Intégrabilité quantique et chaînes de spins à longue portée L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Intégrabilité quantique et chaînes de spins à longue portée L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.
Analyse et techniques avancées d'intégrabilité pour l'étude de chaînes quantiques de spins Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.
Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.