Diese Arbeit behandelt klassische Gittergase, welche aus ausgedehnten, nicht überlappenden Teilchen bestehen und ansonsten nicht wechselwirken. Wir untersuchen das kNN Modell (engl. k next nearest neighbours model) auf dem quadratischen Gitter. Dieses Modell ist die diskrete Variante eines Systems harter Scheiben in der Ebene. Nach einer Zusammenfassung der klassischen statistischen Mechanik von Gittergasen und einem Überblick über bisherige Resultate, werden Tensornetzwerke im Kontext klassischer Zustandssummen eingeführt. Eine Tensornetzwerk-Formulierung des kNN Modells wird präsentiert. Anwendungen von Tensornetzwerken auf Quanten-Vielteilchenprobleme werden erläutert, mit einem besonderen Fokus auf Matrixproduktzustände und Matrixproduktoperatoren, sowie deren Relavanz für klassische Probleme. Zwei Algorithmen für die Kontraktion zweidimensionaler Tensornezwerke werden diskutiert: infinite time evolved block decimation (iTEBD) und tensor renormalization group (TRG). Numerische Ergebnisse für die Fälle k=1,2,3 werden präsentiert und für übereinstimmend mit bisherigen Resultaten befunden. Abschließend werden Herausforderung des Zugangs über Tensornetzwerke besprochen und mögliche Richtungen für weiterführende Arbeiten vorgeschlagen.
Diese Arbeit behandelt klassische Gittergase, welche aus ausgedehnten, nicht überlappenden Teilchen bestehen und ansonsten nicht wechselwirken. Wir untersuchen das kNN Modell (engl. k next nearest neighbours model) auf dem quadratischen Gitter. Dieses Modell ist die diskrete Variante eines Systems harter Scheiben in der Ebene. Nach einer Zusammenfassung der klassischen statistischen Mechanik von Gittergasen und einem Überblick über bisherige Resultate, werden Tensornetzwerke im Kontext klassischer Zustandssummen eingeführt. Eine Tensornetzwerk-Formulierung des kNN Modells wird präsentiert. Anwendungen von Tensornetzwerken auf Quanten-Vielteilchenprobleme werden erläutert, mit einem besonderen Fokus auf Matrixproduktzustände und Matrixproduktoperatoren, sowie deren Relavanz für klassische Probleme. Zwei Algorithmen für die Kontraktion zweidimensionaler Tensornezwerke werden diskutiert: infinite time evolved block decimation (iTEBD) und tensor renormalization group (TRG). Numerische Ergebnisse für die Fälle k=1,2,3 werden präsentiert und für übereinstimmend mit bisherigen Resultaten befunden. Abschließend werden Herausforderung des Zugangs über Tensornetzwerke besprochen und mögliche Richtungen für weiterführende Arbeiten vorgeschlagen.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo-
bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der
Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden
Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder
zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu
untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur
eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren
als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu
konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof-
fen werden konnen.
Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter
Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein-
dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser
Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse
bei weitem ubertrifft.
Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die
aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach-
tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations-
funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon-
nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre-
gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man
kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar-
stellung des Grundzustandes gewinnen.
Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber-
gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge
aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti-
zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung
und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre-
chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten
Dichtematrizen) beantworten.
Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad-
aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen-
ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen
Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita-
ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und
Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge-
mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei-
der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das
Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.
Das Ziel dieser Arbeit ist einen Überblick über die Entwicklung der Simulation von quanten Vielteilchenproblemen zu geben. Wir behandeln die Algorithmen die auf der Density Matrix Renormalization Methode basieren. Sie ist eine der schnellsten und präzisesten Simulationsmethoden. Allerdings war ursprünglich die Methode ausschließlich zur Simulation eindimensionaler Probleme gedacht. Diese Arbeit behandelt den klassischen Ansatz sowie die Versuche diese eindimensional Methode auf höherdimensionale Probleme umzulegen. Im speziellen wird auf die Möglichkeit der generalisierung auf Probleme mit baumartiger Geometrie eingegangen und auch auf andere Tensornetzwerk basierende Methoden eingegangen.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung und Kombination verschiedener numerischer Methoden, sowie deren Anwendung auf Probleme stark korrelierter Elektronensysteme. Solche Materialien zeigen viele interessante physikalische Eigenschaften, wie z.B. Supraleitung und magnetische Ordnung und spielen eine bedeutende Rolle in technischen Anwendungen. Es werden zwei verschiedene Modelle behandelt: das Hubbard-Modell und das Kondo-Gitter-Modell (KLM). In den letzten Jahrzehnten konnten bereits viele Erkenntnisse durch die numerische Lösung dieser Modelle gewonnen werden. Dennoch bleibt der physikalische Ursprung vieler Effekte verborgen. Grund dafür ist die Beschränkung aktueller Methoden auf bestimmte Parameterbereiche. Eine der stärksten Einschränkungen ist das Fehlen effizienter Algorithmen für tiefe Temperaturen.rnrnBasierend auf dem Blankenbecler-Scalapino-Sugar Quanten-Monte-Carlo (BSS-QMC) Algorithmus präsentieren wir eine numerisch exakte Methode, die das Hubbard-Modell und das KLM effizient bei sehr tiefen Temperaturen löst. Diese Methode wird auf den Mott-Übergang im zweidimensionalen Hubbard-Modell angewendet. Im Gegensatz zu früheren Studien können wir einen Mott-Übergang bei endlichen Temperaturen und endlichen Wechselwirkungen klar ausschließen.rnrnAuf der Basis dieses exakten BSS-QMC Algorithmus, haben wir einen Störstellenlöser für die dynamische Molekularfeld Theorie (DMFT) sowie ihre Cluster Erweiterungen (CDMFT) entwickelt. Die DMFT ist die vorherrschende Theorie stark korrelierter Systeme, bei denen übliche Bandstrukturrechnungen versagen. Eine Hauptlimitation ist dabei die Verfügbarkeit effizienter Störstellenlöser für das intrinsische Quantenproblem. Der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus hat das gleiche überlegene Skalierungsverhalten mit der inversen Temperatur wie BSS-QMC. Wir untersuchen den Mott-Übergang im Rahmen der DMFT und analysieren den Einfluss von systematischen Fehlern auf diesen Übergang.rnrnEin weiteres prominentes Thema ist die Vernachlässigung von nicht-lokalen Wechselwirkungen in der DMFT. Hierzu kombinieren wir direkte BSS-QMC Gitterrechnungen mit CDMFT für das halb gefüllte zweidimensionale anisotrope Hubbard Modell, das dotierte Hubbard Modell und das KLM. Die Ergebnisse für die verschiedenen Modelle unterscheiden sich stark: während nicht-lokale Korrelationen eine wichtige Rolle im zweidimensionalen (anisotropen) Modell spielen, ist in der paramagnetischen Phase die Impulsabhängigkeit der Selbstenergie für stark dotierte Systeme und für das KLM deutlich schwächer. Eine bemerkenswerte Erkenntnis ist, dass die Selbstenergie sich durch die nicht-wechselwirkende Dispersion parametrisieren lässt. Die spezielle Struktur der Selbstenergie im Impulsraum kann sehr nützlich für die Klassifizierung von elektronischen Korrelationseffekten sein und öffnet den Weg für die Entwicklung neuer Schemata über die Grenzen der DMFT hinaus.
Diese Arbeit behandelt Deflektometrie in einem Materiewellen-Interferometer für neutrale Moleküle. Die Ablenkung von Atomen und Nanopartikeln in der Gasphase durch inhomogene statische elektrische und magnetische Felder findet breite Anwendung bei der Bestimmung der Eigenschaften dieser Teilchen. Interferometrie steigert die Auflösung von Deflektionsexperimenten erheblich. Wir beginnen mit einer Einführung in die Grundlagen des Magnetismus freier Atome und leiten van Vlecks Formel für die magnetische Suszeptibilität aus dem Zeeman-Effekt her. Das Resultat wird auf Moleküle verallgemeinert. Kollektive Effekte in Molekülen erhöhen deren Suszeptibilität, was unter dem Terminus Aromatizität zusammengefasst wird. Wir vergleichen zwei physikalische Erklärungen dieses Phänomens und stellen fest, dass wir durch die experimentelle Bestimmung der unterschiedlichen Beiträge zur Suszeptibilität zur Klärung des Konzepts der Aromatizität beitragen können. Im Anschluß stellen wir unser Kapitza-Dirac-Talbot-Lau Interferometer (KDTLI) für Materiewellen vor. Nach der Erarbeitung der allgemeinen Grundlagen der Interferenz wird der Talbot-Lau Effekt und der Kapitza-Dirac-Effekt diskutiert und das setup des Experiments eingeführt. Um das volle Potential der zahlreichen Anwendungsmöglichkeiten unseres Interferometers in der Deflektometrie auszunützen, muß es kalibriert werden. Wir präsentieren die Ergebnisse der entsprechenden Messungen. Schließlich wurde eine Anordnung von Magneten entworfen, die es erlaubt, den quadratischen Zeeman-Effekt für Moleküle zu messen. Deflektometrie mit ausgedehnten Strahlen diamagnetischer Moleküle stellt strikte Anforderungen an das verwendete Feld. Die vorgeschlagene Lösung wurde mit der Methode der Finiten Elemente simuliert und anschließend hergestellt. Die Ergebnisse der Simulation werden mit der Charakterisierung des Magnetsystems verglichen. Abschließend stellen wir mögliche Anwendungen des Magnetsystems vor.
Tensornetzwerke ermöglichen eine effiziente Simulation quantenmechanischer Vielteilchensysteme und gewinnen zunehmend an Bedeutung in der Quanteninformationswissenschaft und der Gittereichtheorie. In dieser Dissertation dienen sie als einheitliches numerisches Werkzeug für zwei Untersuchungen: die Studie variationeller Quantenalgorithmen für kombinatorische Optimierungsprobleme und die Analyse der Skalierungseigenschaften verschiedener Fermiondiskretisierungen im Zwei-Flavour-Schwinger-Modell. Der erste Teil untersucht flache variationelle Quantenschaltkreise für kombinatorische Optimierungsprobleme. Mithilfe von Tensornetzwerksimulationen führen wir eine systematische Benchmark-Studie für Max-Cut- und QUBO-Instanzen durch und vergleichen die Ergebnisse bei festem Ressourcenbudget mit klassischen Referenzverfahren, insbesondere zufälligem Ziehen mit Zurücklegen und lokaler Suche. Wir bestimmen die minimalen Problemgrößen, ab denen Quantenalgorithmen das zufällige Ziehen zuverlässig übertreffen, und analysieren Korrelationen der Ergebnisse auf Instanzebene. Der zweite Teil widmet sich den Skalierungseigenschaften von Staggered-, Wilson- und Twisted-Mass-Fermionen in der Hamiltonschen Gittereichtheorie, wobei das Zwei-Flavour-Schwinger-Modell als Referenz dient. Wir bestätigen die erwartete O(a)-Verbesserung für Twisted-Mass-Fermionen in der freien Theorie und finden Evidenz dafür, dass sie im wechselwirkenden Fall erhalten bleibt. Nach Massenrenormierung konvergiert die Pionenmasse rasch gegen den Kontinuumsgrenzwert. Twisted-Mass-Fermionen zeigen deutlich reduzierte Volumeneffekte sowie charakteristische Verletzungen der Isospin-Symmetrie. Insgesamt demonstrieren diese Ergebnisse die Vielseitigkeit von Tensornetzwerksimulationen für Quantenoptimierung und Gittereichtheorien.