Se comparo las propiedades de invariantes de la relatividad de una particula de masa en reposo cero y las de una onda electromagnetismo monocromatica plana, con el fin de desvelar la simetria´ria presente entre estas entidades fisicas y disenar una didactica del concepto de foton y su dualidad onda-particula.
Las tecnologías relacionadas con la generación y detección de fotones individuales han tenido un interés constante durante por lo menos las pasadas tres décadas. Esto debido al gran potencial en áreas de la física tales como: información cuántica, computación cuántica y fundamentos de la mecánica cuántica. Paralelamente a los desarrollos experimentales sobre la generación y detección de fotones individuales, se han desarrollado diferentes formulaciones acerca del estado cuántico para un fotón individual, con el fin de esclarecer e interpretar la fenomenología asociada a la gran variedad de experimentos realizados. Entre las diferentes formulaciones acerca del estado de un fotón se encuentran principalmente tres: estados de un fotón monocromáticos, policromáticos y el formalismo de la función de onda. Las anteriores formulaciones presentan ciertas falencias al confrontar estas con las observaciones, algunos ejemplos de esto se asocian con la deslocalización de dichos estados (cuantización en modos monocromáticos-ondas planas), la falta de una frecuencia bien definida (cuantización en modos no-monocromáticos, modelo de un fotón como un paquete de ondas o fotones policromáticos), entre otras. En el presente trabajo de grado se formulará un nuevo modelo para fotones libres basado en una nueva noción denominada ‘estado vibracional del campo electromagnético’. Mediante esta nueva formulación se define el estado cuántico para un fotón libre con una frecuencia definida y así mismo con cierto grado de localización.
En la línea del estudio de la propagación del campo electromagnético clásico y la teoría de la difracción, surge la necesidad de entender un poco más a nivel fundamental la propagación electromagnética. El estudio de los patrones de difracción guardan estrecha relación con la probabilidad de encontrar una partícula cuántica en un punto, siendo la distribución de intensidad y la densidad de probabilidad proporcionales entre sí. En nuestro desarrollo se pretende dar un poco más de claridad a esta relación enfocada en la propagación de fotones como partícula fundamental ligada al campo electromagnético cuantizado. Se observará como existe una relación entre la distribución de intensidad que produce un análisis clásico del fenómeno de propagación electromagnético y la densidad de probabilidad originada de un estudio cuántico de la evolución temporal de los fotones. Se realiza un paralelismo entre la propagación electromagnética a partir del principio de Huygens-Fresnel; específicamente a partir de la aproximación de Fresnel, y la propagación de fotones a partir de la cuantización del campo electromagnético en una cavidad y su adaptación a las integrales de camino de Feynman. El Hamiltoniano del campo electromagnético cuantizado puede ser entendido como un oscilador armónico cuyas coordenadas canónicas estan relacionadas con el campo eléctrico y magnético. Las integrales de camino de Feynman son adaptadas a la propagación de un estado del campo electromagnético cuantizado (fotones) para de esta manera examinar su evolución.
Se demuestra que los experimentos llamados de difracción pueden ser explicados sin hacer referencia a ninguna onda. Se propone que dichas ondas son un puro artefacto matemático sin realidad física. Si se aceptan a las propensidades como realidad física y la transmisión entre éstas, el concepto de ondas puede ser abandonado así como la dualidad y la complementaridad, eliminando así aspectos controversiales de la interpretación de la mecánica cuántica. Se esboza una formulación de la teoría basada en la preparación del sistema según las propensidades y la transmisión entre éstas.
En el presente artículo se comparan y discuten en sus rasgos básicos los aspectos formales y conceptuales de la física del espacio-tiempo (relatividad especial y relatividad general) y de la teoría cuántica no relativista. Una comparación tal revelará tanto sus semejanzas como sus diferencias, aclarando en parte las razones de su disparidad y las dificultades que afronta la búsqueda de un marco unificador entre ambas. Un tratamiento semejante puede resultar de utilidad tanto para profesores como para estudiantes postgraduados, insistiendo en su significado físico y preparando el camino para estudios posteriores.
Mit der Einsteinsche Relativitätstheorie hat das menlischenDenken über den Kosmos eine neue Stufe erklommen."("Con la teoría de la relatividad de Einstein, el pensamiento humano ha ascendido un nuevo escalón en su comprensión del cosmos.")H. WEYL, Raurn, Zeit, Materie (Berlín, 1918). INTRODUCCIÓNEn el año 1905, Albert Einstein produjo tres artículos básicos para el desarrollo de la ciencia del siglo XX: un artículo sobre el movimiento browniano, que lo explicaba y, además, proporcionaba un método extremadamente preciso para contar átomos (lo que permitió establecer definitivamente la estructura corpuscular de la materia); un artículo en que desarrolló la teoría de la relatividad, algunas de cuyas consecuencias analizaremos; y, finalmente, un artículo en el que estableció que la luz (que hasta entonces se había considerado como una vibración) se comportaba, en el efecto fotoeléctrico, como partículas, a las que él llamó Lichtquanten y que son en la actualidad conocidas como fotones.Este último descubrimiento, tal vez el más fundamental, llevó -entre otras cosas-al desarrollo de la mecánica cuántica.No tiene, por supuesto, mucho sentido el discutir cuál de los tres descubrimientos es más importante.Cara al gran público, sin duda lo más conocido es la teoría de la relatividad, que ha producido la ecuación más famosa de la física,Lo menos conocido es la explicación del movimiento browniano, que la mayor parte de la gente (incluidos bastantes físicos) ignora.Entre los profesionales, la situación es distinta: la importancia del trabajo sobre el movimiento browniano es bien apreciada.En efecto, sin perjuicio de los éxitos de la teoría atómica, incluso a finales del siglo XIX aún quedaban dudas sobre su validez general; y esto debido a que no se había encontrado evidencia directa.El especular acerca de la composición atómica de la materia estaba muy bien, pero una prueba de la existencia real de estos átomos requería conocer su tamaño y estudiar sus propiedades.Esto pudo hacerse a principios del siglo pasado en buena parte gracias a los trabajos de Einstin sobre el movimiento browniano, que permitieron contar el número de átomos en un gramo de materia (lo que se conoce como el número de Avogadro).No es una exageración decir que los artículos de Einstein sobre el movimiento browniano proporcionan la confirmación final de la teoría atómica de la materia, algo al menos tan importante como la teoría de la relatividad y como la mecánica cuántica.No cabe duda, sin embargo, que tanto la teoría de la relatividad como la explicación del efecto fotoeléctrico representaron saltos conceptuales mucho más grandes que la explicación del movimiento browniano; después de todo, Dalton formuló la hipótesis atómica en 1808 y Avogadro consideró la cuestión de cuál es el número de
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].