En la línea del estudio de la propagación del campo electromagnético clásico y la teoría de la difracción, surge la necesidad de entender un poco más a nivel fundamental la propagación electromagnética. El estudio de los patrones de difracción guardan estrecha relación con la probabilidad de encontrar una partícula cuántica en un punto, siendo la distribución de intensidad y la densidad de probabilidad proporcionales entre sí. En nuestro desarrollo se pretende dar un poco más de claridad a esta relación enfocada en la propagación de fotones como partícula fundamental ligada al campo electromagnético cuantizado. Se observará como existe una relación entre la distribución de intensidad que produce un análisis clásico del fenómeno de propagación electromagnético y la densidad de probabilidad originada de un estudio cuántico de la evolución temporal de los fotones. Se realiza un paralelismo entre la propagación electromagnética a partir del principio de Huygens-Fresnel; específicamente a partir de la aproximación de Fresnel, y la propagación de fotones a partir de la cuantización del campo electromagnético en una cavidad y su adaptación a las integrales de camino de Feynman. El Hamiltoniano del campo electromagnético cuantizado puede ser entendido como un oscilador armónico cuyas coordenadas canónicas estan relacionadas con el campo eléctrico y magnético. Las integrales de camino de Feynman son adaptadas a la propagación de un estado del campo electromagnético cuantizado (fotones) para de esta manera examinar su evolución.
En la línea del estudio de la propagación del campo electromagnético clásico y la teoría de la difracción, surge la necesidad de entender un poco más a nivel fundamental la propagación electromagnética. El estudio de los patrones de difracción guardan estrecha relación con la probabilidad de encontrar una partícula cuántica en un punto, siendo la distribución de intensidad y la densidad de probabilidad proporcionales entre sí. En nuestro desarrollo se pretende dar un poco más de claridad a esta relación enfocada en la propagación de fotones como partícula fundamental ligada al campo electromagnético cuantizado. Se observará como existe una relación entre la distribución de intensidad que produce un análisis clásico del fenómeno de propagación electromagnético y la densidad de probabilidad originada de un estudio cuántico de la evolución temporal de los fotones. Se realiza un paralelismo entre la propagación electromagnética a partir del principio de Huygens-Fresnel; específicamente a partir de la aproximación de Fresnel, y la propagación de fotones a partir de la cuantización del campo electromagnético en una cavidad y su adaptación a las integrales de camino de Feynman. El Hamiltoniano del campo electromagnético cuantizado puede ser entendido como un oscilador armónico cuyas coordenadas canónicas estan relacionadas con el campo eléctrico y magnético. Las integrales de camino de Feynman son adaptadas a la propagación de un estado del campo electromagnético cuantizado (fotones) para de esta manera examinar su evolución.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
Las tecnologías relacionadas con la generación y detección de fotones individuales han tenido un interés constante durante por lo menos las pasadas tres décadas. Esto debido al gran potencial en áreas de la física tales como: información cuántica, computación cuántica y fundamentos de la mecánica cuántica. Paralelamente a los desarrollos experimentales sobre la generación y detección de fotones individuales, se han desarrollado diferentes formulaciones acerca del estado cuántico para un fotón individual, con el fin de esclarecer e interpretar la fenomenología asociada a la gran variedad de experimentos realizados. Entre las diferentes formulaciones acerca del estado de un fotón se encuentran principalmente tres: estados de un fotón monocromáticos, policromáticos y el formalismo de la función de onda. Las anteriores formulaciones presentan ciertas falencias al confrontar estas con las observaciones, algunos ejemplos de esto se asocian con la deslocalización de dichos estados (cuantización en modos monocromáticos-ondas planas), la falta de una frecuencia bien definida (cuantización en modos no-monocromáticos, modelo de un fotón como un paquete de ondas o fotones policromáticos), entre otras. En el presente trabajo de grado se formulará un nuevo modelo para fotones libres basado en una nueva noción denominada ‘estado vibracional del campo electromagnético’. Mediante esta nueva formulación se define el estado cuántico para un fotón libre con una frecuencia definida y así mismo con cierto grado de localización.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.
Este trabajo de fin de grado surge de la motivación de realizar un estudio dual en el que \nse complementen un desarrollo teórico y su correspondiente comprobación experimental. \nPara ello, se ha planteado el análisis de un borrador cuántico empleando un interferómetro \nde Mach-Zehnder, con el fin de reproducir la validez de las experiencias predichas por la \nfísica cuántica con el experimento del laboratorio. \nLa estrategia seguida ha consistido en una revisión bibliográfica que permita seleccionar \nla documentación más relevante, seguida del montaje experimental para realizar una serie \nde pruebas cualitativas sobre su funcionamiento. Se debe tener en cuenta que durante todo el trabajo se están empleando simultáneamente dos teorías, la mecánica cuántica y el \nelectromagnetismo clásico. \nEs de gran interés realizar esta tarea ya que supone acercar, de una forma sencilla y \nvisual, ciertos fenómenos de la física cuántica difíciles de comprender por ser muy anti intuitivos, como la complementariedad o la no-localidad. Para ello, se han descrito desde el \nformalismo de la física cuántica varios esquemas del borrado cuántico haciendo uso del interferómetro de Mach-Zehnder, facilitando su comprensión con diversos gráficos y diagramas \ndescriptivos. Así mismo, se incluyen fotografías del instrumento empleado en el laboratorio. \nDel análisis expuesto a lo largo de la memoria, se pudieron constatar tres aspectos fundamentales de la teoría cuántica. En primer lugar, la dualidad onda-corpúsculo está presente \nen todo momento ya que se comprueba que el carácter de la partícula depende de la capacidad que tenga el experimentador de acceder a la información del recorrido que ha realizado. \nCuando los caminos son indistinguibles se puede observar el patrón de interferencia consecuencia del comportamiento ondulatorio de las partículas. La función de onda se dividirá \nen dos y cada parte recorrerá uno de los brazos, produciéndose la interferencia entre las \nmismas a la salida del interferómetro. Si se marcan los caminos empleando polarizadores, la \npartícula solo podrá ir por uno de ellos, pasando a comportarse como un corpúsculo. \nEn segundo lugar, se ha constatado el principio de complementariedad de Bohr. Las \npropiedades complementarias no pueden ser medidas u observadas simultáneamente, en \neste caso, las líneas de interferencia y el recorrido del fotón. Al colocar los polarizadores se \nestá generando un estado entrelazado entre el camino seguido por el fotón y su polarización. \nBajo esta circunstancia, conocer la polarización del fotón es conocer el recorrido que ha \nrealizado, y por lo tanto, su comportamiento debe ser corpuscular, desapareciendo el patrón \nde interferencia. \nEn tercer lugar, si se dejara de tener acceso a la información del camino seguido por las \npartículas, instantáneamente se recuperaría el carácter ondulatorio de los fotones, esta es \nuna manifestación del carácter no-local de la mecánica cuántica. \nFinalmente, el objetivo principal se ha alcanzado: montar un interferómetro de MachZehnder que cumpla los requisitos para comportarse como un borrador cuántico. Queda \npendiente la ampliación del proyecto para emplear el borrador cuántico con interferómetro \nde Mach-Zehnder para interpretar las medidas de elección retardada
La idea central de la presente tesis es poner de manifesto efectoscuánticos que aparecen en la interacción entre átomos de pocos nivelescon radiación electromagnética y entre modos de radiación entre sí considerandola radiación cuantificada. Se trataron diferentes sistemas deinterés en el ámbito de la elcctrodinámica cuántica de cavidades, utilizandotécnicas como la de hallar los operadores relevantes en el marcode la teoría de álgebras dinámicas y también utilizando ecuación maestrapara la evolución del operador densidad. Se estudió el problema deun átomo de dos niveles interactuando con dos modos de radiación enpresencia de un medio no lineal. Para este sistema se encontró que lapresencia del medio no lineal inhibe los efectos típicos de estos sistemascomo ser los colapsos y resurrecciones de la inversión de población, ytambién el antiagrupamiento. También se estudió un hamiltoniano de Jaynes-Cummings generalizado que no toma en cuenta la aproximaciónde onda rotante y además en presencia de un campo externo. Se pudoencontrar un conjunto de operadores adecuado para estudiar este sistemaque permite evaluar la evolución temporal del valor medio de cualquiercantidad de relevancia. En la presente tesis se hace una propuesta parapoder utilizar un divisor dc haz como discriminador de entrelazamientoentre dos modos del campo electromagnético; además en algunos casospodemos identificar diferentes elementos de la base de Bell. También eneste trabajo se hace un estudio de factibilidad de una propuesta paragenerar en forma condicional estados de Fock en una cavidad. Para ellose relajan aproximaciones y se tienen en cuenta las pérdidas dentro dela cavidad, encontrándose que el esquema es robusto antes condicionesreales, siendo entonces promisoria su realización experimental.