Nous montrons d'abord qu'il existe en mécanique classique trois actions différentes pour déterminer le chemin suivi par une particule. Ces trois actions correspondent à des conditions initiales différentes : deux actions bien connues, l'action classique d'Euler-Lagrange S cl (x, t; x0), l'action d'Hamilton-Jacobi S(x, t) ayant comme action initiale S0(x), et une nouvelle action, l'action singulière S(x, t; x0, v0). Ces trois actions vérifient l'équation d'Hamilton-Jacobi, mais avec des conditions initiales différentes. L'interprétation de ces actions permet de donner une réponse à deux grands problèmes de mécanique classique, la compréhension du principe de moindre action et le paradoxe de Gibbs, et de proposer une piste pour l'interprétation de la mécanique quantique.
Nous montrons d'abord qu'il existe en mécanique classique trois actions différentes pour déterminer le chemin suivi par une particule. Ces trois actions correspondent à des conditions initiales différentes : deux actions bien connues, l'action classique d'Euler-Lagrange S cl (x, t; x0), l'action d'Hamilton-Jacobi S(x, t) ayant comme action initiale S0(x), et une nouvelle action, l'action singulière S(x, t; x0, v0). Ces trois actions vérifient l'équation d'Hamilton-Jacobi, mais avec des conditions initiales différentes. L'interprétation de ces actions permet de donner une réponse à deux grands problèmes de mécanique classique, la compréhension du principe de moindre action et le paradoxe de Gibbs, et de proposer une piste pour l'interprétation de la mécanique quantique.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
Nous montrons que la longue et âpre querelle sur l’interprétation de la mécanique quantique s’explique par le fait que chacun des pères fondateurs fonde sa conviction sur une vérité indiscutable, mais partielle. Pour proposer une interprétation synthétique de la mécanique quantique, nous devons tenir compte de la façon dont les particules quantiques sont préparées et de la validité de l’approximation semi-classique, c’est-à-dire si les actions ont des valeurs très supérieures ou non à la constante de Planck. On parlera de particules discernées quand la fonction d’onde représente complètement la particule et de particules indiscernées lorsque la fonction d’onde n’est plus suffisante. Dans le cas indiscerné semi-classique où la fonction d’onde ne suffit pas pour représenter les particules quantiques, il est obligatoire de lui ajouter les positions initiales des particules et l’interprétation de Broglie-Bohm-Bell s’impose. Bien qu’il existe un déterminisme pour ces particules, on se trouve, à l’échelle de notre représentation, devant un indéterminisme empirique lié à la non-connaissance de la position initiale de la particule. Dans le cas discerné semi-classique où la fonction d’onde suffit pour représenter les particules quantiques, l’interprétation de Schrödinger semble s’imposer. À l’échelle de notre représentation, il existe un déterminisme ontologique pour ces particules. Dans le cas où l’approximation semi-classique n’est plus valable, comme lors de la transition entre deux nivaux de l’atome d’hydrogène, les deux interprétations précédentes de la fonction d’onde de Schrödinger s’avèrent fausses comme le pensaient Einstein et Heisenberg. L’interprétation statistique de Born est alors la seule interprétation possible de l’équation de Schrödinger. L’interprétation déterministe doit alors se faire à partir des opérateurs de création et d’annihilation de la théorie quantique des champs et non à partir de l’équation de Schrödinger. Nous appelons cette interprétation synthétique de la mécanique quantique l’interprétation EB 5 SH (Einstein, de Broglie, Bohm, Bell, Bohr, Born, Schrödinger, Heisenberg).
Nous proposons un modèle non ponctuel de particule en dimension 2: la particule étendue est représentée par quatre points qui définissent la structure d'une petite corde élastique qui vibre, en alternant entre un processus de création et un processus d'annihilation. Nous montrons d'abord comment le spin et les relations d'incertitude d'Heisenberg émergent de cette particule étendue. Nous montrons ensuite comment l'action complexe, associée à cette particule étendue, vérifie, à partir d'un principe de moindre action généralisé, une équation d'Hamilton-Jacobi complexe du second ordre. Alors la fonction, qui admet cette action comme une phase complexe, vérifie l'équation de Schrödinger. Finalement, nous montrons que le centre de gravité de cette particule étendue suit une trajectoire de Broglie-Bohm. Ce modèle est construit sur deux concepts mathématiques nouveaux: une mécanique analytique complexe généralisant l'analyse non linéaire Minplus que nous avons introduit [2,3] à la suite de Maslov [1] et les processus déterministes périodiques que nous avons développé [9,10].
Nous nous intéressons dans cette thèse à certains modèles mathématiques permettant une description de systèmes ouverts classiques et quantiques. Dans l'étude de ces systèmes en interaction avec un environnement, nous montrons que la dynamique induite par l'environnement sur le système donne lieu à l'apparition de bruits. Dans une première partie de la thèse, dédiée aux systèmes classiques, le modèle décrit est le schéma d'interactions répétées. Etant à la fois hamiltonien et markovien, ce modèle en temps discret permet d'implémenter facilement la dissipation dans des systèmes physiques. Nous expliquons comment le mettre en place pour des systèmes physiques avant d'en étudier la limite en temps continu. Nous montrons la convergence Lp et presque sûre de l'évolution de certains systèmes vers la solution d'une équation différentielle stochastique, à travers l'étude de la limite de la perturbation d'un schéma d'Euler stochastique. Dans une seconde partie de la thèse sur les systèmes quantiques, nous nous intéressons dans un premier temps aux actions d'environnements quantiques sur des systèmes quantiques aboutissant à des bruits classiques. A cette fin, nous introduisons certains opérateurs unitaires appelés « classiques », que nous caractérisons à l'aide de variables aléatoires dites obtuses. Nous mettons en valeur comment ces variables classiques apparaissent naturellement dans ce cadre quantique à travers des 3-tenseurs possédant des symétries particulières. Nous prouvons notamment que ces 3-tenseurs sont exactement ceux diagonalisables dans une base orthonormée. Dans un second temps, nous étudions la limite en temps continu d'une variante des interactions répétées quantiques dans le cas particulier d'un système biparti, c'est-à-dire composé de deux systèmes isolés sans interaction entre eux. Nous montrons qu'à la limite du temps continu, une interaction entre ces sous-systèmes apparaît explicitement sous forme d'un hamiltonien d'interaction; cette interaction résulte de l'action de l'environnement et de l'intrication qu'il crée
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
Nous avons montre que dans le cas des etats stationnaires l'action quantique S est seulement une (premiere) partie de l'action classique W et nous avons exprime le «potentiel quantique» U Q en fonction de la deuxieme partie. Les moments associes aux «particules» dans l'interpretation causale par la relation p'=⊇S et par la relation dp/dt=−⊇(V+U Q ) donnent dans les etats stationnaires des orbites qui sont tres differentes les unes des autres et qui sont tres differentes des orbites classiques. Ces orbites provenant de la premiere relation expriment les proprietes du courant quantique. D'un autre cote, pour les etats coherents, les moments p et p', ainsi que le moment moyen quantique p et le moment classique, conduisent essentiellement aux memes trajectoires, qui different par les constantes d'integration. Nous etudions aussi la particule avec spin dans le champ magnetique