En esta Tesis se estudian las Teorías Cuánticas de Campos y algunas de sus propiedades \ndesde el punto de vista de la Teoría de la Información Cuántica. Especificamente, \nse estudia la entropía de entrelazado y la entropía relativa del vacío con el objetivo de \nsu aplicación a la irreversibilidad del grupo de renormalización. El resultado principal \nes una prueba del Teorema A (irreveribilidad del grupo de renormaliación en dimensión \nespacio-temporal d = 4), como consecuencia de la subaditividad fuerte de la entropía \nde entrelazado del vacío, la invariancia de Lorentz y lo que hemos llamado la propiedad \nMarkoviana del vacío. Demostramos esta última propiedad en detalle, que equivale a \nla saturación de la subaditividad fuerte de la entropía de von Neumann y a una identidad \nsobre los Hamiltonianos modulares de regiones con borde en el plano o el cono \nnulo. Se derivan expresiones explícitas y generales para los Hamiltonianos modulares \ny las entropías de von Neumann y de Rényi del vacío reducido a estas regiones. Esto \nnos permite ofrecer un cuadro unificado de los teoremas de irreversibilidad del grupo \nde renormalización en dimensión d = 2; 3; 4 como consecuencia de propiedades de la \nentropía de entrelazado del vacío de una Teoría Cuántica de Campos. \n
En esta Tesis se estudian las Teorías Cuánticas de Campos y algunas de sus propiedades \ndesde el punto de vista de la Teoría de la Información Cuántica. Especificamente, \nse estudia la entropía de entrelazado y la entropía relativa del vacío con el objetivo de \nsu aplicación a la irreversibilidad del grupo de renormalización. El resultado principal \nes una prueba del Teorema A (irreveribilidad del grupo de renormaliación en dimensión \nespacio-temporal d = 4), como consecuencia de la subaditividad fuerte de la entropía \nde entrelazado del vacío, la invariancia de Lorentz y lo que hemos llamado la propiedad \nMarkoviana del vacío. Demostramos esta última propiedad en detalle, que equivale a \nla saturación de la subaditividad fuerte de la entropía de von Neumann y a una identidad \nsobre los Hamiltonianos modulares de regiones con borde en el plano o el cono \nnulo. Se derivan expresiones explícitas y generales para los Hamiltonianos modulares \ny las entropías de von Neumann y de Rényi del vacío reducido a estas regiones. Esto \nnos permite ofrecer un cuadro unificado de los teoremas de irreversibilidad del grupo \nde renormalización en dimensión d = 2; 3; 4 como consecuencia de propiedades de la \nentropía de entrelazado del vacío de una Teoría Cuántica de Campos. \n
Las entropías relativas cuánticas de Renyi proporcionan una familia monoparamétrica \nde distancias entre matrices densidad, que generalizan la entropía relativa y la \ndelidad. \nEn esta Tesis, estudiamos estas medidas para flujos del grupo de renormalizacion \nen Teoría Cuántica de Campos. Derivamos expresiones explícitas en Teorías de Campos \nlibres basándonos en el enfoque en tiempo real. Al utilizar las propiedades de \nmonotonicidad, obtenemos nuevas desigualdades que deben satisfacerse por trayectorias \nconsistentes del grupo de renormalización en Teoría de Campos. Al enfocarnos en \nel límite del cono de luz, mostramos que estas medidas, que caracterizan la trayectoria \ncompleta del RG, están limitadas por cantidades intrínsecas a los puntos \nflujos, como la entropía de borde o la carga central. Estas desigualdades desempeñan el papel de \nuna segunda ley de la termodinámica, en el contexto de los flujos del grupo de renormalización. Finalmente, aplicamos estos resultados a un modelo Kondo simplificado, \ndonde evaluamos explícitamente las entropías relativas de Renyi, trabajando tanto en \nuna superficie de Cauchy a tiempo constante, como en una superficie de Cauchy que \nse acerca al cono de luz. Un resultado de esto es que la catástrofe de ortogonalidad de \nAnderson puede evitarse trabajando en una superficie de Cauchy que se acerca al cono \nde luz. \n
En esta tesis desarrollamos metodos de teoria de campos para sistemas con una densidad
de materia cuantica no trivial. Esto requiere nuevas tecnicas que permitan comprender
lo que sucede cuando el vacio trivial de la teoria relativista se reemplaza por
un estado no-relativista.
La primera parte de la tesis se enfoca en obtener de manera sistematica la teoria
de campos no-relativista. Para esto, partimos de la teoria relativista y deducimos una
teoria efectiva valida para escalas de energia mucho menores que las masas de los campos.
Se estudia primero el caso bosonico, donde se obtiene una teoria no-relativista con
invariancia de escala tipo Lifshitz. A continuacion, se consideran sistemas fermionicos.
Desarrollamos un nuevo metodo, basado en el uso de proyectores de energia, que nos
permite obtener la teoria efectiva en D-dimensiones de espacio-tiempo. Como una aplicacion importante, se consideran los efectos de campos externos electromagneticos y
gravitatorios sobre teorias no-relativistas, y se determinan las interacciones que estos
producen.
La segunda parte de la tesis esta dedicada a sistemas fermionicos a densidad finita.
Primero nos enfocamos en el caso de fermiones libres, y luego discutimos teorias interactuantes.
En sistemas libres, generalizamos el metodo de los proyectores para incorporar
la densidad finita, y asi deducimos una teoria efectiva valida cerca de la superficie de
Fermi. Este formalismo reproduce la teoria de Landau de liquidos de Fermi.
Finalmente, nos enfocaremos en sistemas interactuantes. Con el objetivo de modelar
sistemas electronicos fuertemente correlacionados, como los superconductores de
altas temperaturas, estudiamos una superficie de Fermi acoplada a un boson critico.
Este boson aparece naturalmente en materia condensada como un parametro de orden;
en fisica de altas energias da lugar a un modelo efectivo de cromodinamica cuantica
a densidad finita. Analizamos las correcciones cuanticas a un lazo, que nos permiten
llegar a un non-Fermi liquid, similar a lo que se observa en puntos critico cuanticos.
A continuacion, discutimos los efectos de introducir una masa bosonica; esto nos permitira alejarnos del punto critico y estudiar otras regiones del diagrama de fases de la
teoria.
En esta tesis aplicamos las tecnicas del grupo de renormalizacion para tratar teorias de campos fuera del equilibrio. Dos elementos se combinan en este trabajo: i) la formulacion wilsoniana del grupo de renormalizacion, es decir, la eliminacion recursiva de grados de libertad en cierto intervalo de escalas; y ii) el analisis de sistemas cuanticos abiertos mediante las tecnicas del funcional de influencia y de las integrales de camino temporal cerrado. El sistema que analizamos es el de un campo escalar con un corte ultravioleta en el impulso. Usamos para describirlo una funcional generadora de camino temporal cerrado, adecuada para calcular la evolucion causal y real de los valores de expectacion. Integrando explicitamente sobre los modos con impulsos que se encuentran en una capa infinitesimal alrededor del corte, obtenemos una descripcion efectiva para el resto de los modos. Iterando el procedimiento, deducimos las ecuaciones de grupo de renormalizacion, cuyo flujo genera de manera natural terminos de ruido y disipacion. Este metodo es usado para estudiar un campo con interacciones de tipo λΦ4 , y los resultados son aplicados a un modelo para calcular el espectro del campo del inflaton en el universo temprano. Mostramos tambien que las mismas ideas, desarrolladas en principio para una teoria cuantica de campos, pueden emplearse para tratar ecuaciones diferenciales estocasticas. El metodo es ilustrado deduciendo varios resultados conocidos acerca de la ecuacion de Kardar−Parisi−Zhang.
En este trabajo se estudia la entropia de entrelazamiento o geometrica en el contexto de
la teoria cuantica de campos. Particularmente, estamos interesados en la entropia del
campo de Maxwell asociada a una region cilindrica en tres dimensiones espaciales. Para
abordar este problema nos dedicamos primeramente al estudio de uno mas sencillo, el
de un campo escalar, con el fin de afianzar los metodos numericos y analiticos que luego
implementamos en el caso mas complejo del campo vectorial. Se describe de manera
detallada el metodo empleado para el calculo numerico de la entropia. Tambien se revisa
el metodo de reduccion dimensional, el cual permite relacionar terminos universales
de la entropia de entrelazamiento del cilindro con coeficientes de la expansion de la
entropia del disco en una dimension menor. Este metodo se aplica para reducir el
problema original de un campo conforme en un cilindro en (3+1) dimensiones al de un
campo masivo en un disco en (2+1) dimensiones. Para el campo de Maxwell, empleando
coordenadas apropiadas, se encuentra que el hamiltoniano del mismo equivale al de dos
campos escalares identicos desacoplados con un potencial cuadratico extra. Finalmente,
los calculos numericos se realizaron sobre una red radial ya que el problema, gracias
a la simetria, puede reducirse a una dimension espacial. Mientras que para el campo
escalar el coeficiente logaritmico coincide con la anomalia de traza tipo c del tensor
de energia-momento, tal como se predice en la literatura [1], no sucede lo mismo para
el campo de Maxwell. Esta misma discordancia fue hallada en [7] para el caso de la
entropia de entrelazamiento de una region esferica, en donde el coeficiente logaritmico
corresponde a la anomalia de traza tipo a.
El objetivo de esta tesis es el estudio de la entropia de entrelazamiento de Renyi en los estados estacionarios de cadenas de fermiones sin spin descritas por un Hamiltoniano cuadratico general con invariancia translacional y posibles acoplos a larga distancia.
Nuestra investigacion se basa en la relacion que existe entre la matriz densidad de los estados estacionarios y la correspondiente matriz de correlaciones entre dos puntos. Esta propiedad reduce la complejidad de calcular numericamente la entropia de entrelazamiento y permite expresar esta magnitud en terminos del determinante del resolvente de la matriz de correlaciones.
Dado que la cadena es invariante translacional, la matriz de correlaciones es una matriz block Toeplitz. En vista de este hecho, la filosofia que seguimos en esta tesis es la de aprovecharnos de las propiedades asintoticas de este tipo de determinantes para investigar la entropia de entrelazamiento de Renyi en el limite termodinamico. Un aspecto interesante es que los resultados conocidos sobre el comportamiento asintotico de los determinantes block Toeplitz no son validos para algunas de las matrices de correlaciones que consideraremos. Intentando llenar esta laguna, obtenemos algunos resultados originales sobre el comportamiento asintotico de los determinantes de matrices de Toeplitz y block Toeplitz.
Estos nuevos resultados combinados con los ya previamente conocidos nos permiten obtener analiticamente el termino dominante en la expansion de la entropia de entrelazamiento, tanto para un unico intervalo de puntos o sites contiguos de la cadena como para subsistemas formados por varios intervalos disjuntos. En particular, descubrimos que los acoplos de largo alcance dan lugar a nuevas propiedades del comportamiento asintotico de la entropia tales como la aparicion de un termino logaritmico no universal fuera de los puntos criticos cuando los terminos de pairing decaen siguiendo una ley de potencias o un crecimiento sublogaritmico cuando dichos acoplos decaen logaritmicamente.
El estudio de la entropia de entrelazamiento a traves de los determinantes block Toeplitz tambien nos ha llevado a descubrir una nueva simetria de la entropia de entrelazamiento bajo transformaciones de Mobius que pueden verse como transformaciones de los acoplos de la teoria. En particular, encontramos que para teorias criticas esta simetria presenta un intrigante paralelismo con las transformaciones conformes en el espacio-tiempo.
En el presente trabajo se desarrolla el concepto de entropía de entrelazamiento (entanglement) en \nteorías cuanticas de campos en (1+1) dimensiones. Se realiza el cálculo explícito y detallado de la \nforma de la misma para campos libres escalares y fermiónicos, ambos en (1+1) dimensiones empleando \nmétodos numéricos. Luego, para un sistema de dos especies de fermiones en escalera, se estudia la \nentropía asociada a una especie, obteniendo divergencias volumétricas en lugar de logarítmicas como \nen el caso geométrico de entropía de regiones espaciales. Se analiza el límite del continuo y también \nsu concordancia con los límites de pequeños y grandes espaciamientos de red para la teoría discreta. \nFinalmente, se extiende el estudio a teorías generalizadas de campos libres (Generalized Free Fields), \npermitiendo entender mejor las razones de la dependencia volumétrica mencionada.