In den letzten Jahren spielt die Untersuchung von Verunreinigungen in Feststoffen sowie das Studium von starken Korrelationseffekten, die in solchen Systemen auftreten, eine große Rolle in den rechnergestützten Materialwissenschaften. Diese Arbeit konzentriert sich auf die Methode der vollständigne Konfigurationsinteraktion (FCI) und deren Implementierung. Die Methode der vollständigen Konfigurationsinteraktion ist wahrscheinlich die interessanteste korrelationskonsistente Methode, da sie innerhalb eines gegebenen Basissatzes exakt ist. Obwohl konzeptionell eine eher einfache Methode, skaliert FCI exponentiell mit der Anzahl der Orbitale und der Anzahl der Elektronen. Diese Einschränkung verhinderte die Weiterentwicklung der vollständigen Konfigurationsinteraktion, bis die vollständige Konfigurationsinteraktions quantum Monte Carlo-Methode (FCIQMC) erschien. FCIQMC hat die Berechnungen der CI-Wellenfunktion für wesentlich größere Systeme ermöglicht, als es mit Standardmethoden auf Grundlage von iterativen Diagonalisierungsverfahren möglich war. Die Implementierung beider Methoden steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Voraussetzung für die CI-Berechnung ist die Implementierung von Ein- und Zweielektronenintegralen in der Gaußschen Basis sowie die Implementierung der Hartree-Fock Methode. Schlußendlich sollen die implementierten Methoden so angepasst werden, dass sie direkt in VASP verwendet werden können. Hier wird der Code für Molekularsysteme sowie auf einfache Feststoffe angewendet. Man hofft, dass der Code in Zukunft als Impurity solver in DMFT und DMET Methoden verwendet werden kann.
In den letzten Jahren spielt die Untersuchung von Verunreinigungen in Feststoffen sowie das Studium von starken Korrelationseffekten, die in solchen Systemen auftreten, eine große Rolle in den rechnergestützten Materialwissenschaften. Diese Arbeit konzentriert sich auf die Methode der vollständigne Konfigurationsinteraktion (FCI) und deren Implementierung. Die Methode der vollständigen Konfigurationsinteraktion ist wahrscheinlich die interessanteste korrelationskonsistente Methode, da sie innerhalb eines gegebenen Basissatzes exakt ist. Obwohl konzeptionell eine eher einfache Methode, skaliert FCI exponentiell mit der Anzahl der Orbitale und der Anzahl der Elektronen. Diese Einschränkung verhinderte die Weiterentwicklung der vollständigen Konfigurationsinteraktion, bis die vollständige Konfigurationsinteraktions quantum Monte Carlo-Methode (FCIQMC) erschien. FCIQMC hat die Berechnungen der CI-Wellenfunktion für wesentlich größere Systeme ermöglicht, als es mit Standardmethoden auf Grundlage von iterativen Diagonalisierungsverfahren möglich war. Die Implementierung beider Methoden steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Voraussetzung für die CI-Berechnung ist die Implementierung von Ein- und Zweielektronenintegralen in der Gaußschen Basis sowie die Implementierung der Hartree-Fock Methode. Schlußendlich sollen die implementierten Methoden so angepasst werden, dass sie direkt in VASP verwendet werden können. Hier wird der Code für Molekularsysteme sowie auf einfache Feststoffe angewendet. Man hofft, dass der Code in Zukunft als Impurity solver in DMFT und DMET Methoden verwendet werden kann.
Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung und Kombination verschiedener numerischer Methoden, sowie deren Anwendung auf Probleme stark korrelierter Elektronensysteme. Solche Materialien zeigen viele interessante physikalische Eigenschaften, wie z.B. Supraleitung und magnetische Ordnung und spielen eine bedeutende Rolle in technischen Anwendungen. Es werden zwei verschiedene Modelle behandelt: das Hubbard-Modell und das Kondo-Gitter-Modell (KLM). In den letzten Jahrzehnten konnten bereits viele Erkenntnisse durch die numerische Lösung dieser Modelle gewonnen werden. Dennoch bleibt der physikalische Ursprung vieler Effekte verborgen. Grund dafür ist die Beschränkung aktueller Methoden auf bestimmte Parameterbereiche. Eine der stärksten Einschränkungen ist das Fehlen effizienter Algorithmen für tiefe Temperaturen.rnrnBasierend auf dem Blankenbecler-Scalapino-Sugar Quanten-Monte-Carlo (BSS-QMC) Algorithmus präsentieren wir eine numerisch exakte Methode, die das Hubbard-Modell und das KLM effizient bei sehr tiefen Temperaturen löst. Diese Methode wird auf den Mott-Übergang im zweidimensionalen Hubbard-Modell angewendet. Im Gegensatz zu früheren Studien können wir einen Mott-Übergang bei endlichen Temperaturen und endlichen Wechselwirkungen klar ausschließen.rnrnAuf der Basis dieses exakten BSS-QMC Algorithmus, haben wir einen Störstellenlöser für die dynamische Molekularfeld Theorie (DMFT) sowie ihre Cluster Erweiterungen (CDMFT) entwickelt. Die DMFT ist die vorherrschende Theorie stark korrelierter Systeme, bei denen übliche Bandstrukturrechnungen versagen. Eine Hauptlimitation ist dabei die Verfügbarkeit effizienter Störstellenlöser für das intrinsische Quantenproblem. Der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus hat das gleiche überlegene Skalierungsverhalten mit der inversen Temperatur wie BSS-QMC. Wir untersuchen den Mott-Übergang im Rahmen der DMFT und analysieren den Einfluss von systematischen Fehlern auf diesen Übergang.rnrnEin weiteres prominentes Thema ist die Vernachlässigung von nicht-lokalen Wechselwirkungen in der DMFT. Hierzu kombinieren wir direkte BSS-QMC Gitterrechnungen mit CDMFT für das halb gefüllte zweidimensionale anisotrope Hubbard Modell, das dotierte Hubbard Modell und das KLM. Die Ergebnisse für die verschiedenen Modelle unterscheiden sich stark: während nicht-lokale Korrelationen eine wichtige Rolle im zweidimensionalen (anisotropen) Modell spielen, ist in der paramagnetischen Phase die Impulsabhängigkeit der Selbstenergie für stark dotierte Systeme und für das KLM deutlich schwächer. Eine bemerkenswerte Erkenntnis ist, dass die Selbstenergie sich durch die nicht-wechselwirkende Dispersion parametrisieren lässt. Die spezielle Struktur der Selbstenergie im Impulsraum kann sehr nützlich für die Klassifizierung von elektronischen Korrelationseffekten sein und öffnet den Weg für die Entwicklung neuer Schemata über die Grenzen der DMFT hinaus.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
Mit dieser Arbeit wird bewiesen, dass die Entwicklung von niedrig skalierenden Algo- rithmen zur Berechnung von austauschartigen Vielteilchen-Termen sowohl möglich als auch praktisch ist. Die Vorhersage von Materialeigenschaften mittels ab initio Metho- den erfordert effiziente Computerprogramme. Nach wie vor ist die computergestützte Materialphysik eine der rechenintensivsten Wissenschaftszweige. Das zentrale Problem, auch bekannt als Problem der elektronischen Struktur, besteht in der Berechnung hinre- ichend genauer Näherungen zur Vielteilchen-Schrödingergleichung. Die Korrelation von Elektronen ist dabei von besonderer Bedeutung, bestimmt sie doch maßgeblich Eigen- schaften wie die Kristallstruktur, Oberflächenenergien oder thermodynamische Phasen- grenzen. In dieser Arbeit stellen wir neue Algorithmen vor, welche die Effizienz von Berechnungen der Korrelationsenergie großer Systeme erheblich verbessern. Wir setzen dabei auf Orbital-basierte Vielteilchen-Störungstheorie und gehen damit über Hartree- Fock oder Dichtefunktionaltheorie hinaus. Orbitale sind einfache und anschauliche mathematische Zutaten um Näherungen zur Grundzustandsenergie von Vielteilchensys- temen zu konstruieren. Allerdings ist die Assoziation eines Orbitals mit einem Elektron falsch, da Elektronen ununterscheidbar sind, Orbitale dagegen unterscheidbar. Alle ord- nungsgemäßen Theorien berücksichtigen daher sogenannte austauschartige Terme, die genau diesen Fehler korrigieren. Diese austauschartigen Terme werden von Methoden wie zweiter-Ordnung-Møller-Plesset-Störungstheorie (engl. second-order Møller-Plesset perturbation theory, MP2) oder näherungsweise durch zweiter-Ordnung-abgeschirmter- Austausch (engl. second-order screened exchange, SOSEX) berücksichtigt. Allerdings weisen diese austauschartigen Terme eine hohe algorithmische Komplexität auf, was sich wiederum oft in einem steilem Skalierungsverhalten der Rechenzeit gegenüber der Systemgröße äußert. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in dem Beweis, dass niedrig- skalierende Algorithmen zur Berechnung der Austauschterme jedoch sehr wohl möglich sind. Wir präsentieren drei Algorithmen, welche die Skalierung von MP2- und SOSEX- Rechnungen von einer quintischen auf eine quartische oder gar kubische Skalierung re- duzieren. Dabei werden ausschließlich analytische Umformungen vorgenommen, sodass keinerlei Genauigkeit geopfert wird. Durch diese niedrigere Skalierung ist es möglich, die Korrelationsenergie mitsamt Austauschtermen für Systeme einiger hundert Valen- zelektronen mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Wir stellen ebenfalls drei grundlegend verschiedene stochastische Algorithmen vor, welche die Rechenkosten zum Preis von statistischen Ungenauigkeiten reduzieren. Diese Implementierungen erlauben es, Berech- nungen an noch größeren Systemen vorzunehmen, wenn nur der relative Fehler pro Elek- 5tron entscheident ist. Des weiteren sind alle implementierten Algorithmen hochgradig parallelisiert und damit Hochleistungssoftware. Jegliche Betrachtungen verwenden ebe- nen Wellen, welche eine probate Basis für periodische Systeme darstelle.
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit effektiven Feynman-diagrammatischen Methoden für die Beschreibung starker elektronischer Korrelationseffekte in Festkörpern. Exakte numerische Lösungen für wechselwirkende Systeme mit mehr als ein paar Elektronen liegen weit außerhalb der Reichweite heute verfügbarer rechnerischer Ressourcen, wodurch Näherungsmethoden notwendig werden. Effektive Feynman-diagrammatische Methoden wie die Dynamische Vertex Approximation werden oft auf einfache Referenzmodelle angewandt, welche numerisch behandelt werden können. Aus diesen Referenzmodellen werden diagrammatische Größen bestimmt und als Näherung für ihre jeweiligen Gegenstücke im eigentlichen System verwendet. Bisher beschränkten sich derartige Methoden zumeist auf effektive Einteilchenund Zweiteilchen-Diagramme. Diese Arbeit erweitert dieses Wissen um einen Ausdruck für n-Teilchen Vertices (Korrelatoren) für das Falicov-Kimball Modell für beliebige Zahlen n. Dreiteilchen-Diagramme für das Falicov-Kimball und Hubbard Modell wurden versuchsweise ausgewertet und zeigten relevante Korrekturen zu konventionellen Zweiteilchen-Rechnungen. Zusätzlich wurde eine toplogische Klassifikation von Dreiteilchen-Diagrammen vorgenommen, wodurch ein Algorithmus zur Bestimmung des grundlegendsten Dreiteilchen-Diagramms, der vollständig irreduziblen Dreiteilchen-Vertex, angegeben werden konnte. Schließlich wurde der Effekt von äußerer Selbstkonsistenz für das Hubbard Modell im dual fermion Zugang untersucht. Dadurch wird ein besseres Verständnis für die Wahl eines Referenzmodells ermöglicht. Wenig überraschend stellt man fest, dass die Wahl des Referenzmodells einen großen Einfluss auf die theoretische Beschreibung korrelierter Elektronensysteme hat.
Numerische Simulationen sind ein unverzichtbares Werkzeug der modernen Physik geworden, insbesondere im Kontext stark korrelierter Quantensysteme, die häufig nicht analytisch behandelt werden können. Viele Physiker betrachten die numerische Physik mittlerweile als eigene Fachrichtung neben der experimentellen und der theoretischen Physik. In den Veröffentlichungen, aus denen diese kumulative Dissertation besteht, werden stark korrelierte Quantensysteme studiert. Dafür werden eine Vielzahl moderner numerischer Methoden verwendet, unter anderem exakte Diagonalisierung, Matrix-Produktzustände, Quanten-Monte-Carlo und neuronale Quantenzustände. In dieser Dissertation werden drei Klassen von stark korrelierten Quantensystemen betrachtet: 1) Vom Hubbard-Modell abgeleitete frustrierte Quantenmagnete, 2) Toric Codes und 3) Z2 Gittereichtheorien. Seit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung in Cupraten in den 1980er-Jahren sind die Niedertemperaturphasen von Cupraten von zentralem Interesse für experimentelle und theoretische Studien. Modelle wie das Hubbard-Modell wurden eingeführt, um die effektive zweidimensionale Physik in CuO2-Schichten zu modellieren. Das Verschwinden der antiferromagnetischen Ordnung als Konsequenz von Störstellen und deren Zusammenhang mit supraleitenden Phasen ist bedeutsam, um den Bindungsmechanismus von Elektronen in supraleitenden Phasen zu entschlüsseln. Dieser Bindungsmechanismus ist bis heute Gegenstand aktueller Forschung. Mikroskopische Studien des t-J-Modells, eines Grenzfalls des Hubbard-Modells bei starken Interaktionen, legen Szenarien nahe, in denen Elektronen in zwei Partons fraktionalisieren: Ein Spinon (trägt den Spin) und ein Holon (trägt die Ladung). Mit Hilfe von Matrix-Produktzuständen wird in dieser Dissertation für einen paradigmatischen dotierten, frustrierten Quantenmagneten - das Majumdar-Ghosh-Modell - gezeigt, dass die Existenz eines gebundenen Parton-Zustands eng mit einer Feshbach-Resonanz verknüpft ist. Frustrierte Quantenmagnete werden zudem als Plattform vorgeschlagen, um Systeme weniger Teilchen zu untersuchen. Der Toric Code ist ein Grundpfeiler der modernen Physik der kondensierten Materie und ein grundlegendes Modell für die Felder Topologie und Quantum Error Correction. Der Grundzustand des Toric Codes ist eine Z2 Quantenspinflüssigkeit und ist eines der einfachsten Beispiele für eine topologische Phase. Es wurde ein C++-Softwarepaket (ParaToric) entwickelt, in dem ein Continuous-Time-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrem implementiert wird, um den Toric Code in einem parallel angelegten Feld zu simulieren. Der Algorithmus von Wu, Deng und Prokof’ev wurde um weitere Zustandsaktualisierungen erweitert, die Simulationen in bislang unzulänglichen Parameterbereichen ermöglichen. ParaToric erlaubt bislang unerreichte Systemgrößen und bildet die Grundlage für Publikationen mit den bisher größten Systemen auf dreieckigen, quadratischen, hexagonalen und kubischen Gittern. Es werden Schnittstellen für C, C++ und Python bereitgestellt, die eine nahtlose Integration von ParaToric in Projekte Dritter ermöglichen. In dieser Dissertation werden neue geometrische Ordnungsparameter für Z2-Gittereichtheorien auf Basis von Perkolationstheorie eingeführt und getestet. Diese Ordnungsparameter können direkt aus experimentellen Messungen von Quantensimulatoren berechnet werden und sind konkurrierenden Ordnungsparametern in vielen Bereichen überlegen. Die Anwendung auf den Toric Code offenbart, dass selbst beim absoluten Nullpunkt Deconfined Phasen existieren, die nicht topologisch sind. Des Weiteren wird eine neue Netzwerkarchitektur für neuronale Quantenzustände eingeführt, die ungefähre Symmetrien in das Netzwerk kodiert. Diese Netzwerkarchitektur wird verwendet, um die Phasendiagramme nicht-stoquastischer Varianten des Toric Codes zu berechnen. Zu guter Letzt werden symmetriegeschützte topologische Phasen vorgeschlagen, die auch bei einer endlichen Temperatur existieren.