ESTA TESIS SE DEDICA AL ESTUDIO DE MODELOS DE ESPINES DERIVADOS DE LAS DEFORMACIONES DE LAS ALGEBRAS DE LIEAN. SE TRATAN MODELOS CON CONDICIONES DE CONTORNO DIVERSAS Y CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES. SE PRESENTA EL METODO GENERAL PARA OBTENER MODELOS INTEGRABLES CUANTICOS EN UNA DIMENSION A PARTIR DE LAS ALGEBRAS DEFORMADAS, UTILIZANDO LA ECUACION DE YANG-BAXTER. SE REDEFINE EL COPRODUCTO MEDIANTE LA INTRODUCCION DE UN ELEMENTO DEL CENTRO Y SE OBTIENEN LOS MODELOS ASOCIADOS. EN ESTOS APARECE UN NUEVO PARAMETRO Y NUEVAS INTERACCIONES RESPECTO AL CASO USUAL. SE MUESTRA COMO ESTOS MODELOS GENERALIZAN LOS OBTENIDOS MEDIANTE MULTIDEFORMACION DE S1(N) Y SE DIAGONALIZAN LOS HAMILTONIANOS MEDIANTE EL ANSATZ DE BETHE ENCAJADO. SE ENCUENTRAN SOLUCIONES NO DIAGONALES DE LAS MATRICES DE REFLEXION EN A2 Y POSTERIORMENTE SE GENERALIZAN PARA AN. SE EXPONEN Y APLICAN LAS REGLAS DE FUSION QUE PERMITEN OBTENER MATRICES DE REFLEXION EN UNA REPRESENTACION CUALQUIERA A PARTIR DE OTRA EN LA QUE SEAN CONOCIDAS. SE ESTUDIAN SISTEMAS CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES, OBTENIENDOSE LOS HAMILTONIANOS PARA DIFERENTES TIPOS DE CONDICIONES DE CONTORNO. SE APLICA A LA CADENA ALTERNA ABIERTA DE ESPINES 1/2 Y 1, EN A1, Y A LA CADENA PERIODICA (3), (3*), EN A2. SE RESUELVEN AMBOS MODELOS MEDIANTE EL METODO DE BETHE, DESTACANDO LAS MODIFICACIONES QUE HA SIDO NECESARIO HACER EN EL ANSATZ ENCAJADO PARA RESOLVER EL SEGUNDO MODELO. SE HA REALIZADO EL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES OBTENIDAS EN EL LIMITE TERMODINAMICO PARA DESCRIBIR EL ESTADO FUNDAMENTAL. SE HA OBTENIDO LA GENERALIZACION DEL ANSATZ PARA CADENAS CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES CUALESQUIERA EN A2.
ESTA TESIS SE DEDICA AL ESTUDIO DE MODELOS DE ESPINES DERIVADOS DE LAS DEFORMACIONES DE LAS ALGEBRAS DE LIEAN. SE TRATAN MODELOS CON CONDICIONES DE CONTORNO DIVERSAS Y CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES. SE PRESENTA EL METODO GENERAL PARA OBTENER MODELOS INTEGRABLES CUANTICOS EN UNA DIMENSION A PARTIR DE LAS ALGEBRAS DEFORMADAS, UTILIZANDO LA ECUACION DE YANG-BAXTER. SE REDEFINE EL COPRODUCTO MEDIANTE LA INTRODUCCION DE UN ELEMENTO DEL CENTRO Y SE OBTIENEN LOS MODELOS ASOCIADOS. EN ESTOS APARECE UN NUEVO PARAMETRO Y NUEVAS INTERACCIONES RESPECTO AL CASO USUAL. SE MUESTRA COMO ESTOS MODELOS GENERALIZAN LOS OBTENIDOS MEDIANTE MULTIDEFORMACION DE S1(N) Y SE DIAGONALIZAN LOS HAMILTONIANOS MEDIANTE EL ANSATZ DE BETHE ENCAJADO. SE ENCUENTRAN SOLUCIONES NO DIAGONALES DE LAS MATRICES DE REFLEXION EN A2 Y POSTERIORMENTE SE GENERALIZAN PARA AN. SE EXPONEN Y APLICAN LAS REGLAS DE FUSION QUE PERMITEN OBTENER MATRICES DE REFLEXION EN UNA REPRESENTACION CUALQUIERA A PARTIR DE OTRA EN LA QUE SEAN CONOCIDAS. SE ESTUDIAN SISTEMAS CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES, OBTENIENDOSE LOS HAMILTONIANOS PARA DIFERENTES TIPOS DE CONDICIONES DE CONTORNO. SE APLICA A LA CADENA ALTERNA ABIERTA DE ESPINES 1/2 Y 1, EN A1, Y A LA CADENA PERIODICA (3), (3*), EN A2. SE RESUELVEN AMBOS MODELOS MEDIANTE EL METODO DE BETHE, DESTACANDO LAS MODIFICACIONES QUE HA SIDO NECESARIO HACER EN EL ANSATZ ENCAJADO PARA RESOLVER EL SEGUNDO MODELO. SE HA REALIZADO EL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES OBTENIDAS EN EL LIMITE TERMODINAMICO PARA DESCRIBIR EL ESTADO FUNDAMENTAL. SE HA OBTENIDO LA GENERALIZACION DEL ANSATZ PARA CADENAS CON MEZCLA DE REPRESENTACIONES CUALESQUIERA EN A2.
SE ESTUDIAN LOS MODELOS INTEGRABLES QUE ES POSIBLE DEFINIR A PARTIR DE REPRESENTACIONES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS DE RECIENTE APARICION, DENOMINADAS GRUPOS CUANTICOS. EN CONCRETO SE DEFINEN MODELOS DE VERTICES A PARTIR DE LAS REPRESENTACIONES NILPOTENTES DE SU(2)Q QUE APAREZCAN PARA VALORES DEL PARAMETRO DE DEFORMACION QUE SEAN UNA RAIZ DE LA UNIDAD SE ESTUDIAN LOS MODELOS DE CADENA ABIERTA EN LOS CASOS QUE REPRESENTACIONES CON DIMENSIONES MAS BAJAS Y SE ELULCIDA EL SIGNIFICADO FISICO DE LOS NUEVOS PARAMETROS. SE PRUEBA QUE DE HECHO EN EL CASO MAS SENCILLO (UN MODELO DE 6 VERTICES) LA GENERALIZACION DE OCHO VERTICES ES UN MODELO DE FERMIONES LIBRES CON PESOS ELIPTICOS MUY ESTUDIADO EN LA LITERATURA. SE DETERMINA EL GRUPO CUANTICO QUE SUBYACE A SU INTEGRABILIDAD, SE ESTUDIA LA CADENA ABIERTA INVARIANTE ASOCIADA, Y SE DIAGONALIZA LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA CORNER. TAMBIEN SE INCLUYE UN CALCULO DE MODIFICACION DE LA EXTENSION CENTRAL DE VIRASORO EN CADENA ABIERTA INVARIANTE SU (2) Q CON S=1.
En la memoria de tesis doctoral se hace un estudio sobre modelos de vértices y cadenas de espín bidimensionales exactamente integrables y con condiciones de contorno abiertas. Se encuentran soluciones de las ecuaciones de reflexion para diferentes modelos. En algunos casos estas soluciones son las mas generales. Posteriormente se relacionan las cadenas invariantes grupo cuantico con las trazas de markov. Se obtienen las cadenas invariantes suq(n) y chq(2) y los generadores del grupo cuantico en el limite del parametro espectral. Se generaliza el ansatz de bethe encajado y se resuelve el problema de autovalores de la cadena invariante suq(n). También se hace un estudio de las correcciones de tamaño finito. Se resuelve posteriormente el modelo t-j de superconductividad con condiciones abiertas. Lo mismo se hace con las cadenas asociadas a las algebras tipo an-1 con condiciones de contorno abiertas. Por ultimo se demuestra la propiedad de peso máximo para la cadena invariante suq(n) y el modelo t-j con invariacia splq(2,1). En las conclusiones se comenta la posible aplicación de los resultados obtenidos al problema de hofstadter y otros relacionados con condiciones abiertas.
La Memoria expone una serie de trabajos en los que se hace un uso intensivo del metodo de Monte Carlo para estudiar varios problemas de interes en Fisica estadistica.
El objeto de los dos primeros capitulos es el estudio de interacciones antiferromagneticas en modelos de espines continuos. Se estudian transiciones de primer orden, de primer orden debil y tambien una transicion de segundo orden. Esta ultima no parece pertenecer a ninguna clase de universalidad identificada con anterioridad. En el segundo capitulo se describe ademas una nueva tecnica de analisis de datos obtenidos en el punto critico, de gran versatilidad y eficiencia.
En el tercer capitulo se emplea esta tecnica para estudiar el comportamiento critico de dos de los modelos tridimensionales mas sencillos de la Fisica Estadistica:
el modelo de Ising y la percolacion. Mediante un analisis de las correcciones al comportamiento de escala, se obtienen medidas de gran precision de los exponentes criticos, los cumulantes y los puntos criticos.
En el cuarto capitulo de la Memoria se describe un modelo de Teoria de Campos en el Reticulo que describe de manera sencilla (a nivel cualitativo) una gran variedad de fenomenos en los cupratos superconductores de alta temperatura critica. El modelo se explora mediante la aproximacion de campo medio, y se analiza el diagrama de fases mediante un calculo de Monte Carlo. Para este ultimo calculo, ha sido preciso disenar una generalizacion del algoritmo Hibrido de Monte Carlo, que tambien se describe en la memoria.
En el ultimo capitulo se presenta una forma novedosa de abordar el programa de Wilson para mejorar el comportamiento de escala de una Teoria Cuantica de Campos regulada en el reticulo, ajustando no perturbativamente las constantes de acoplamiento desnudas. Este enfoque se demuestra muy eficaz para la teoria lambda Phi4 en tres dimensiones.
EN ESTA TESIS SE HA DEMOSTRADO QUE LOS ANYONES PUEDEN SUFRIR INTERACCIONES DE CONTACTO A PESAR DE LA BARRERA CENTRIFUGA QUE SIEMPRE LOS CARACTERIZA. SOLO LOS FERMIONES IDENTICOS NO SUFREN DICHAS INTERACCIONES. ESTO SE HA PROBADO USANDO O BIEN UNA REGULARIZACION DE LA INTERACCION O BIEN HALLANDO LAS EXTENSIONES AUTOADJUNTAS DEL HAMILTONIANO RADIAL LIBRE EN ONDA S, HALLANDOSE EN AMBOS CASOS UN DESFASE EN ONDA 5 Y UN ESTADO LIGADO. EN EL CASO RELATIVISTA, SE HA DEMOSTRADO QUE LOS ANYONES LIBRES DE DIRAC SIEMPRE PRESENTAN INTERACCIONES DE CONTACTO, PUESTO QUE LAS INTERACCIONES DE PAULI QUE SIEMPRE ESTAN INCLUIDAS EN SU DINAMICA SON INTERACCIONES DE CONTACTO. LOS ANYONES DE DIRAC TAMBIEN PUEDEN PRESENTAR INTERACCIONES DE CONTACTO ADICIONALES, QUE PUEDEN ESTUDIARSE O MEDIANTE EXTENSIONES AUTOADJUNTAS O CON REGULARIZACIONES. HEMOS DEMOSTRADO QUE LA DEFINICION DE ESTADISTICAS CUANTICAS NO REQUIERE LA EXCLUSION DEL ESPACIO DE CONFIGURACION DE LOS PUNTOS DONDE DOS O MAS PARTICULAS COINCIDEN. EN VISTA DE ELLO, Y DE LAS PRIMERAS CONCLUSIONES, SE PUEDE AFIRMAR QUE LOS ANYONES OBEDECEN UN PRINCIPIO DE EXCLUSION DEBIL EN VEZ DEL PRINCIPIO DE EXCLUSION FUERTE DE LOS FERMIONES, OSEA, QUE LOS ANYONES TIENDEN A EXCLUIRSE, PERO ESO NO ES ASI PARA ANYONES QUE SUFREN INTERACCIONES DE CONTACTO. FINALMENTE, HEMOS DEMOSTRADO QUE LA TEORIA PERTURBATIVA EN MECANICA DE POTENCIALES SUFICIENTEMENTE SINGULARES REQUIERE REGULARIZACION Y RENORMALIZACION, EXACTAMENTE IGUAL QUE VARIOS MODELOS DE TEORIAS CUANTICAS DE CAMPOS. ESO SE HA PROBADO PARA INTERACCIONES DE CONTACTO EN 2 DIMENSIONES Y PARA ANYONES EN EL LIMITE BOSONICO. PARA ESTE ULTIMO PROBLEMA, UNA INTERACCION DE CONTACTO QUE ESTABA AUSENTE EN EL TRATAMIENTO EXACTO, SE INDUCE PERTURBATIVAMENTE.
La motivacion de esta tesis es estudiar el entrelazamiento cuantico en general y bajo que circunstancias es maximo en particular. En primer lugar, se analizan desigualdades de Bell desde un punto de vista operacional, se presentan nuevas desigualdades para particulas de dimension mayor que dos y se estudian los estados que las violan maximamente. Dichos estados son del tipo GHZ para las desigualdades que involucran qubits. En el caso de experimentos con qutrits o particulas dimension local mayor, los estados que violan maximamente estas desigualdades son deformaciones de estados GHZ generalizados. Este resultado demuestra que aunque maximo entrelazamiento y la no-localidad son conceptos muy proximos, no son equivalentes. En segundo lugar, se estudia el entrelazamiento multipartito en cadenas de espines. En particular, se usa como figura de merito el hiperdeterminante y los invariantes polinomicos que lo forman, S y T. Estas figuras cuantifican un tipo concreto de entrelazamiento cuatripartito, tal y como se demuestra de un analisis de estados cuanticos bien conocidos como el GHZ o el W. Cuando aplicamos esta figura a una cadena de espines con interaccion tipo Ising, observamos un pico pronunciado cerca de la transicion de fase cuantica. Resultados similares se observan para los modelos de XXZ y de Haldane-Shastry para el caso de los invariantes S y T. Con todo, concluimos que estas figuras de merito son sensibles a las transiciones de fase cuanticas. La segunda parte de la tesis se focaliza en el campo de la computacion cuantica. Dicho campo ha experimentado un crecimiento relevante en los ultimos anos, debido en parte a la mejora tecnologica sobre el control de experimentos cuanticos. Con motivo de este crecimiento, diversas empresas han empezado a desarrollar prototipos de ordenadores cuanticos. Por esta razon, una de las lineas de investigacion en computacion cuantica consiste en proponer metodos para poner a prueba estas maquinas. Uno de los metodos presentados en esta tesis es la simulacion exacta de una cadena de espines con interaccion de tipo XY. Se explicita como debe de ser el circuito cuantico que lleva a cabo dicha simulacion y se propone la simulacion tanto de estados termicos como de la evolucion en el tiempo. Debido a que el modelo XY es resoluble analiticamente, se pueden comparar los resultados obtenidos de la simulacion con el ordenador cuantico con la solucion teorica. Al correr un circuito para cuatro qubits en dos ordenadores de la empresa IBM y uno de la empresa Rigetti computing, obtenemos resultados peores a los esperados. Con ello, concluimos que hay fuentes de error que no se estan teniendo en cuenta en general y que cobran relevancia incluso en circuitos tan pequenos. Ademas de este circuito, proponemos la simulacion de estados altamente entrelazados. La implementacion de estos circuitos constituye un test tan duro como necesario para un ordenador cuantico, debido a que la ventaja de los algoritmos cuanticos radica en la generacion de entrelazamiento. Para finalizar, estudiamos la generacion de entrelazamiento al nivel mas fundamental: la fisica de particulas. Obtenemos que la interaccion de QED viene dictada por el maximo entrelazamiento en aquellos procesos a “tree-level”. Aplicamos la misma filosofia en procesos que involucren corrientes debiles neutras (tambien a “tree-level”) y con ello obtenemos que el angulo de Weinberg debe ser de pi/6 si imponemos que las particulas finales deben estar maximamente entrelazadas, valor muy cercano al experimental.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.