Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, einen funktionierenden Diagrammatic Quantum Monte Carlo (DQMC) Code zu implementieren und ihn zu verwenden, um Berechnungen am drei- bzw. zweidimensionalen Fröhlich Polaron durchzuführen. Die ersten Kapitel dieser Arbeit geben eine Einführung in die Polaron Thematik mit besonderem Augenmerk auf dem Fröhlich Hamiltonoperator. Des Weiteren werden Greensche Funktionen in der Vielteilchentheorie und deren Zusammenhang zu Feynman Diagrammen besprochen. Es folgt ein allgemeiner Überblick über Monte Carlo- und DQMC Simulationen. Zum Schluss wird sehr detailiert beschrieben, wie der DQMC Algorithmus für das Fröhlich Polaron verwendet werden kann, und es werden die Resultate presentiert. Die Ergebnisse bestätigen die Erwartung, dass für das Fröhlich Polaron die polaronischen Effekte in zweidimensionalen Systemen stärker in Erscheinung treten als in dreidimensionalen Systemen. Sie unterstreichen die Nützlichkeit der DQMC Methode, zeigen aber auch ihre Grenzen auf, speziell von der vorliegenden Implementierung. Durch einige Verbesserungen und Änderungen könnte diese auch auf andere interessante Systeme angewendet werden.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, einen funktionierenden Diagrammatic Quantum Monte Carlo (DQMC) Code zu implementieren und ihn zu verwenden, um Berechnungen am drei- bzw. zweidimensionalen Fröhlich Polaron durchzuführen. Die ersten Kapitel dieser Arbeit geben eine Einführung in die Polaron Thematik mit besonderem Augenmerk auf dem Fröhlich Hamiltonoperator. Des Weiteren werden Greensche Funktionen in der Vielteilchentheorie und deren Zusammenhang zu Feynman Diagrammen besprochen. Es folgt ein allgemeiner Überblick über Monte Carlo- und DQMC Simulationen. Zum Schluss wird sehr detailiert beschrieben, wie der DQMC Algorithmus für das Fröhlich Polaron verwendet werden kann, und es werden die Resultate presentiert. Die Ergebnisse bestätigen die Erwartung, dass für das Fröhlich Polaron die polaronischen Effekte in zweidimensionalen Systemen stärker in Erscheinung treten als in dreidimensionalen Systemen. Sie unterstreichen die Nützlichkeit der DQMC Methode, zeigen aber auch ihre Grenzen auf, speziell von der vorliegenden Implementierung. Durch einige Verbesserungen und Änderungen könnte diese auch auf andere interessante Systeme angewendet werden.
Polarone sind Quasiteilchen, die durch die Wechselwirkung von Elektronen mit Gitterschwingungen entstehen. In der Physik der kondensierten Materie spielen Polarone für viele Systeme eine zentrale Rolle, da sie sowohl Transporteigenschaften als auch optische und supraleitende Eigenschaften maßgeblich beeinflussen können. Es ist deshalb von großer Bedeutung für die theoretische Festkörperphysik, das Verhalten von Polaronen in unterschiedlichen Kopplungsregimen und für verschiedene Wechselwirkungsmechanismen zu verstehen. Die vorliegende Dissertation untersucht verschiedene Polaronmodelle mit Hilfe von analytischen Herleitungen und numerischen Simulationen basierend auf der diagrammatischen Monte-Carlo-Methode (DiagMC). Die Arbeit konzentriert sich dabei auf drei repräsentative Modelle in der Elektron-Phonon-Physik: (i) das historisch wichtige große Fröhlich-Polaron, (ii) das akustische Gitterpolaron, und (iii) das quadratische Polaron. Für das zwei- und dreidimensionale Fröhlich-Polaron werden Grundzustandsenergien, effektive Massen und Dispersionsrelationen präsentiert. Die Ergebnisse werden sowohl mit dem Pfadintegralansatz von Feynman als auch mit bekannten Störungstheorien für das schwache und starke Wechselwirkungsregime verglichen und zur Überprüfung exakter Skalierungsrelationen verwendet. Der zweite Teil dieser Dissertation untersucht das akustische Gitterpolaron, bei dem das Elektron über ein Deformationspotential mit einem akustischen Phononenzweig wechselwirkt. Die Simulationen zeigen eine Selbstlokalisierungsregion, die das schwache und starke Kopplungsregime trennt und durch eine quantenmechanische Resonanz verschiedener Gitterverzerrungen gekennzeichnet ist. Das resultierende Quasiteilchen besitzt eine zusammengesetzte Phononenwolke, welche aus dem Zusammenspiel lang- und kurzwelliger Gitterschwingungen entsteht. Dies führt zur Ausbildung mehrerer konkurrierender Polaronzustände sowie zu einer komplexen spektralen und optischen Antwort, die sich deutlich von zuvor untersuchten Polaronmodellen unterscheidet. Abschließend werden Polarone mit quadratischer Kopplung an Gitterauslenkungen untersucht. Im Gegensatz zu linearen Modellen reagiert das Quasiteilchen weitgehend unempfindlich auf starke quadratische Wechselwirkungen, außer in der Nähe der Instabilitätsschwelle. Die Polaroneigenschaften hängen hauptsächlich vom adiabatischen Verhältnis ab und kaum von der Elektronendispersion oder der räumlichen Dimension des Modells. Außerdem sind die Gitterverzerrungen nur schwach ausgeprägt, selbst nahe der Instabilitätsschwelle. Zusammenfassend liefern die Ergebnisse dieser Dissertation neue Referenzwerte für verschiedene Polaronmodelle und tragen zum Verständnis der Elektron-Phonon-Physik in polarisierbaren Materialien bei.
Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung und Kombination verschiedener numerischer Methoden, sowie deren Anwendung auf Probleme stark korrelierter Elektronensysteme. Solche Materialien zeigen viele interessante physikalische Eigenschaften, wie z.B. Supraleitung und magnetische Ordnung und spielen eine bedeutende Rolle in technischen Anwendungen. Es werden zwei verschiedene Modelle behandelt: das Hubbard-Modell und das Kondo-Gitter-Modell (KLM). In den letzten Jahrzehnten konnten bereits viele Erkenntnisse durch die numerische Lösung dieser Modelle gewonnen werden. Dennoch bleibt der physikalische Ursprung vieler Effekte verborgen. Grund dafür ist die Beschränkung aktueller Methoden auf bestimmte Parameterbereiche. Eine der stärksten Einschränkungen ist das Fehlen effizienter Algorithmen für tiefe Temperaturen.rnrnBasierend auf dem Blankenbecler-Scalapino-Sugar Quanten-Monte-Carlo (BSS-QMC) Algorithmus präsentieren wir eine numerisch exakte Methode, die das Hubbard-Modell und das KLM effizient bei sehr tiefen Temperaturen löst. Diese Methode wird auf den Mott-Übergang im zweidimensionalen Hubbard-Modell angewendet. Im Gegensatz zu früheren Studien können wir einen Mott-Übergang bei endlichen Temperaturen und endlichen Wechselwirkungen klar ausschließen.rnrnAuf der Basis dieses exakten BSS-QMC Algorithmus, haben wir einen Störstellenlöser für die dynamische Molekularfeld Theorie (DMFT) sowie ihre Cluster Erweiterungen (CDMFT) entwickelt. Die DMFT ist die vorherrschende Theorie stark korrelierter Systeme, bei denen übliche Bandstrukturrechnungen versagen. Eine Hauptlimitation ist dabei die Verfügbarkeit effizienter Störstellenlöser für das intrinsische Quantenproblem. Der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus hat das gleiche überlegene Skalierungsverhalten mit der inversen Temperatur wie BSS-QMC. Wir untersuchen den Mott-Übergang im Rahmen der DMFT und analysieren den Einfluss von systematischen Fehlern auf diesen Übergang.rnrnEin weiteres prominentes Thema ist die Vernachlässigung von nicht-lokalen Wechselwirkungen in der DMFT. Hierzu kombinieren wir direkte BSS-QMC Gitterrechnungen mit CDMFT für das halb gefüllte zweidimensionale anisotrope Hubbard Modell, das dotierte Hubbard Modell und das KLM. Die Ergebnisse für die verschiedenen Modelle unterscheiden sich stark: während nicht-lokale Korrelationen eine wichtige Rolle im zweidimensionalen (anisotropen) Modell spielen, ist in der paramagnetischen Phase die Impulsabhängigkeit der Selbstenergie für stark dotierte Systeme und für das KLM deutlich schwächer. Eine bemerkenswerte Erkenntnis ist, dass die Selbstenergie sich durch die nicht-wechselwirkende Dispersion parametrisieren lässt. Die spezielle Struktur der Selbstenergie im Impulsraum kann sehr nützlich für die Klassifizierung von elektronischen Korrelationseffekten sein und öffnet den Weg für die Entwicklung neuer Schemata über die Grenzen der DMFT hinaus.
Das Anderson-Störstellenmodell (AIM) ist von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung von Materialien und Modellen mit starken elektronischen Korrelationen. Es steht außerdem im Zentrum Feynman-diagrammatischer Methoden wie der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) oder auch Erweiterungen zur DMFT, insbesondere was den numerischen Aufwand betrifft. Letztere quantifizieren sowohl lokaleals auch nicht-lokale elektronische Korrelationseffekte. Während lokale Korrelationseffekte in der DMFT durch Ein-Teilchen-Selbstenergien darstellbar sind, werden nicht-lokale Korrelationseffekte in diagrammatischen Erweiterungen zur DMFT aus Zwei-Teilchen-Vertexfunktionen berechnet. Diese beschreiben alle möglichen Streuungen zweier Teilchen im wechselwirkenden System. Allerdings besitzen sie auch eine wesentlich höhere Komplexität als die Ein-Teilchen-Selbstenergien. Quantenmechanische Monte-Carlo Simulationen in kontinuierlicher Zeit (CT-QMC) erlauben es, die unendliche Störungsreihe der Zustandssumme stochastisch aufzusummieren, und liefern somit numerische Lösungen des AIM in einem großen Parameterbereich. Eine besonders erwähnenswerte Klasse dieser Störstellenlöser, sogenannte CT-HYB Algorithmen, entwickeln die Zustandssumme als Störungsreihe im Hybridisierungsanteil des AIM. Die Formulierung basiert auf einer Stark-Kopplungs-Entwicklung und erlaubt eine Erweiterung auf Mehrband-Systeme. Dadurch wird eine Analyse elektronischer und magnetischer Eigenschaften korrelierter Materialien möglich. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Messung der Zwei-Teilchen-Greenschen Funktion innerhalb des Mehrband-CT-HYB Algorithmus. Die zusätzliche Orbitalabhängigkeit der lokalen Wechselwirkung führt zu einer grundlegend unterschiedlichen Struktur der Zwei-Teilchen-Greenschen Funktion im Gegensatz zu der Ein-Teilchen-Greenschen Funktion: Für SU(2)-symmetrische Wechselwirkungen beinhaltet die Zwei-Teilchen-Greensche Funktion Komponenten, welche der Struktur von Spin-Umklappund Paar-Hüpf-Termen entsprechen. Auch wenn Störstellen-Greensche Funktionen lokal definiert sind, wird in der traditionellen Formulierung von CT-HYB die Greensche Funktion aus der Störungsreihe der Zustandssumme, bestehend aus Hybridisierungsereignissen, berechnet. Daraus folgt ein intrinsischer Mangel in dem ursprünglichen Algorithmus alle Zwei-Teilchen-Greensche Funktionen zu berechnen. In dieser Arbeit wird daher Wurm-Sampling entwickelt um dies zu ermöglichen. Im Zusammenhang mit CT-HYB, wird hier stattdessen die unendliche Störungsreihe der Observable stochastisch aufsummiert. Dadurch kann einerseits die vollständige Zwei-Teilchen-Greensche Funktion gemessen werden, aber auch verbesserte Schätzer f ür verwandte Größen wie z.B. die Vertex-Asymptotik. Neben der Diskussion diagrammatischer Grundlagen des Wurm-Samplings, werden in dieser Arbeit außerdem die technischen Aspekte des Algorithmus erläutert. Der Zusammenhang zwischen den methodischen Überlegungen dieser Arbeit und der Physik wird in diversen Anwendungen hergestellt. Dabei werden Ein-Bandund Mehrband-Systeme im Bezug auf lokale und nicht-lokale Korrelationen diskutiert.
Die theoretische und experimentelle Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme im und ausserhalb des Gleichgewichts ist in den letzten Jahren zu einem zentralen Forschungsschwerpunkt in der Physik der kondensierten Materie geworden. In dieser Habilitationsschrift werden anhand eigener Beiträge aktuelle Entwicklungen diskutiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen des Feldes gegeben. Es wird dabei ein direkter Bezug von theoretischen Zugängen zu aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen und mit stark korrelierten Materialien genommen. Insbesondere werden mikroskopische Modelle diskutiert, die zur Modellierung stark korrelierter Materialien (wie z.B. Quantenmagnete) herangezogen werden. Das zweite Thema der Schrift behandelt die Realisierung und Untersuchung von Quantenvielteilcheneffekten in aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen durch sogenannte Quantensimulatoren. Ziel ist es, aufgrund theoretischer Überlegungen Vorhersagen zur Emulation stark korrelierter Systeme zu treffen und, basierend auf numerisch exakten Simulationen, Vorhersagen für die Experimente zu treffen. Da solche Experimente insbesondere auch ausserhalb des Gleichgewichts durchgeführt werden können, knüpft dies direkt an das dritte Thema der Schrift an, in dem die Physik von Quantenvielteilchensystemen ausserhalb des Gleichgewichts untersucht wird. Dazu gehören die Behandlung des Relaxationsverhaltens nach sogenannten Quantum Quenches und Fragestellungen zum Transport, die hier anhand von Situationen auf optischen Gittern diskutiert werden. Die drei Themenbereiche werden überspannt von der Fragestellung, wie man neuartige Quantenzustände realisieren kann, und wie man diese charakterisieren kann. Ausserhalb des Gleichgewichts erwächst die Fragestellung, ob durch das Relaxationsverhalten ungewöhnliche Zustände erzeugt werden können. Wie in dieser Arbeit diskutiert, ergeben sich in der Tat unerwartete Ergebnisse, wie die Bildung negativer Temperaturen, oder das Anwachsen der Teilchendichte verursacht durch repulsive Wechselwirkungen. Im Gleichgewicht kann das Vorhandensein starker Magnetfelder zu interessantem Verhalten führen, wie anhand verschiedener Systeme diskutiert wird. Hervorzuheben sind hier die Bildung unkonventioneller Mott-Isolatoren, von Phasen mit 'spin-nematischer' Ordnung, und unkonventionelle Quantenphasenübergänge. Eine aktuelle Entwicklung der aktuellen Forschung behandelt die Bildung sogenannter topologischer Phasen, die nicht durch einen lokalen Ordnungsparameter beschrieben werden und sich somit der Charakterisierung im Rahmen der Landau-Theorie von Phasen und Phasenübergängen entziehen. Aktuelle Fragestellungen sind die Realisierung solcher Phasen im Vorhandensein von Wechselwirkungen, auch langreichweitiger Natur, wie sie in Quantensimulatoren mit polaren Molekülen in Erscheinung treten. In dieser Schrift wird diskutiert, wie diese Fragestellungen durch einen numerischen Zugang - die Dichtematrixrenormierungsgruppe - behandelt werden können und wie diese sehr flexible Methode zu interessanten Einsichten in die facettenreiche Physik stark korrelierter Quantensysteme führt.
In den letzten Jahren spielt die Untersuchung von Verunreinigungen in Feststoffen sowie das Studium von starken Korrelationseffekten, die in solchen Systemen auftreten, eine große Rolle in den rechnergestützten Materialwissenschaften. Diese Arbeit konzentriert sich auf die Methode der vollständigne Konfigurationsinteraktion (FCI) und deren Implementierung. Die Methode der vollständigen Konfigurationsinteraktion ist wahrscheinlich die interessanteste korrelationskonsistente Methode, da sie innerhalb eines gegebenen Basissatzes exakt ist. Obwohl konzeptionell eine eher einfache Methode, skaliert FCI exponentiell mit der Anzahl der Orbitale und der Anzahl der Elektronen. Diese Einschränkung verhinderte die Weiterentwicklung der vollständigen Konfigurationsinteraktion, bis die vollständige Konfigurationsinteraktions quantum Monte Carlo-Methode (FCIQMC) erschien. FCIQMC hat die Berechnungen der CI-Wellenfunktion für wesentlich größere Systeme ermöglicht, als es mit Standardmethoden auf Grundlage von iterativen Diagonalisierungsverfahren möglich war. Die Implementierung beider Methoden steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Voraussetzung für die CI-Berechnung ist die Implementierung von Ein- und Zweielektronenintegralen in der Gaußschen Basis sowie die Implementierung der Hartree-Fock Methode. Schlußendlich sollen die implementierten Methoden so angepasst werden, dass sie direkt in VASP verwendet werden können. Hier wird der Code für Molekularsysteme sowie auf einfache Feststoffe angewendet. Man hofft, dass der Code in Zukunft als Impurity solver in DMFT und DMET Methoden verwendet werden kann.
In der vorliegenden Arbeit wird ein effizienter Soft-Decision Algorithmus vorgeschlagen, der fur die Decodierung langer linearen Blockcodes angewendet werden kann. Im Gegensatz zu Faltungscodes kann normalerweise die zusatzliche Zuverlassigkeitsinformation in die Decodierung von Blockcodes nicht auf einfache und effiziente Weise integrierte werden. Diese Arbeit ist ein Versuch, diese Lucke zu schliesen. Eine Moglichkeit der Hard-Decision Decodierung besteht in der Verwendung von sogenannten Informationsmengen. Eine Informationsmenge gestattet es, durch Kenntnis einiger Komponenten eines Codewortes die unbekannten Stellen exakt zu berechnen. In dieser Arbeit wird ein Decodieralgorithmus vorgestellt, der auf Informationsmengen basiert. Die Zuverlassigkeitsinformationen werden derart zur Auswahl der Informationsmengen verwendet, das fur sehr lange Blockcodes eine minimale Anzahl von Operationen notwendig ist. Zur weiteren Begrenzung der durchschnittlichen Komplexitat werden einige Kriterien hergeleitet, die einen Abbruch der Iteration gestatten, wenn der Algorithmus bereits eine Maximum-Likelihood Schatzung erreicht hat. Weiterhin werden ausfuhrliche Simulationen mit dem beschriebenen Algorithmus durchgefuhrt. Um auch sehr lange Blockcodes zu simulieren, wird zunachst eine Simulationsmethode vorgeschlagen, die die wahrscheinlichsten Fehlerereignisse stark berucksichtigt. Dadurch wird es moglich, sehr lange Codes auch fur grose Signal zu Rauschverhaltnis zu simulieren. Es wird eingehend untersucht, wie sich verschiedene Abbruchkriterien auf die Komplexitat des Decodieralgorithmus auswirken. Ferner wird dieser Algorithmus fur die BCH-Codes (128,64) und (255,123) angewendet. Es zeigt sich, das selbst mit wenigen Iterationen eine deutliche Steigerung gegenuber einer BMD-Decodierung erreicht werden kann. Durch Erhohung der Anzahl der Iterationen gestattet es der vorschlagene Algorithmus beliebig dicht an die Leistungsfahigkeit eines Maximum-Likelihood-Decodierers heranzukommen.