A dolgozatban első lépésként az euklideszi, normál O(N)-modellek kritikus exponenseit vizsgálom a funkcionális renormálási csoport alkalmazásával (FRG) a gradienskifejtés második és negyedik rendjében. Ezt a vizsgálatot követi az euklideszi 3-dimenziós, szellemteres O(2)-modell vizsgálata szintén az FRG alkalmazásával a gradienskifejtés vezető rendjében, a lokális potenciál közelítésben (LPA). Két esetet vizsgálok meg, attól függően, hogy a kvartikus deriválthoz tartozó operátor dimenziós vagy dimenziótlanított megfelelője van állandó értéken tartva. A dolgozat végső eredménye az euklideszi, 3-dimenziós, szellemteres O(1)-modell vizsgálata egy általam és szerzőtársaim által kifejlesztett FRG sémában az LPA-n túl.
A dolgozatban első lépésként az euklideszi, normál O(N)-modellek kritikus exponenseit vizsgálom a funkcionális renormálási csoport alkalmazásával (FRG) a gradienskifejtés második és negyedik rendjében. Ezt a vizsgálatot követi az euklideszi 3-dimenziós, szellemteres O(2)-modell vizsgálata szintén az FRG alkalmazásával a gradienskifejtés vezető rendjében, a lokális potenciál közelítésben (LPA). Két esetet vizsgálok meg, attól függően, hogy a kvartikus deriválthoz tartozó operátor dimenziós vagy dimenziótlanított megfelelője van állandó értéken tartva. A dolgozat végső eredménye az euklideszi, 3-dimenziós, szellemteres O(1)-modell vizsgálata egy általam és szerzőtársaim által kifejlesztett FRG sémában az LPA-n túl.
Értekezésemben különböző kvantumelméleti modelleket tárgyaltam a funkcionális renormálásicsoport-módszer (RG-módszer) segítségével. A kvantált anharmonikus oszcillátor esetén a renormálási séma optimalizálásnak kérdését tanulmányoztam. Lokális potenciál közelítésben a legkisebb érzékenység elve a Litim-regulátortól kissé eltérő optimális regulátort szolgáltatott. A Caldeira–Leggett-modellben meghatároztam a szuszceptibilitás és a korrelációshossz kritikus exponensét a spektrálfüggvény Drude- és Debye-típusú levágása esetén. Azt tapasztaltam, hogy a két fajta levágás a kritikus exponensek meghatározása szempontjából egyenértékűnek tekinthető. A kétdimenziós sine-Gordon-modellt impulzusfüggő hullámfüggvény-renormálás alkalmazásával tárgyaltam. A modell ultraibolya viselkedése a renormálás kezdeti feltételeitől függően változhat, így a modell aszimptotikus biztonsága sérülhet. A hullámfüggvény-renormálás vezető rendű tagját tekintve a modell nagy energiás és alacsony energiás skálázási viselkedése között duális kapcsolatot tapasztalhatunk. A kétdimenziós kvantum-színdinamikának megfelelő bozonizált modellt egy fermion íz figyelembevételével tárgyaltam. Meghatároztam a klasszikus modell alapállapotát, amely triviálisnak adódott. Az RG-módszer alkalmazásával megmutatható, hogy a kvantált modell egyetlen fázissal rendelkezik. I discussed different quantum theoretical models in the framework of the functional renormalization group (RG) method in my PhD thesis. For the quantized anharmonic oscillator the question of the optimization of the renormalization scheme was investigated. I obtained that in local potential approximation the principle of minimal sensitivity leads to such regulator which is a slight modification of the Litim one. I also investigated the Caldeira-Leggett model. I considered Drude and Debye type cutoff functions and I calculated critical exponents of the susceptibility and the correlation length. I found the two types of cutoff functions to be coequal from the viewpoint of the critical exponents. The 2-dimensional sine-Gordon model with wave function renormalization inculding higher order terms in the momentum was analyzed. The model can have different ultraviolet scaling behaviour depending on the initial conditions, so the model can cease to be asymptotically safe. Considering the leading term of the wave function renormalization there is a dual correspondence between the low and the high energy scalings of the model. The bosonized model of the two dimensional quantum chromodynamics with one fermion flavour has been investigated too. The ground state of classical model is determined and found to be flat. Using the RG method it can be shown that the model has a single phase.
Nemintegrálható modellek: szisztematikus elméleti keretet adtunk nemintegrálható modellek effektív potenciáljának és szoliton spektrumának kvalitatív leírására. Ezen felül sikerült az ún. form faktor perturbációszámítást magasabb rendekre kiterjeszteni, a véges térfogatú FF formalizmus segítségével. Véges térfogatú form faktorok: a formalizmust kiterjesztettük általános (nemdiagonális szórású) integrálható modellekre. Leírtuk az exponenciális korrekciók vezető tagját, és ennek hatását a mátrix elemek numerikus meghatározásában. Peremes elméletekben a lokális operátorok várható értékének helyfüggésére szisztematikus kiszámítási módot adtunk meg, a véges térfogatú form faktor módszert használva. Peremes form faktorok: sikerült a peremes sine-Gordon modell lélegző form faktorait meghatározni, és numerikusan tesztelni. Véges hőmérsékletű korrelátorok: megalkottuk a tervezett szisztematikus kifejtést, ami a projekt fő célja volt és teljes mértékben ellenőriztük, részben analitikus, részben numerikus módszerek segítségével. Peremes entrópia: bár a tervezettől eltérő módon, de hatékony módszert adtunk a peremes entrópia függvény kiszámítására, sőt sikerült azt gerjesztett állapotokban is meghatározni. OSp(2|2) Gross-Neveu modellre TBA módszer segítségével sikerült igazolni a Leclair-Bassi S mátrix helyességét, valamint dualitást kimutatni az SO(4) modellel. Kimutattuk, hogy a random bond Ising modellre Cabra és munkatársai által javasolt S mátrix nem helyes. | Nonintegrable theory: we developed a systematic framework for a qualitative description of the effective potentials and soliton spectra in nonintegrable modells. Using the finite volume FF formalism, we extended the form factor perturbation theory to higher orders. Finite volume form factors: the formalism has been extended to general integrable models with nondiagonal scattering. We described the leading exponential corrections, and demonstrated its effect on numerical determination of matrix elements. We gave a systematic method to determine the position dependence of the expectation value of local operators using the finite volume form factor formalism. Boundary form factors: we determined the breather form factors in the boundary sine-Gordon modell, and numerically verified the bootstrap predictions. Thermal correlators: we constructed the systematic expansion, that was the central aim of the project, and verified it using partly numerical, partly analytic methods. Boundary entropy: following a line different from the original plan, we gave an effective method for its evaluation, in addition, this method also works for the excited states. Using the TBA method, the Leclair-Bassi S matrix conjecture for the OSp(2|2) Gross-Neveu model was verified, and a duality with the SO(4) model found. It was also shown, that the S matrix proposed for the random bond Ising modell by Cabra et al. cannot be correct.
Alacsony dimenziós, erősen korrelált elektronrendszereket vizsgáltunk analitikusan, a renormálásicsoport-módszer és a Bethe-hipotézis alkalmazásával, illetve numerikusan, a sűrűségmátrixos renormálásicsoport-algoritmus (DMRG) segítségével. Rámutattunk arra, hogy a fázisátalakulás helyének meghatározására igen alkalmas a kvantuminformációs entrópia. Az átalakulási pontban ugrás vagy extrémum jelenik meg a két szomszédos rácsponthoz tartozó entrópiában. Véges szakaszok entrópiájának hosszfüggéséből pedig a kialakuló fázis lágy módusainak helye vagy az inhomogén fázis térbeli periodicitása határozható meg. A donor-akceptor típusú töltésátviteli sók semleges-ionos átalakulását vizsgálva megmutattuk, hogy az vagy elsőrendű, vagy két lépésben történik, egy dimerizált fázis közbeiktatásával. A Hubbard-modell SU(n) szimmetriát mutató általánosítását vizsgálva megmutattuk, hogy 1/n-ig töltött sáv esetén a viselkedés pontosan olyan, mint a félig töltött Hubbard modellben n=2 esetén, míg n>2 esetén a félig töltött sávú modellben már összecsatolódnak a töltés és spin szabadsági fokok, minden gerjesztési ág tilos sávval indul, s ezért az alapállapot dimerizálódik. Általánosabb betöltöttségnél Luttinger-folyadék jellegű viselkedést tapasztalunk. Ilyen láncokat összecsatolva megmutattuk, hogy bár a csatolások alkalmas megválasztása esetén találhatunk Luttinger-folyadék jellegű viselkedést, SU(n) szimmetriát mutató Hubbard-láncok összecsatolása esetén ez nem fordulhat elő. | We have studied the properties of low-dimensional strongly correlated systems analytically, using the renormalization group approach and the Bethe hypothesis as well as numerically with the density-matrix renormalization-group algorithm. We have shown that the quantum information entropy is a good quantity to study when the location of a quantum critical point or the properties of the phases have to be determined. The entropy of neighboring sites exhibits a jump or discontinuity at the transition, while oscillations in the length dependence of the entropy of finite segments indicate soft modes or the inhomogeneity of the phase. We have constructed a general model to describe the neutral-ionic transition in charge-transfer salts, and pointed out that the transition is either of first order or takes place in two steps, with an intermediate dimerized phase. We have studied the metal-insulator transition in the SU(n) symmetric generalization of the Hubbard model. We have shown that this system behaves similarly to the half-filled usual Hubbard chain if the band is 1/n-filled. The half-filled models behave differently, they are dimerized for n>2 due to the coupling of the charge and spin modes, which all become gapped. For generic fillings, Luttinger liquid behavior is found. When such chains are coupled together, Luttinger liquid behavior is still possible for appropriate choices of the couplings, but such a state cannot exist if the chains are Hubbard like.
A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.