Berechnung der Korrelationsfunktionen des Heisenberg-Modells bei endlicher Temperatur mittels Funktionalgleichungen

Christian Trippe

In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme, die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik stehen, untersucht. Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen. Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette. Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.

N. v. Raschevsky

N. v. Raschevsky

Jesko Sirker

In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.

Seishi Kikuchi

Maxime Dugave

In der vorliegenden Arbeit werden die thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette mit Hilfe des Formfaktorzugangs untersucht. Bei dieser Methode werden die Korrelatoren in ihrer Spektraldarstellung bezuglich der Eigenzustande der Quantentransfermatrix betrachtet. Die resultierende Formfaktorreihe ist eine Summe exponentiell zerfallender Terme und liefert somit in naturlicher Weise die Abstandsasymptotik der Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur. Jeder Term ist charakterisiert durch eine Korrelationslange und eine Amplitude. Fur letztere werden zu Beginn der Arbeit neue, im Trotterlimes gultige analytische Ausdrucke angegeben. Diese Ergebnisse werden im weiteren Verlauf im Tieftemperaturlimes analysiert. In der masselosen Phase stimmt die Form der Asymptotik mit den Vorhersagen der konformen Feldtheorie bzw. Tomonaga-Luttinger-Flussigkeitstheorie uberein. Zusatzlich ergeben sich exakte Ausdrucke fur die nicht-universellen Amplituden, die numerisch ausgewertet werden konnen. In der massiven Phase ergibt sich eine im Vergleich zum Vertex-Operator-Zugang aquivalente, jedoch strukturell deutlich einfachere Formfaktorentwicklung, wodurch erstmals Beitrage von vier und mehr Spinonen zu Korrelationsfunktionen berechnet werden konnen.