L'algorithme du groupe de renormalisation numerique dans l'espace reel utilisant la matrice de densite est applique a plusieurs problemes quantiques unidimensionnels. Pour la chaine de spin 2 quantique isotrope, le gap de haldane (0. 085(5)j) et la longueur de correlation (49(1)) sont calcules, ainsi que la limite thermodynamique non-nulle (0. 726(2)) d'un parametre d'ordre non-local generalise. Le diagramme de phase en presence des anisotropies uniaxiale et d'echange est donne, montrant l'evolution vers la limite classique. On trouve un diagramme tres different de celui pour spin 1, ce qui est en desaccord avec les predictions theoriques approximatives. Nous demontrons que le parametre d'ordre string non-local n'est pas sensible aux transitions pour spin 2, ce qui indique une difference profonde entre des chaines de spin entier avec spin 1 et spin plus grand que 1. Nous demontrons que le modele d'affleck-kennedy-lieb-tasaki, generique pour le modele de heisenberg, est, pour le cas de spin 1, un point de desordre dans la famille des chaines de spin 1 bilineaires-biquadratiques, dont il fait partie. Ce point est caracterise par un changement des correlations spin-spin, qui deviennent incommensurables. Il est le residu quantique d'une transition dans la limite classique de cette famille de chaines. Le modele aklt trouve ainsi sa signification physique. Dans l'etude d'une echelle de spins 1/2, nous confrontons les resultats d'une bosonisation avec les resultats numeriques: pour des petits couplages entre les chaines on s'attend a un changement d'un comportement critique vers un comportement massif. Nous demontrons que ce changement a lieu pour des couplages infinitesimaux. Nous examinons aussi la transition vers le ferromagnetisme dans ce modele pour des couplages interchaines anisotropes
L'algorithme du groupe de renormalisation numerique dans l'espace reel utilisant la matrice de densite est applique a plusieurs problemes quantiques unidimensionnels. Pour la chaine de spin 2 quantique isotrope, le gap de haldane (0. 085(5)j) et la longueur de correlation (49(1)) sont calcules, ainsi que la limite thermodynamique non-nulle (0. 726(2)) d'un parametre d'ordre non-local generalise. Le diagramme de phase en presence des anisotropies uniaxiale et d'echange est donne, montrant l'evolution vers la limite classique. On trouve un diagramme tres different de celui pour spin 1, ce qui est en desaccord avec les predictions theoriques approximatives. Nous demontrons que le parametre d'ordre string non-local n'est pas sensible aux transitions pour spin 2, ce qui indique une difference profonde entre des chaines de spin entier avec spin 1 et spin plus grand que 1. Nous demontrons que le modele d'affleck-kennedy-lieb-tasaki, generique pour le modele de heisenberg, est, pour le cas de spin 1, un point de desordre dans la famille des chaines de spin 1 bilineaires-biquadratiques, dont il fait partie. Ce point est caracterise par un changement des correlations spin-spin, qui deviennent incommensurables. Il est le residu quantique d'une transition dans la limite classique de cette famille de chaines. Le modele aklt trouve ainsi sa signification physique. Dans l'etude d'une echelle de spins 1/2, nous confrontons les resultats d'une bosonisation avec les resultats numeriques: pour des petits couplages entre les chaines on s'attend a un changement d'un comportement critique vers un comportement massif. Nous demontrons que ce changement a lieu pour des couplages infinitesimaux. Nous examinons aussi la transition vers le ferromagnetisme dans ce modele pour des couplages interchaines anisotropes
Cette thèse regroupe trois travaux qui concernent respectivement la chaîne de spins 1 désordonnée, les impuretés non magnétiques dans la chaîne de spins 1/2 et les processus de réaction-diffusion. La chaîne de spins 1 sous faible désordre est étudiée par la bosonisation abélienne et le groupe de renormalisation. Cette technique permet de prendre en compte la compétition entre le désordre et les interactions, et prédit le devenir des différentes phases de la chaîne de spins 1 anisotrope sous plusieurs types de désordre. L'un des résultats est la grande stabilité de la phase de Haldane, et l'instabilité de la phase antiferromagnétique sous champ magnétique aléatoire, qui sont prouvés par des arguments de groupe de renormalisation. Un deuxième travail utilise les impuretés non magnétiques comme sondes locales des corrélations dans la chaîne de spins 1/2. Dans le cas où les impuretés sont couplées au bord de la chaîne, je prédis un comportement en température du taux de relaxation du spin nucléaire des impuretés (11T,) radicalement différent du cas où ces mêmes impuretés sont couplées à la chaîne tout entière. Ceci peut en particulier être utilisé pour mesurer les exposants de surface des systèmes quantiques unidimensionnels. Le dernier travail traite des processus réaction-diffusion à une dimension dont la matrice de transfert s'exprime comme un modèle de spin. La transformation de Jordan-Wigner permet d'obtenir une théorie des champs fermionique dont les exposants critiques se déduisent du groupe de renormalisation. Cette nouvelle approche fournit une méthode alternative aux développements en c, et semble validée par l'accord raisonnable avec les résultats numériques pour la réaction dé Schlôgl.
Contribution à l’étude des chaînes de spin quantique avec une perturbation aléatoire ou apériodique Au cours de cette thèse, nous avons étudié le comportement critique de chaînes de spins quantiques en présence de couplages désordonnés ou répartis de manière apériodique. Il est bien établi que le comportement critique des chaînes de spins quantiques d’Ising et de Potts est gouverné par le même point fixe de désordre infini. Nous avons implémenté́ une version numérique de la technique de renormalisation de désordre infini (SDRG) afin de tester cette prédiction. Dans un second temps, nous avons étudié la chaîne quantique d’Ashkin-Teller désordonnée par renormalisation de la matrice densité́ (DMRG). Nous confirmons le diagramme de phase précédemment proposé en déterminant la position des pics du temps d’autocorrélation intégré des corrélations spin-spin et polarisation-polarisation ainsi que ceux des fluctuations de l’aimantation et de la polarisation. Enfin, l’existence d’une double phase de Griffiths est confirmée par une étude détaillée de la décroissance des fonctions d’autocorrélation en dehors des lignes critiques. Comme attendu, l’exposant dynamique diverge à l’approche de ces lignes. Dans le cas apériodique, nous avons étudié les chaînes quantiques d’Ising et de Potts. En utilisant la méthode SDRG, nous avons confirmé les résultats connus pour la chaîne d’Ising et proposé des estimations de la dimension d’échelle magnétique. Dans le cas du modèle de Potts à q états, nous avons estimé l’exposant magnétique et observé qu’il était indépendant du nombre d’états q pour toutes les séquences dont l’exposant de divagation est nul. Toutefois, nous montrons que l’exposant dynamique est fini et augmente avec le nombre d’états q. En revanche, pour la séquence de Rudin-Shapiro, les résultats sont compatibles avec un point fixe de désordre infini et donc un exposant dynamique infini.
Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.