El objetivo de esta tesis es el estudio de la entropia de entrelazamiento de Renyi en los estados estacionarios de cadenas de fermiones sin spin descritas por un Hamiltoniano cuadratico general con invariancia translacional y posibles acoplos a larga distancia.
Nuestra investigacion se basa en la relacion que existe entre la matriz densidad de los estados estacionarios y la correspondiente matriz de correlaciones entre dos puntos. Esta propiedad reduce la complejidad de calcular numericamente la entropia de entrelazamiento y permite expresar esta magnitud en terminos del determinante del resolvente de la matriz de correlaciones.
Dado que la cadena es invariante translacional, la matriz de correlaciones es una matriz block Toeplitz. En vista de este hecho, la filosofia que seguimos en esta tesis es la de aprovecharnos de las propiedades asintoticas de este tipo de determinantes para investigar la entropia de entrelazamiento de Renyi en el limite termodinamico. Un aspecto interesante es que los resultados conocidos sobre el comportamiento asintotico de los determinantes block Toeplitz no son validos para algunas de las matrices de correlaciones que consideraremos. Intentando llenar esta laguna, obtenemos algunos resultados originales sobre el comportamiento asintotico de los determinantes de matrices de Toeplitz y block Toeplitz.
Estos nuevos resultados combinados con los ya previamente conocidos nos permiten obtener analiticamente el termino dominante en la expansion de la entropia de entrelazamiento, tanto para un unico intervalo de puntos o sites contiguos de la cadena como para subsistemas formados por varios intervalos disjuntos. En particular, descubrimos que los acoplos de largo alcance dan lugar a nuevas propiedades del comportamiento asintotico de la entropia tales como la aparicion de un termino logaritmico no universal fuera de los puntos criticos cuando los terminos de pairing decaen siguiendo una ley de potencias o un crecimiento sublogaritmico cuando dichos acoplos decaen logaritmicamente.
El estudio de la entropia de entrelazamiento a traves de los determinantes block Toeplitz tambien nos ha llevado a descubrir una nueva simetria de la entropia de entrelazamiento bajo transformaciones de Mobius que pueden verse como transformaciones de los acoplos de la teoria. En particular, encontramos que para teorias criticas esta simetria presenta un intrigante paralelismo con las transformaciones conformes en el espacio-tiempo.
El objetivo de esta tesis es el estudio de la entropia de entrelazamiento de Renyi en los estados estacionarios de cadenas de fermiones sin spin descritas por un Hamiltoniano cuadratico general con invariancia translacional y posibles acoplos a larga distancia.
Nuestra investigacion se basa en la relacion que existe entre la matriz densidad de los estados estacionarios y la correspondiente matriz de correlaciones entre dos puntos. Esta propiedad reduce la complejidad de calcular numericamente la entropia de entrelazamiento y permite expresar esta magnitud en terminos del determinante del resolvente de la matriz de correlaciones.
Dado que la cadena es invariante translacional, la matriz de correlaciones es una matriz block Toeplitz. En vista de este hecho, la filosofia que seguimos en esta tesis es la de aprovecharnos de las propiedades asintoticas de este tipo de determinantes para investigar la entropia de entrelazamiento de Renyi en el limite termodinamico. Un aspecto interesante es que los resultados conocidos sobre el comportamiento asintotico de los determinantes block Toeplitz no son validos para algunas de las matrices de correlaciones que consideraremos. Intentando llenar esta laguna, obtenemos algunos resultados originales sobre el comportamiento asintotico de los determinantes de matrices de Toeplitz y block Toeplitz.
Estos nuevos resultados combinados con los ya previamente conocidos nos permiten obtener analiticamente el termino dominante en la expansion de la entropia de entrelazamiento, tanto para un unico intervalo de puntos o sites contiguos de la cadena como para subsistemas formados por varios intervalos disjuntos. En particular, descubrimos que los acoplos de largo alcance dan lugar a nuevas propiedades del comportamiento asintotico de la entropia tales como la aparicion de un termino logaritmico no universal fuera de los puntos criticos cuando los terminos de pairing decaen siguiendo una ley de potencias o un crecimiento sublogaritmico cuando dichos acoplos decaen logaritmicamente.
El estudio de la entropia de entrelazamiento a traves de los determinantes block Toeplitz tambien nos ha llevado a descubrir una nueva simetria de la entropia de entrelazamiento bajo transformaciones de Mobius que pueden verse como transformaciones de los acoplos de la teoria. En particular, encontramos que para teorias criticas esta simetria presenta un intrigante paralelismo con las transformaciones conformes en el espacio-tiempo.
[ES]: En el trabajo se estudia el entrelazamiento cuántico en cadenas de espines XX de Heisenberg inhomogéneas utilizando la entropía de Rényi como medida del entrelazamiento bipartito. Mediante la transformación de Jordan-Wigner, el hamiltoniano de la cadena se convierte en el de un sistema de fermiones libres sin espín, cuya diagonalización se fundamenta en la teoría de polinomios ortogonales. La entropía de entrelazamiento exacta de un bloque de L espines se calcula a partir de los autovalores de la matriz de correlación, de dimensión L × L, evitando la diagonalización directa de la matriz densidad reducida del subsistema. En el límite termodinámico y en el régimen de half-filling con campo magnético nulo, se muestra que el límite continuo de la cadena inhomogénea a bajas energías es equivalente a un fermión de Dirac sin masa en un espacio-tiempo curvo, cuya métrica queda determinada por las constantes de acoplamiento. Esto permite obtener una fórmula asintótica para la entropía de Rényi en el marco de las teorías cuánticas de campos conformes en (1+1) dimensiones con parámetros modificados por las inhomogeneidades. Los resultados se aplican a las cadenas de Rindler y Lamé, comprobando la validez de la expresión asintótica y revelando un fenómeno de depleción de la densidad fermiónica en estados fuera del régimen de half-filling.
La motivacion de esta tesis es estudiar el entrelazamiento cuantico en general y bajo que circunstancias es maximo en particular. En primer lugar, se analizan desigualdades de Bell desde un punto de vista operacional, se presentan nuevas desigualdades para particulas de dimension mayor que dos y se estudian los estados que las violan maximamente. Dichos estados son del tipo GHZ para las desigualdades que involucran qubits. En el caso de experimentos con qutrits o particulas dimension local mayor, los estados que violan maximamente estas desigualdades son deformaciones de estados GHZ generalizados. Este resultado demuestra que aunque maximo entrelazamiento y la no-localidad son conceptos muy proximos, no son equivalentes. En segundo lugar, se estudia el entrelazamiento multipartito en cadenas de espines. En particular, se usa como figura de merito el hiperdeterminante y los invariantes polinomicos que lo forman, S y T. Estas figuras cuantifican un tipo concreto de entrelazamiento cuatripartito, tal y como se demuestra de un analisis de estados cuanticos bien conocidos como el GHZ o el W. Cuando aplicamos esta figura a una cadena de espines con interaccion tipo Ising, observamos un pico pronunciado cerca de la transicion de fase cuantica. Resultados similares se observan para los modelos de XXZ y de Haldane-Shastry para el caso de los invariantes S y T. Con todo, concluimos que estas figuras de merito son sensibles a las transiciones de fase cuanticas. La segunda parte de la tesis se focaliza en el campo de la computacion cuantica. Dicho campo ha experimentado un crecimiento relevante en los ultimos anos, debido en parte a la mejora tecnologica sobre el control de experimentos cuanticos. Con motivo de este crecimiento, diversas empresas han empezado a desarrollar prototipos de ordenadores cuanticos. Por esta razon, una de las lineas de investigacion en computacion cuantica consiste en proponer metodos para poner a prueba estas maquinas. Uno de los metodos presentados en esta tesis es la simulacion exacta de una cadena de espines con interaccion de tipo XY. Se explicita como debe de ser el circuito cuantico que lleva a cabo dicha simulacion y se propone la simulacion tanto de estados termicos como de la evolucion en el tiempo. Debido a que el modelo XY es resoluble analiticamente, se pueden comparar los resultados obtenidos de la simulacion con el ordenador cuantico con la solucion teorica. Al correr un circuito para cuatro qubits en dos ordenadores de la empresa IBM y uno de la empresa Rigetti computing, obtenemos resultados peores a los esperados. Con ello, concluimos que hay fuentes de error que no se estan teniendo en cuenta en general y que cobran relevancia incluso en circuitos tan pequenos. Ademas de este circuito, proponemos la simulacion de estados altamente entrelazados. La implementacion de estos circuitos constituye un test tan duro como necesario para un ordenador cuantico, debido a que la ventaja de los algoritmos cuanticos radica en la generacion de entrelazamiento. Para finalizar, estudiamos la generacion de entrelazamiento al nivel mas fundamental: la fisica de particulas. Obtenemos que la interaccion de QED viene dictada por el maximo entrelazamiento en aquellos procesos a “tree-level”. Aplicamos la misma filosofia en procesos que involucren corrientes debiles neutras (tambien a “tree-level”) y con ello obtenemos que el angulo de Weinberg debe ser de pi/6 si imponemos que las particulas finales deben estar maximamente entrelazadas, valor muy cercano al experimental.
espanolLos sistemas cuanticos de muchos cuerpos ofrecen numerosos retos para diversos campos de la fisica y las matematicas, como la materia condensada, la teoria de la informacion cuantica, la teoria de operadores o el analisis numerico. Algunos de estos problemas surgen de la gran complejidad de estos sistemas, que dificulta su estudio mediante metodos clasicos, asi como del interes de la comunidad cientifica por comprender sus propiedades fisicas, tales como la dinamica, estructura de correlaciones o comportamiento tanto dentro como fuera del equilibrio. Entre las propiedades mas interesantes de estos sistemas se encuentra el entrelazamiento, un cierto tipo de correlacion cuantica que carece de analogo en sistemas clasicos y que se ha establecido como un recurso imprescindible en los campos de la informacion y computacion cuantica. La presente tesis doctoral profundiza en el estudio de correlaciones, localidad y entrelazamiento en sistemas cuanticos. En particular, se enfoca en herramientas matematicas como redes de tensores, cotas de Lieb Robinson y algoritmos cuanticos, para obtener resultados originales, tanto analiticos como numericos, de aplicacion directa en teoria de la informacion cuantica, materia condensada y metrologia cuantica. Los sistemas cuanticos que estudiamos consisten en conjuntos de particulas que interaccionan localmente unas con otras. La localidad de estos sistemas permite establecer una cota superior finita a la velocidad de propagacion de las excitaciones, tambien conocida como cota de Lieb Robinson. En esta tesis, demostramos que existen cotas de Lieb Robinson para modelos de espines que interaccionan en una red mediante un campo bosonico que tambien verifica una cota de Lieb Robinson en ausencia de acoplamiento espin boson. Aplicando estas cotas a sistemas de iones atrapados, observamos que la propagacion de las correlaciones de espin mediante los fonones de un cristal ionico puede ser mas rapida que el regimen explorado actualmente en los experimentos. Por este motivo, proponemos un esquema experimental para probar las cotas que consiste en medir las funciones de correlacion retardadas a traves de la fluorescencia del cristal. La localidad de las interacciones tambien impone restricciones sobre la estructura del entrelazamiento de los sistemas cuanticos y permite encontrar representaciones matematicas eficientes denominadas redes de tensores. Las redes de tensores son conjuntos de tensores interconectados que reflejan la estructura de entrelazamiento del sistema, reducen la complejidad de su representacion y capturan las propiedades fisicas mas relevantes de los estados cuanticos en los que estamos interesados. En esta tesis, utilizamos el caso unidimensional de las redes de tensores, tambien conocido como estados producto de matriz (MPS), para probar resultados analiticos y realizar simulaciones numericas. Mas especificamente, demostramos que una gran fraccionalizacion en la magnetizacion de una cadena de espines o la existencia de interacciones de largo alcance implican una gran cantidad de entrelazamiento en el estado de la cadena. Las correlaciones y el entrelazamiento se han revelado como recursos de gran utilidad en metrologia cuantica, estableciendo nuevas tecnicas de medida que mejoran la precision respecto a los metodos exclusivamente clasicos. En esta tesis, establecemos algoritmos cuanticos para medir las correlaciones temporales que se acumulan en un sistema cuantico tras su interaccion con pulsos de luz laser. A partir de esta nocion, introducimos el concepto de interferometria cuantica multipulso en el que un atomo o conjunto de atomos pueden actuar como un detector que mide de forma precisa diferencias entre pulsos de luz laser o propiedades de los pulsos. Por ultimo, aplicamos este concepto para caracterizar y estabilizar un peine de frecuencias con una mejora polinomial en la sensibilidad respecto a protocolos clasicos. EnglishThe study of quantum many-body systems poses a wide range of complex problemsin dierent areas of physics and mathematics, such as condensed matter,quantum information theory, operator theory or numerical analysis. Some ofthese problems arise due to the high complexity of these systems, which makestheir study unfeasible using classical approaches, as well as from the ever-growinginterest in understanding their dynamics, physical properties and behaviour bothin and out of equilibrium. Among the most interesting properties of these systemslies entanglement, a certain type of quantum correlation which is not present inclassical systems and which has proven to be essential for quantum computationand quantum information.This dissertation deals with the study of correlations, locality and entanglementin quantum systems. It relies on mathematical tools such as tensor networkrepresentations, Lieb-Robinson bounds and quantum algorithms in order to obtainoriginal results, both analytical and numerical, with practical applicationsto quantum information theory, condensed matter and quantum metrology...
La extensión del concepto de entrelazamiento a sistemas de componentes indistinguibles, y en particular a sistemas fermiónicos es un problema fundamental que ha recientemente suscitado gran interés. En este trabajo se desarrolla y examina en profundidad esta extensión, considerando además su rol en información cuántica y en la caracterización de correlaciones en sistemas fuertemente interactuantes. En primer lugar se considera el denominado entrelazamiento de un cuerpo, que es una medida de correlaciones fermiónicas basada en la matriz densidad de un cuerpo (SPDM) y que cuantifica la desviación de un estado puro fermiónico de un determinante de Slater. Se analiza su comportamiento en el estado fundamental de un sistema superconductor y de otros sistemas fuertemente interactuantes, mostrándose su correlación con el parámetro de orden correspondiente y saturación en el régimen de acoplamiento fuerte. Se examina también el entrelazamiento de estados reducidos del sistema por medio de la concurrencia fermiónica, mostrando que caracteriza la transición de fase. En segundo lugar se analizan aspectos formales del entrelazamiento de un cuerpo. Se demuestra que el mismo puede ser considerado formalmente como un recurso cuántico. La teoría de recursos asociada tiene al conjunto de determinantes de Slater como estados libres, y un conjunto de operaciones, que incluyen transformaciones unitarias de un cuerpo y medidas de ocupación de un modo, como operaciones libres. Se introduce también una formulación general bipartita del entrelazamiento de un cuerpo, basada en una descomposición tipo Schmidt 1 −(N −1) de un estado puro de N fermiones, en la que la SPDM emerge naturalmente. Finalmente se generaliza esta formulación bipartita, separando los estados de M < N y (N − M) fermiones. Esta descomposición se encuentra directamente vinculada con las matrices densidad de M y (N−M) cuerpos, que son isoespectrales. De aquí emerge naturalmente el concepto de entrelazamiento de M cuerpos, que generaliza el entrelazamiento de un cuerpo y provee una caracterización general de las correlaciones. Se demuestran también propiedades operacionales del mismo. Se presentan asimismo evaluaciones analíticas de los espectros de las matrices de M cuerpos en sistemas fuertemente correlacionados.
Los estados de redes tensoriales describen estados cuanticos de muchos cuerpos de forma local. Estos estados aproximan eficientemente los estados de baja energia de sistemas con interacciones locales y con gap ademas de describir exactamente estados cuanticos de muchos cuerpos de enorme importancia (aquellos que son puntos fijos de un proceso de renormalizacion). Los estados de redes tensoriales constituyen una herramienta analitica muy valiosa para el estudio de sistemas fuertemente correlacionados. En esta tesis analizamos redes tensoriales que describen fases cuanticas que albergan un tipo de order no local: el orden topologico. Uno de los aspectos mas importantes de un sistema con orden topologico es la existencia de excitaciones de cuasiparticulas con propiedades inusuales bajo intercambio que difieren tanto de los bosones o fermiones. Estas excitaciones, denominadas anyones, emergen como un comportamiento colectivo de los constituyentes del sistema y pueden transformase de forma no trivial bajo las simetrias globales del sistema.
Resulta que el sector de baja energia de algunos modelos topologicos, incluidos los anyones, tienen una descripcion en terminos de estados de redes de tensores. Ademas, el orden topologico, una propiedad global, se codifica localmente como una simetria en los tensores individuales. Esta codificacion es crucial debido a que cuando una estructura local que caracteriza una propiedad local es identificada matematicamente, uno puede centrarse en esa familia de estados de redes tensoriales para estudiar sistematicamente sus propiedades. En este sentido, los estados de redes tensoriales surgen como el marco formal para trabajar en la fisica de muchos cuerpos. El objetivo de esta tesis es contribuir a la clasificacion de redes de tensores topologicas en dos dimensiones con simetrias.
Una cuestion importante, relacionada con la caracterizacion local de simetrias globales, es como caracterizar la relacion que existe entre tensores que describen el mismo estado de red tensorial y que, por ende, deberian considerarse equivalentes.
En esta tesis obtenemos esta relacion para algunas clases de estados de redes de tensores previamente estudiados, inyectivos y normales, mejorando los resultados existentes relajando algunas hipotesis. Ademas, probamos esta relacion para estados de redes tensoriales que describen fases topologicas, donde ningun resultado previo existia. Concretamente, lo probamos para la familia que describe los modelos dobles cuanticos de un grupo finito, los denominados PEPS G-inyectivos. Una vez tenemos este teorema, se pueden caracterizar y clasificar simetrias globales que actuan localmente en cada sitio de la red.
Clasificamos simetrias globales que actuan de forma local, provenientes de un grupo finito Q, en PEPS G-inyectivos. Obtenemos un numero finito de clases para cada par (Q,G). Esta clasificacion esta relacionada con las posibles extensiones de grupo, E, de G por Q. Ademas, proporcionamos un metodo para construir un representante de cada clase, concluyendo que nuestra clasificacion es completa. Los representantes tambien se construyen usando la teoria de extensiones de grupo, empezando por una representacion de la extension E y restringiendo localmente el tensor a los elementos de G. Este representante esta dado en una forma de punto fijo de renormalizacion, lo que facilita la obtencion de todas las propiedades de la fase cuantica. Debido a que un sistema con orden topologico y simetria estara lejos de ese representante, es necesario un metodo para detectar la fase. Nosotros resolvemos ese problema proponiendo unos invariantes de la fase y sus correspondientes parametros de orden para detectar el patron de fraccionalizacion de la simetria en un estado determinado. Los parametros de orden propuestos capturan la fase mediante la deteccion de cantidades invariantes en la extension de grupo. Concluimos la tesis formulando algunas preguntas matematicas abiertas en el campo de los PEPS.
La teoria de informacion cuantica se basa en la idea de que los sistemas cuanticos pueden ser usados como ?transportadores? de informacion. Por tanto, para ser usados de este modo, se necesitan usar las leyes de la Mecanica Cuantica que describe el comportamiento de los sistemas fisicos en la escala atomica. Este comportamiento incrementa las posibilidades de procesamiento de la informacion y tareas de comunicacionPara poder usar los sistemas cuanticos para transportar informacion se necesita codificar, almacenar, procesar y extraer la informacion en estos sistemas y, en muchas situaciones, se necesitara trabajar con muchos sistemas cuanticos. Durante los ultimos 30 anos se ha producido un gran avance en la captura y control de los sistemas cuanticos de muchos cuerpos. Sin embargo, entender totalmente las fases de la materia y sus propiedades es todavia un reto para la comunidad fisica. Las propiedades de las diferentes fases de la materia dependen del modo en el que los atomos estan organizados u ordenados en los materiales. Asi, diferentes simetrias en la organizacion de un material dan lugar a diferentes fases y, por tanto, diferentes propiedades del material. En esta tesis estudiamos las restricciones que las simetrias imponen en la estructura de los estados entrelazados de muchos cuerpos. Ademas, damos aplicaciones en la teoria del entrelazamiento, en criptografia cuantica y en fisica de la materia condensada. Uno de los objetivos es estudiar los sistemas multipartitos con simetria permutacional. Estudiamos el entrelazamiento geometrico en este tipo de estados, conectando con algunos resultados clasicos de la teoria de espacios de Banach. Motivados por la necesidad criptografica de protocolos con anonimicidad perfecta, demostramos la existencia de un estado maximamente entrelazado en este contexto, y las implicaciones que esto tiene. En particular, recuperamos como corolarios algunos resultados recientes de clonacion secuencial.Posteriormente damos una caracterizacion en los tensores locales de la existencia de una simetria global en los Projected Entangled Pair States (PEPS). Esta caracterizacion nos permite relacionar algunas de las propiedades indicadoras de orden topologico y dar una version del teorema Lieb-Schultz-Mattis para PEPS entre otros.El siguiente problema de la tesis estudia la entropia de entrelazamiento genericas de los estados fundamentales de hamiltonianos locales con simetria de translacion en 1D. En particular probamos que con alta probabilidad, la matriz de densidad reducida de estos estados tiene maxima entropia. Para obtener este resultado, mejoramos las cotas previas de la funcion de Weingarten en la teoria de matrices aleatorias.Por otra parte, damos una relacion de incertidumbre cuantica con las siguientes propiedades: usa la entropia ?min? como medida de incertidumbre, garantiza incertidumbre en todas menos una de las posibles mediciones y se puede aplicar a conjuntos de mediciones generales. Como aplicacion damos un protocolo de identificacion cuantico y analizamos su seguridad.