Cette thèse développe un cadre rigoureux qui permet de démontrer des représentations exactes associées à divers observables de la chaîne XXZ de Heisenberg de spin 1/2 à température finie. Il a était argumenté dans la littérature que l’énergie libre par site ou les longueurs de corrélations admettent des représentations intégrales où les intégrandes sont exprimées en termes de solutions d’équations intégrales non-linéaires. Les dérivations de ces représentations reposaient sur divers conjectures telles que l’existence d’une valeur propre de la matrice de transfert quantique, real, non-dégénérée, de module maximale, de l’échangeabilitée de la limite du volume infinie et du nombre de Trotter à l’infinie, de l’existence et de l’unicité des solutions des equation intégrales non-linéaires auxiliaires et finalement de l’identification des valeurs propers de la matrice de transfert quantiques avec les solutions de l’équations intégrales non-linéaires. Nous démontrons toutes ces conjectures dans le regime de haute température. Nôtre analyse nous permet aussi de démontrer que pour ces température suffisamment élevées, il est possible d’avoir une description d’un certain sous-ensemble de valeurs propres sous-dominante de la matrice de transfert quantique décrite en terme de solutions d’une chaîne de spin-1 de taille finie.
Cette thèse développe un cadre rigoureux qui permet de démontrer des représentations exactes associées à divers observables de la chaîne XXZ de Heisenberg de spin 1/2 à température finie. Il a était argumenté dans la littérature que l’énergie libre par site ou les longueurs de corrélations admettent des représentations intégrales où les intégrandes sont exprimées en termes de solutions d’équations intégrales non-linéaires. Les dérivations de ces représentations reposaient sur divers conjectures telles que l’existence d’une valeur propre de la matrice de transfert quantique, real, non-dégénérée, de module maximale, de l’échangeabilitée de la limite du volume infinie et du nombre de Trotter à l’infinie, de l’existence et de l’unicité des solutions des equation intégrales non-linéaires auxiliaires et finalement de l’identification des valeurs propers de la matrice de transfert quantiques avec les solutions de l’équations intégrales non-linéaires. Nous démontrons toutes ces conjectures dans le regime de haute température. Nôtre analyse nous permet aussi de démontrer que pour ces température suffisamment élevées, il est possible d’avoir une description d’un certain sous-ensemble de valeurs propres sous-dominante de la matrice de transfert quantique décrite en terme de solutions d’une chaîne de spin-1 de taille finie.
Approche rigoureuse aux modèles intégrable quantique à température finie Cette thèse développe un cadre rigoureux qui permet de démontrer des représentations exactes associées à divers observables de la chaîne XXZ de Heisenberg de spin 1/2 à température finie. Il a était argumenté dans la littérature que l’énergie libre par site ou les longueurs de corrélations admettent des représentations intégrales où les intégrandes sont exprimées en termes de solutions d’équations intégrales non-linéaires. Les dérivations de ces représentations reposaient sur divers conjectures telles que l’existence d’une valeur propre de la matrice de transfert quantique, real, non-dégénérée, de module maximale, de l’échangeabilitée de la limite du volume infinie et du nombre de Trotter à l’infinie, de l’existence et de l’unicité des solutions des equation intégrales non-linéaires auxiliaires et finalement de l’identification des valeurs propers de la matrice de transfert quantiques avec les solutions de l’équations intégrales non-linéaires. Nous démontrons toutes ces conjectures dans le regime de haute température. Nôtre analyse nous permet aussi de démontrer que pour ces température suffisamment élevées, il est possible d’avoir une description d’un certain sous-ensemble de valeurs propres sous-dominante de la matrice de transfert quantique décrite en terme de solutions d’une chaîne de spin-1 de taille finie.
Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ.
L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Intégrabilité quantique et chaînes de spins à longue portée L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.
Recouvrements d'états après une trempe quantique au bord dans la chaîne de spins XXZ intégrable L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.