Рассматриваются томограммы и квазираспределения, такие как функции Вигнера, $P$-функция Глаубера-Сударшана и $Q$-функция Хусими, нарушающие стандартное условие нормировки для функции распределения вероятности. В этом случае преобразование Радона функции Вигнера может быть неприменимо для определения томограммы. Также выражения для функции Вигнера и томограммы через волновую функцию и матрицу плотности перестают быть обратимыми. Получены условия, налагаемые на функцию Вигнера и томограмму, которые позволяют обойти эти ограничения. Изучены три различных квантовых состояния: плоская волна де Бройля, затвор Мошинского и движение заряженной частицы в равномерном и постоянном электрическом поле. Их томограммы и функции квазираспределения, выражающиеся в терминах дельта-функции Дирака, функции Эйри и интегралов Френеля, нарушают условия нормировки.
Рассматриваются томограммы и квазираспределения, такие как функции Вигнера, P-функция Глаубера-Сударшана и Q-функция Хусими, нарушающие стандартное условие нормировки для функции распределения вероятности. В этом случае преобразование Радона функции Вигнера может быть неприменимо для определения томограммы. Также выражения для функции Вигнера и томограммы через волновую функцию и матрицу плотности перестают быть обратимыми. Получены условия, налагаемые на функцию Вигнера и томограмму, которые позволяют обойти эти ограничения. Изучены три различных квантовых состояния: плоская волна де Бройля, затвор Мошинского и движение заряженной частицы в равномерном и постоянном электрическом поле. Их томограммы и функции квазираспределения, выражающиеся в терминах дельта-функции Дирака, функции Эйри и интегралов Френеля, нарушают условия нормировки.
Переход от функции Вигнера к s-упорядоченному распределению в фазовом пространстве посредством канала с гауссовским шумом
Различные распределения в фазовом пространстве, от знаменитой функции Вигнера до функции Хусими Q и распределения Глаубера-Сударшана P, сыграли интересную и важную роль в подходе фазового пространства к квантовой механике в целом и квантовой оптике в частности. Кэхилл и Глаубер предложили единый подход ко всем этим распределениям, который основан на понятии s-упорядоченного распределения в фазовом пространстве. Для прояснения физического смысла параметра s предлагается интерпретировать s-упорядоченное распределение в фазовом пространстве как функцию Вигнера состояния на выходе канала с гауссовским шумом. Таким образом раскрывается связь между s-упорядоченным распределением в фазовом пространстве и каналом с гауссовским шумом, которая дает физическое понимание этого распределения. В этом контексте параметр −s/2 (а не исходный параметр s) приобретает смысл параметра гауссовского шума в канале. Объясняется альтернативное представление канала с гауссовским шумом как приготовления калибровочного измерения когерентного состояния. С использованием параметра s вводится легко вычислимый и экспериментально проверяемый количественный показатель оптической неклассичности, доказаны его основные свойства и приведены примеры его вычисления для некоторых типичных состояний. Сформулирован простой и удобный критерий оптической неклассичности в терминах s-упорядоченного распределения в фазовом пространстве.
Проблема измерений для квантовой монетки Адамара в серии из произвольного числа n измерений с повторяющейся последовательностью состояний в последних измерениях сформулирована в терминах последовательности чисел Фибоначчи для дуплетных состояний, чисел три-боначчи для триплетных состояний и чисел N-боначчи для N-плетных состояний. Найдены вероятности для произвольного положения повторяющихся состояний, выражающиеся в числах Лукаса и Фибоначчи. Для кубитной монетки общего вида соответствующие выражения являются полиномами Фибоначчи и, в более общем случае, полиномомами N-боначчи от кубитных вероятностей. Выведены производящие функции вероятностей, золотое сечение как предел этих вероятностей и энтропия Шеннона для соответствующих состояний. С использованием обобщенного правила Борна и универсальности n-кубитного измерительного вентиля задача сформулирована для общих n-кубитных состояний; построены проекторы в гильбертовом пространстве этих состояний, ограниченных на дерево Фибоначчи для квантовых состояний. Полученные результаты обобщаются на случаи кутритной и кудитной монеток, описываемых обобщенными последовательностями чисел Фибоначчи и N-боначчи.
Операторный метод вычисления Q-символов и их связь с символами Вейля - Вигнера и символами симплектических томограмм
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ Q-СИМВОЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С СИМВОЛАМИ ВЕЙЛЯ-ВИГНЕРА И СИМВОЛАМИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ТОМОГРАММ Предложен новый метод вычисления символов Хусими операторов.В отличие от обычного способа, он не требует использования процедуры антинормального упорядочивания.Согласно этому методу операторам координаты q и импульса p ставятся в соответствие некоторые другие операторы X, P , удовлетворяющие тем же коммутационным соотношениям.Найден результат действия операторов X, P , а также полиномов, зависящих от этих операторов, на функцию Хусими.После интегрирования полученного выражения по координатам фазового пространства под интегралом получается функция Хусими, умноженная на символ того оператора, который действовал на эту функцию.Для операторов, являющихся степенями операторов X или P , символы Хусими вычислены в явном виде.
В работе обсуждаются методы реконструкции волновой функции чистого состояния квантовой системы по известной оптической томограмме состояния. Оптическая квантовая томограмма представляет собой однопараметрическое распределение вероятностей с параметром θ. Волновая функция чистого состояния выражается через оптическую томограмму, если последняя известна для любых значений θ. Однако оптическая томограмма определяется из эксперимента гомодинного детектирования, где θ фиксированно. Поэтому оптическая томограмма может быть известна лишь для нескольких дискретных значений параметра. Мы приводим приближенные методы определения волновой функции квантового состояния по неполной информации о его томограмме, представляющие собой развитие уже существующих методов.
И СИМПЛЕКТИЧЕСКИМИ ТОМОГРАММАМИРассматриваются Q-функции Хусими, являющиеся квантовыми функциями распределения квазивероятностей на фазовом пространстве.Изучаются их трансформационные свойства при масштабном преобразовании (q, p) → (λq, λp).Доказана теорема, согласно которой при таком преобразовании функция Хусими физического состояния переходит в функцию, также являющуюся функцией Хусими некоторого физического состояния.Таким образом, это преобразование задает положительное отображение оператора плотности.Изучена связь функций Хусими с функциями Вигнера и симплектическими томограммами.Установлено, как они преобразуются при масштабном преобразовании.В
Для нерелятивистской квантовой системы N частиц волновая функция является функцией 3N пространственных координат и одной временно́й координаты. Релятивистское обобщение волновой функции зависит от N временны́х переменных и известно как многовременная волновая функция. Ее эволюция описывается N уравнениями Шредингера, по одному для каждой временной переменной. Чтобы система уравнений имела нетривиальное решение, N гамильтонианов должны удовлетворять условию совместности, также называемому условием интегрируемости. В настоящей работе условие интегрируемости выражено в терминах лагранжианов. С помощью фейнмановского подхода к квантовой механике получена эволюция волновой функции по N временным переменным. Уравнения этой эволюции совместны тогда и только тогда, когда N лагранжианов удовлетворяют определенному соотношению, называемому условием согласованности, которое можно записать в терминах линии Вильсона. Условие согласованности порождает ключевое свойство эволюции волновой функции: независимость эволюции от траектории в пространстве временных переменных. Это дает основания предполагать, что необходимо учитывать все возможные траектории не только в пространстве зависимых (пространственных) переменных, но и в пространстве независимых (временных) переменных. С геометрической точки зрения условие согласованности можно рассматривать как условие нулевой кривизны, а многовременные эволюции - как согласованные параллельные переносы в плоском пространстве временных переменных.