant sinusoïdalement avec le temps, c'est-à-dire de la forme 03C8n (xu) eikct l'expression (8) s'écrit, après suppression du facteur eikct ;.
On a : ., Pour l'opérateur q = c-1 t, on a : Les deux termes extrêmes se détruisent, et comme Jo (koY) - 0 pour y --~ il vient tout simplement :On transforme d'abord la première intégrale du second membre de (5) en intégrale de surface; on additionne membre à membre (5) et (6), puis à l'égalité ainsi obtenue, on ajoute de part et d'autre la même quantitéLes expressions (4) et (7) forment ensemble une identité très générale concernant une fonction quelconque (xu, ct) .'Mais si les o/n sont des f onc- tions d'onde de Dirac% obéissant en l'absence de champ aux équations : le second membre de (7) se réduit à la seule intégrale de surface, soit : Les formules (4) et (8) constituent l'expression du Principe de HUYGENS en Mécanique Ondulatoire à quatre fonctions d'onde de DIRAC.Elles donnent o/n pour un point P situé à l'intérieur de la surface fermée S et zéro à l'extérieur.Les nu sont les composantes de la normale extérieure à la sur- face S. Dans le cas particulier des fonctions d'onde variant sinusoïdalement avec le temps, c'est-à-dire de la forme 03C8n (xu) eikct l'expression (8) s'écrit, après suppression du facteur eikct ;.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
Ce travail a pour but d'étudier les représentations des densités de valeur moyenne des seize matrices de Dirac en utilisant dans le cas de l'absence de champ deux représentations des solutions ondes planes monochromatiques, valables quelle que soit la détermination du système des quatre matrices α intervenant dans l'équation d'ondes, d'une part une représentation classique dont nous avons indiqué la forme générale dans un travail précédent, utilisant deux constantes arbitraires pour représenter l'amplitude des solutions à énergie positive et deux autres constantes arbitraires pour représenter l'amplitude des solutions à énergie négative, et d'autre part, une représentation utilisant les valeurs initiales des fonctions d'ondes. A partir de ces représentations des solutions, on peut construire des formes remarquables pour représenter les densités de valeur moyenne. Ces densités sont ensuite calculées en détail dans le cas de la représentation usuelle des matrices intervenant dans l'équation de Dirac.
On essaie de construire la mécanique quantative relativiste en partant de l'hypothèse que toute grandeur physique possède quatre composantes dans l'espace-temps, qui sont fonctions d'un paramètre quadrivectoriel, point de l'espace-temps. Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l'algèbre et l'analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d'un paramètre quaternionien. L'auteur est ainsi amené à développer l'analyse quaternionienne. L'équation de Dirac s'obtient d'une manière simple et directe de la transformation la plus générale de Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement énergie P, lors du passage du système de l'observateur au système propre du corpuscule, en remplaçant dans cette transformation P par j/i ∂X + e/c A, conformément au postulat quantique. Pour parvenir aux équations de la mécanique quantique relativiste on admet que les éléments de matrice sont des quaternions, fonctions exponentielles du point de l'espace-temps. Les relations d'incertitude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la mécanique quantique quaternionienne conduisent, par ailleurs, à la formulation quadri-vectorielle du principe de Ritz, en accord parfait avec la théorie de la relativité.
Comme en mécanique classique, la rotation en mécanique quantique est une transformation qui fait intervenir le moment cinétique. La différence avec la mécanique classique vient du fait que le moment cinétique est un opérateur vectoriel et non pas un vecteur ordinaire, et que ses composantes ne commutent pas deux-à-deux. Comme pour toute transformation en mécanique quantique, à chaque rotation est associé un opérateur qui agit dans l'espace des états. L'expression de cet opérateur de rotation dépend du type de rotation envisagée : rotation passive si on effectue une rotation du système de référence sans changer le système physique, rotation active si on laisse le système de référence inchangé mais on effectue une rotation sur le système physique. La première partie (Chaps. 1 et 2) de cet ouvrage traite ces deux aspects. Après avoir défini la transformation géométrique associée à la rotation la plus générale, on donne l'expression de l'opérateur de rotation dans chacun des deux cas. Les lois de transformation des champs scalaires, des champs de vecteurs et des champs de spineurs sont données ainsi que les lois de transformation des opérateurs scalaires, vectoriels et plus généralement des opérateurs de rang quelconque. La seconde partie (Chaps. 3 et 4) traite l'algèbre des moments angulaires. On définit les coefficients de couplage de 2, 3 et 4 moments angulaires ainsi que les coefficients de recouplage. La notion d'opérateur tensoriel irréductible, généralisation des opérateurs scalaire, vectoriel est introduite ainsi que le théorème de Wigner-Eckart. Les formules d'application dans des cas complexes sont données.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.