El DMRG es un método numérico que sirve para calcular propiedades de sistemas de \nmuchas partículas interactuantes. Se basa en la renormalización del espacio de Hilbert \nutilizando los estados mas relevantes de la matriz densidad reducida. Su eficiencia depende \nde que el estrelazamiento entre las partes del sistema sea pequeño. El objetivo de \neste trabajo es optimizar el DMRG utilizando técnicas de información cuántica. Esto \nse logra mediante el cambio de representación al espacio de los Orbitales Naturales. \nEsta base es interesante porque minimiza la entropía de sitio en la red. Por este motivo \nes apropiada para la ejecución del DMRG. \nSe utilizó como objeto de estudio el modelo de una impureza de Anderson unidimensional. \nSe estudiaron propiedades estáticas y dinámicas con el fin de evaluar si el \ncambio de representación al espacio de los Orbitales Naturales reduce el costo computacional \ndel DMRG. Se vio que el método propuesto reduce el uso de memoria y el \ntiempo de ejecucion en todos los casos estudiados. \nEstos resultados son alentadores porque indican que el espacio de los Orbitales \nNaturales podría utilizarse para el estudio de sistemas mas complejos en los que el \nDMRG tradicional consume muchos recursos computacionales. Ejemplos de estos casos \nson: sistemas de mas de una impureza, Hamiltonianos con interacciones de largo alcance \ny sistemas en mas de una dimensión. \n
El DMRG es un método numérico que sirve para calcular propiedades de sistemas de \nmuchas partículas interactuantes. Se basa en la renormalización del espacio de Hilbert \nutilizando los estados mas relevantes de la matriz densidad reducida. Su eficiencia depende \nde que el estrelazamiento entre las partes del sistema sea pequeño. El objetivo de \neste trabajo es optimizar el DMRG utilizando técnicas de información cuántica. Esto \nse logra mediante el cambio de representación al espacio de los Orbitales Naturales. \nEsta base es interesante porque minimiza la entropía de sitio en la red. Por este motivo \nes apropiada para la ejecución del DMRG. \nSe utilizó como objeto de estudio el modelo de una impureza de Anderson unidimensional. \nSe estudiaron propiedades estáticas y dinámicas con el fin de evaluar si el \ncambio de representación al espacio de los Orbitales Naturales reduce el costo computacional \ndel DMRG. Se vio que el método propuesto reduce el uso de memoria y el \ntiempo de ejecucion en todos los casos estudiados. \nEstos resultados son alentadores porque indican que el espacio de los Orbitales \nNaturales podría utilizarse para el estudio de sistemas mas complejos en los que el \nDMRG tradicional consume muchos recursos computacionales. Ejemplos de estos casos \nson: sistemas de mas de una impureza, Hamiltonianos con interacciones de largo alcance \ny sistemas en mas de una dimensión. \n
Estudiamos numéricamente propiedades electrónicas estáticas y dinámicas del modelo \nunidimensional de Kanamori-Hubbard de dos orbitales, usando métodos basados \nen el grupo de renormalización de la matriz densidad. Consideramos dos casos, uno \nen el que ambos orbitales forman bandas de diferente ancho, y otro en el que forman \nbandas iguales. \nEn sistemas con bandas de diferente ancho, encontramos en este modelo extendido \nexcitaciones que consisten principalmente en cuasipartículas formadas por un orbital \ndoblemente ocupado (doblón) y el orbital correspondiente en el mismo sitio vacío \n(holón), en consistencia con las excitaciones similares reportadas en una red cuadrada \nusando la aproximación de campo medio dinámica. \nObservamos también estas excitaciones doblón-holón en sistemas de bandas iguales. \nEn este caso, vemos dips en las densidades de estados en el nivel de Fermi, que no \nparecen corresponder a un gap de excitaciones. Detectamos el ensanchamiento de la \nbanda de holón-doblón por efecto del acoplamiento de Hund, aunque no distinguimos \nuna clara separación con J, como ha sido reportado en resultados previos para una red \ncuadrada en aproximación de campo medio dinámica. \nCaracterizamos las densidades de estados en términos de excitaciones locales compuestas. \nIdentificamos claramente la disminución de la densidad de estados cerca del \nnivel de Fermi, y el angostamiento de los picos por sobre y debajo de esta energía, al \naumentar la interacción inter-orbital. \nTambién calculamos las densidades espectrales y observamos que las excitaciones \nholón-doblón aparecen con mayor peso en los bordes de la banda. \nAñadimos por completitud el estudio comparativo de resultados usando distintos \nórdenes para las representaciones de estados producto de matrices que empleamos \nen nuestros métodos, de donde comprobamos la superioridad en precisión (para este \nmodelo) del orden usado. Incluimos también un análisis de efectos de tamaño finito y \ncondiciones de contorno, como validación de estabilidad de estos cálculos numéricos.
Con la motivación de saber en qué sistemas es conveniente aplicar la teoría de cobosones, el objetivo de este trabajo es responder esta pregunta para un modelo simple de fermiones fuertemente interactuantes. El sistema a estudiar consiste en una cadena de potenciales unidimensional de S sitios, con N pares de fermiones de dos tipos (a y b), con tasa de tuneleo de las partículas individuales J y energía de interacción atractiva U0, con tasa de tuneleo de las partículas individuales mucho menor que la energía de interacción atractiva entre ellas. Nos centramos en el estudio del estado fundamental del sistema. Para resolver el problema usamos, en primer lugar, herramientas usuales en Mecánica Cuántica: se buscó un Hamiltoniano efectivo, se lo proyectó en el subespacio de los estados de menor energía, es decir, el espacio donde los pares de fermiones permanecen unidos, y se lo resolvió exactamente o por diagonalización numérica para encontrar el estado fundamental con su energía correspondiente. Se llegó a los mismos resultados mediante el uso de teoría de perturbaciones a segundo orden. Luego, en segundo lugar, se siguieron las indicaciones de la teoría de cobosones para construir el estado fundamental de N cobosones del Hamiltoniano efectivo, y se calculó su energía. Comparando los resultados obtenidos por ambos métodos se puede finalmente determinar si dicha teoría resulta adecuada para resolver este sistema.
Los corrales cuánticos presentan propiedades interesantes debido a la interesante \ncombinación de confinamiento y focalización algunas de las cuales fueron observadas experimentalmente. Estudiamos el comportamiento estático y dinámico de estos sistemas. \nEn primer lugar analizamos el caso del corral cuántico no interactuante (sin impurezas), y con parámetros realistas obtuvimos los autoestados la elipse con el modelo de pared dura. Posteriormente estudiamos el sistema en presencia de dos impurezas de Kondo de espín S = 1/2 localizadas en los focos de la elipse. Éstas interactúan con los electrones itinerantes en la elipse vía un término de superintercambio J. Diagonalizamos este sistema numéricamente y estudiamos propiedades tales como correlación de espín y correlaciones dinámicas. Encontramos que, para valores de J chicos comparado con el ancho de banda, \nlos espines están en un estado singlete para número par de electrones en la elipse o triplete para número impar (régimen RKKY). En ese límite es posible describir el comportamiento a bajas energías con un hamiltoniano efectivo entre las impurezas. Para valores grandes de J más estados electrónicos están involucrados y los espines se descorrelacionan formando un estado de Kondo local con los electrones itinerantes. Estudiamos algunas magnitudes de la teoría de la información cuántica que es una herramienta alternativa para el análisis de sistemas cuánticos. Calculamos la entropía de von Neumann para diversas particiones del \nsistema y caracterizamos el cambio de régimen de RKKY al de Kondo ante el incremento de J, de acuerdo a los resultados obtenidos con el cálculo de funciones de correlaciones estáticas y dinámicas. \nAdicionalmente consideramos fluctuaciones de carga en los estados de las impurezas y analizamos propiedades estáticas y dinámicas en función de los parámetros relevantes del sistema. El modelo estudiado consiste de dos impurezas de Anderson localizadas en los focos e hibridizadas con magnitud V a los electrones en la elipse. Con el estudio de la correlación de espín entre las impurezas, y entre una impureza y los electrones en un mismo foco, caracterizamos los regímenes RKKY y Kondo. Esto está de acuerdo con los resultados obtenidos con la densidad de estados electrónica calculada usando un modelo más realista que incluye la hibridización con estados del continuo. \nEncontramos una relación entre el entrelazamiento entre las impurezas de espín y \nobservables físicos del sistema. Con ésto obtuvimos el diagrama de fases de entrelazamiento entre las impurezas para llenado par e impar, que presenta regiones en las que están entrelazadas y otras de estados separables.Mostramos resultados numéricos que sustentan las relaciones encontradas. \nComo aplicación adicional de los conceptos de información cuántica al estudio de las propiedades físicas de sistemas correlacionados, analizamos una cadena de espín S = 1 con condiciones de contorno abiertas y con interacción a primeros vecinos bilineal y bicuadrática (β). En particular estudiamos los modelos de Heisenberg (β = 0) y AKLT (β = 1/3). Realizamos diversos estudios en sistemas bipartitos puros y mixtos. Para caracterizar el entrelazamiento en un sistema bipartito puro usamos la entropía de von Neumann, en cambio para un sistema bipartito mixto, usamos la negatividad. Estos estudios nos permitieron estudiar las excitaciones de espín 1/2 localizadas en los bordes de la cadena [87, 88]. \nUn resultado interesante aparece cuando analizamos el entrelazamiento entre dos \npartes del sistema; que es máximo entre los extremos de la cadena y disminuye hacia el centro, reflejando el carácter fraccionario y la localización de las excitaciones de espín del modelo, que han sido observadas experimentalmente. \nEn conclusión, usando tanto técnicas tradicionales (correlaciones estáticas y dinámicas) como novedosas (información cuántica) para el estudio de sistemas interactuantes, investigamos el comportamiento de algunos sistemas nanoscópicos paradigmáticos. Para ésto utilizamos técnicas tanto analíticas como numéricas de actualidad. Esperamos que los resultados obtenidos en esta tesis sean útiles para una mejor comprensión de estos sistemas, así como para posibles aplicaciones nanotecnológicas. \n
espanolLos sistemas cuanticos de muchos cuerpos ofrecen numerosos retos para diversos campos de la fisica y las matematicas, como la materia condensada, la teoria de la informacion cuantica, la teoria de operadores o el analisis numerico. Algunos de estos problemas surgen de la gran complejidad de estos sistemas, que dificulta su estudio mediante metodos clasicos, asi como del interes de la comunidad cientifica por comprender sus propiedades fisicas, tales como la dinamica, estructura de correlaciones o comportamiento tanto dentro como fuera del equilibrio. Entre las propiedades mas interesantes de estos sistemas se encuentra el entrelazamiento, un cierto tipo de correlacion cuantica que carece de analogo en sistemas clasicos y que se ha establecido como un recurso imprescindible en los campos de la informacion y computacion cuantica. La presente tesis doctoral profundiza en el estudio de correlaciones, localidad y entrelazamiento en sistemas cuanticos. En particular, se enfoca en herramientas matematicas como redes de tensores, cotas de Lieb Robinson y algoritmos cuanticos, para obtener resultados originales, tanto analiticos como numericos, de aplicacion directa en teoria de la informacion cuantica, materia condensada y metrologia cuantica. Los sistemas cuanticos que estudiamos consisten en conjuntos de particulas que interaccionan localmente unas con otras. La localidad de estos sistemas permite establecer una cota superior finita a la velocidad de propagacion de las excitaciones, tambien conocida como cota de Lieb Robinson. En esta tesis, demostramos que existen cotas de Lieb Robinson para modelos de espines que interaccionan en una red mediante un campo bosonico que tambien verifica una cota de Lieb Robinson en ausencia de acoplamiento espin boson. Aplicando estas cotas a sistemas de iones atrapados, observamos que la propagacion de las correlaciones de espin mediante los fonones de un cristal ionico puede ser mas rapida que el regimen explorado actualmente en los experimentos. Por este motivo, proponemos un esquema experimental para probar las cotas que consiste en medir las funciones de correlacion retardadas a traves de la fluorescencia del cristal. La localidad de las interacciones tambien impone restricciones sobre la estructura del entrelazamiento de los sistemas cuanticos y permite encontrar representaciones matematicas eficientes denominadas redes de tensores. Las redes de tensores son conjuntos de tensores interconectados que reflejan la estructura de entrelazamiento del sistema, reducen la complejidad de su representacion y capturan las propiedades fisicas mas relevantes de los estados cuanticos en los que estamos interesados. En esta tesis, utilizamos el caso unidimensional de las redes de tensores, tambien conocido como estados producto de matriz (MPS), para probar resultados analiticos y realizar simulaciones numericas. Mas especificamente, demostramos que una gran fraccionalizacion en la magnetizacion de una cadena de espines o la existencia de interacciones de largo alcance implican una gran cantidad de entrelazamiento en el estado de la cadena. Las correlaciones y el entrelazamiento se han revelado como recursos de gran utilidad en metrologia cuantica, estableciendo nuevas tecnicas de medida que mejoran la precision respecto a los metodos exclusivamente clasicos. En esta tesis, establecemos algoritmos cuanticos para medir las correlaciones temporales que se acumulan en un sistema cuantico tras su interaccion con pulsos de luz laser. A partir de esta nocion, introducimos el concepto de interferometria cuantica multipulso en el que un atomo o conjunto de atomos pueden actuar como un detector que mide de forma precisa diferencias entre pulsos de luz laser o propiedades de los pulsos. Por ultimo, aplicamos este concepto para caracterizar y estabilizar un peine de frecuencias con una mejora polinomial en la sensibilidad respecto a protocolos clasicos. EnglishThe study of quantum many-body systems poses a wide range of complex problemsin dierent areas of physics and mathematics, such as condensed matter,quantum information theory, operator theory or numerical analysis. Some ofthese problems arise due to the high complexity of these systems, which makestheir study unfeasible using classical approaches, as well as from the ever-growinginterest in understanding their dynamics, physical properties and behaviour bothin and out of equilibrium. Among the most interesting properties of these systemslies entanglement, a certain type of quantum correlation which is not present inclassical systems and which has proven to be essential for quantum computationand quantum information.This dissertation deals with the study of correlations, locality and entanglementin quantum systems. It relies on mathematical tools such as tensor networkrepresentations, Lieb-Robinson bounds and quantum algorithms in order to obtainoriginal results, both analytical and numerical, with practical applicationsto quantum information theory, condensed matter and quantum metrology...
Los objetivos de esta tesis consisten en analizar en una primera etapa la estructura de plateaux en curvas de magnetización y diagramas de fase magnéticos en sistemas de magnetismo cuántico unidimensionales. Desde el punto de vista de teorías efectivas, esto consiste en analizar el efecto de ciertas perturbaciones, tales como cuasiperiodicidad, desorden y anisotropías sobre modelos críticos, en particular líquidos de Luttinger. Para ello se han empleado técnicas provenientes de la teoría de campos, tales como bosonización (excepto para tratar el desorden), grupo de renormalización y algunos resultados de teorías de campos cuánticos conformes. También se utilizan técnicas numéricas sobre los modelos discretos las cuales dan soporte, complementan y verifican la validez de las predicciones de los modelos efectivos. En la segunda parte de la tesis se ha estudiado el efecto de impurezas en escaleras de espín de dos patas utilizando herramientas estándar de materia condensada tales como los métodos diagramáticos y métodos de funciones de Green, complementados con técnicas numéricas. La motivación para el uso de estas técnicas se basa en el hecho de que son adecuadas para ciertos regímenes perturbativos en los que nos hemos concentrado y permiten el modelado de situaciones más realistas donde se incorpora desorden a través del agregado de impurezas, que por otro lado son inevitables en cualquier sistema real.
I. 3.4.1.Unidades At'Ómic2q 1.3.5.Aplicaciones de la Ecuación de Onda.Átorno de en el desxrollo de la física teórica.it;í c'omo en la descripción de l a serie espectral de Balmer o en el modelo atómico de Bohr Para su resolución, se considera al átomo como un sistema de dos pa-tículai;; interactuantes.con masas m l y 7n2.Donde l a energía potencial del sistema es I' = -2 e 2 / r ..\qui r es la distancia núcleo-electrón Z es el n h e r o atómico.L a ecuación en coordenadas carte5ianas se expresa ~01110:En donde el potencial es: [3.IS) (3.16) I. 3.5.1.Solnción de (q jLas soluciones de l a s diferentes @,n(oj.se cspresan como:(3.17a) (3.171 !I; 1.3.5.2.Solución de @17,(0) Las ecuaciones que satisfacen esta función son conocida?como funciones o polinomios asociados de Legendre 4 m (cos O) [2], donde 1 es el nimero cu6ntico azimut~al ,v m es el nmgni.tico.El polinomio puede normalizarse >' adquiere l a siguiente forma (3.1 S) 1.3.5.3.Solución de &(rj .(3.19) La matriz de segundo orden se puede expresar en f:loriou de los orbitales naturale:+ de espín.l a expresión de un determinante de Slater r 1 = -~{ ~/ J : \ .; ¡ l ' l l ( 2 !?; ( 2 / -{ < t i i L 1 q k ( L k ; ( l / ?} I : ; .\ : . .>:. kl Con l a matriz de segundo orden se pueden obtemr Fropiedades de dos electrones.en un esquema de Hartree-Fock, como la energía potencial.también se puede obteser la OD11 operador de una partícula.y de elIa se pueden determinar propiedades EOnoelectrónicas como la energía cinética.Como se observa en la Ec. (3.75).1.3.7.3.Matrices Densidad Libres de Espín XLuchos operadores en la mecáuica cuántica no involucran coordenadas de espin.como el hamiltoniano de la Ec. (3.7.5j, lo que pernlitirá reducir las matrices de ias Ecs.(3.67.3.68, 3.69) a partir de la ODM.Se definen las matrices densidad reducidas de espin de primer y segundo orden como [38].La matriz densidad reducida densidad de c a r p se expresan en de espin y por lo tanto la densidad ,:-ctrbnicit o función de fa ODM y del mismo r ~: en funcicjn ,le los orbitales zaturales de espín (_\S@!.Ec ( 3 .3 ) .p ( r : r' 1 k La densidad electrónica en función de los orbitales naturales es donde .nkson los números de ocupación de los orbitales naturales & en el intervalo de 1.3.7.4 Representación en el Espacio de Momentos El principio de incertidumbre nos indica que es imposible determinar con precisión en un sistema cuántico al mismo tiempo la posición y el momento.Las primeras aplicaciones del concepto de espacio fase a la mecánica cuzintica hicieron uso de las funciones de \%-igner y Husimi [do].Estas funciones dan información contenida en l a matriz densidad de en un sistema.El estado cte a n sistema nlec~nico-L.u,i:;icvest& descrito pc)r 1 .m elen?ento X.rf, definido en un espacio de Hilbert.En cuzlquier representación específica de este espacio.es reer:;Fii--tzado por una c:oordenada er! particular.Las coordenadas o reT1r-t~secraciones de la-partículas nxis cornunes e11 ia mecinica cuántict son la ysi(::Gu \el momento.€1 estado descrito por el elenlento J( bra; se define C O I ~~ un espacio dud.Estas matrices están conectadas ;>\ir l m a tranifornlada clr Fourier.pero no e x i ~~e una relacicjn maten-:.Atica rigurosa y directa entre p(Fi y su contraparte en el e:--\PC.. ':o de momentos (6) :, 1. Las ODYI son equivalentes por la Ec. (i3.90 y contienen la misma informacidn ',el +:enla.pero a(@! contiene informacicin de los r:3n?entos fuera de !a diagonal ' ; ; , A OD\! en la representación de posici6n J-ofrrect.ccc:xnuciones no locales de la tJ! i, '\I desde la perspectiva espacial.-~ ., 1.3.8.Teoría de la Información El problema de reconstruir una función a parrir de un conjunto finito de datos es común en diversos problemas.Usualmente el conjunto finito de datos no es suficiente únicamente para determinar la función!y algca Tipo de función debe ser elegida del conjunto de todas las fuociones que tienen los datos correct,os.Se debe entender por mejor función a aquella que sea tan cercana c o x 0 sea posible.a la función original que generó los datos [13-47].En 1948, Claude Shannon [48j introdujo una nueva vía probabilística para considerar la comunicación y crear simultáneamente l a primera teoría maternática r!r la entropía.motivado por el problema de la tIransrriisi6n deficiente en una comunic~ión ruidosa en un canal.Sus ideas fueron aplicadas rGp:damente.J-se crearon dos gri-.:dei:líneas de investigación: 'ia teoría de la inforn:,ic:ox que elnplea l a probabilidnc'.,I:'(.estudiar las características estadísticas de lcs i-a: x y sistemas de comunicac:,.:l.x+la teoría de codificación.la cual usa princip&n:ez-e el iilgebra S la seometn',t.-;<irc\ proporcionar códigos pitra diversas situaciorie-s., . . .Shcinnon propuso algunos axiomas para la incerriduzhre e11 una transmisión de infamación.Estos axiomas se basan c, n la suposición de tener un conjunto de posibles eventos cuyas probabilidades son p 7;). . . . .pn. los criterios establecidos permiten medir la aparición de un evento.h a medida Hip:.p;. . .p1 ) requiere de que se cu11:pldn ciertas condiciones.e H debe ser continua en pi o Si I a s probabilidades pi son iguales, entonces p2 = 1 ; 12. y H debe ser una función monótona y creciente.Para event,os igualmente probables hay mas elección.o incertidumbre cuando hay miis posibles evenios e Si una elección se dit-ide en dos sucesit-as elecciones, el valor original de H debe ser la suma promediada de los valores individuales de H Shannon [48] estableció el siguiente Teorema : L,a ~n i c a f u n c i ó n H que satlsfuce las tres condiciones anteriores tiene la forma, 1".Esti función H = -C ( y i ) ¿ o g ( p i ) (la h' indica la cantidad de elección de una unidad de medida).juega un papel cent,ral en l a riledida de la información.elección e ir?cer-idumbre.y su forma se asocia al de la en-ropía de !a xeclinica estadística ;-!!I Esta h c i ó n H se puede utilizar para.Ln entropía para u n conjunto discreto de probitbiiidades ?l. ., p T 2 .ha sido detiuicia ec la Ec. (3.91).De una manera análoga Shannon definid la entropía de una disrribución continua con la función de distrihuci6n i S !CORN -481: . .Después de la teoría propuest,a por Shamon.6: se ha utilizado en una gran variedad de aplicaciones, entre ellas en la r~constr1,:I :. .I y análisis de informaci6n.Se ha aplicado rambii.nen los G i ~i m o s años en ei ?studio de fencimenos físicos ,y químic0.sLas probabilidades de la densidad de !it, mtropías de Shannon.se vbtierlrn C?P las funciones de onda en la representacicin de posiciolles (II 1 :-;.(,Ec.:3.%l 1.de la función de onda en lit de momentos @ I :. . . .~ y, (Ec. 3 .$S;.Las ent ropi~.. (ic, Shannon normalizadas al número de electrones se expresan como: (3.94) Gadre J-colaboradores -51; . .han utilizado ia suma de las entropías como una cantidad para evaluar la calidad de las bases, ya que con esta cantidad se consideran ambos espacios complementarios \k (rl: . . ., r,) y @'jpl. . . .p,), y esto se debe a que una cant,idad es mínima cuando la otra se masimiza.Esta suma de entropías se expresa COIllO Esta suma de entropias Sr [52:.proveé u x t medida balanceada de la incert,idun?breen sisema.tornando e3 cuenta las conliiciones de fronrzra de la distrihucidn ec aml~os espacios.