In der Arbeit wird die Tieftemperaturphase des zweidimensionalen, dipolaren XY-modells untersucht. Im Rahmen eines nichtlinearen Sigma-Modells wird gezeigt, dass das Modell trotz des anisotropen Charakters der Dipolwechselwirkung renormierbar ist. Die Renormierungsgruppenergebnisse zeigen, dass das Modell eine ferromagnetische Tieftemperaturphase besitzt, deren Eigenschaften durch einen Tieftemperaturfixpunkt mit unendlich starker Dipolwechselwirkung bestimmt sind. Aufgrund der Nichtlinearität des kritischen Fixpunkts weist das Modell ungewöhnliches kritisches Verhalten auf. Beispielsweise divergiert die Korrelationslänge exponentiell und die spontane Magnetisierung verschwindet exponentiell, während man eigentlich Potenzgesetze erwarten würde. Die Natur dieses Phasenübergangs ist ähnlich dem Kosterlitz-Thouless Übergang. Allerdings ist das exponentielle Verhalten im dipolaren XY-Modell keine Folge topologischer Anregungen,sondern ein Effekt der auf Spinwellen Anregungen zurückzuführen ist. Die kritischen Exponenten die für diesen Übergang berechnet wurden, sind exakt, solange der Effekt topologischer Anregungen vernachlässigt wird. Der Einfluss solcher Anregungen wird in der Arbeit diskutiert.
In der Arbeit wird die Tieftemperaturphase des zweidimensionalen, dipolaren XY-modells untersucht. Im Rahmen eines nichtlinearen Sigma-Modells wird gezeigt, dass das Modell trotz des anisotropen Charakters der Dipolwechselwirkung renormierbar ist. Die Renormierungsgruppenergebnisse zeigen, dass das Modell eine ferromagnetische Tieftemperaturphase besitzt, deren Eigenschaften durch einen Tieftemperaturfixpunkt mit unendlich starker Dipolwechselwirkung bestimmt sind. Aufgrund der Nichtlinearität des kritischen Fixpunkts weist das Modell ungewöhnliches kritisches Verhalten auf. Beispielsweise divergiert die Korrelationslänge exponentiell und die spontane Magnetisierung verschwindet exponentiell, während man eigentlich Potenzgesetze erwarten würde. Die Natur dieses Phasenübergangs ist ähnlich dem Kosterlitz-Thouless Übergang. Allerdings ist das exponentielle Verhalten im dipolaren XY-Modell keine Folge topologischer Anregungen,sondern ein Effekt der auf Spinwellen Anregungen zurückzuführen ist. Die kritischen Exponenten die für diesen Übergang berechnet wurden, sind exakt, solange der Effekt topologischer Anregungen vernachlässigt wird. Der Einfluss solcher Anregungen wird in der Arbeit diskutiert.
Der erste Teil dieser Arbeit ist dem Kondogittermodell gewidmet. Für ein Elektron, das in einen ferromagnetisch gesättigten Hintergrund aus lokalen Spinmomenten eingebracht wird (ferromagnetisches Polaron), wird die stationäre Schrödingergleichung gelöst und das vollständige Eigenwertspektrum im endlichen und unendlichen Gitter abgeleitet. Danach wird die zeitabhängige Schrödingergleichung für beliebige Anfangsbedingungen gelöst und eine detaillierte Analyse des Down-Elektron-Zerfalls vorgenommen. Für endliche Bandfüllungen wird im Anschluss das magnetische Grundzustandsphasendiagramm mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie bestimmt. Der Einfluss von Verdünnung/Unordnung im lokalen Momentensystem auf die auftretenden Phasen wird analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Hubbardmodell untersucht. Für dieses wird mit Hilfe einer modifizierten Störungstheorie (englisch: modified perturbation theory, MPT) eine wellenzahlabhängige (nicht-lokale) Selbstenergie abgeleitet, die sowohl für schwache als auch für starke Coulombwechselwirkungen gute Ergebnisse liefert. Mit dieser werden dann Spektraldichten und Quasiteilchenzustandsdichten berechnet, wobei insbesondere die nicht-lokalen Korrelationseffekte im Fokus stehen. Daneben werden Ergebnisse für die optische Leitfähigkeit, die in einer renormierten diagrammatischen Ein-Schleifen-Näherung berechnet wurden, besprochen. Es wird dann gezeigt, dass nur unter Beachtung der nicht-lokalen Korrelationseffekte ein ferromagnetisches Phasendiagramm konstruiert werden kann, das in Einklang mit dem Mermin-Wagner-Theorem steht.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
In den letzten Jahren zeigte die Entwicklung von experimentellen Methoden, um Vielteilchenquantensysteme zu kontrollieren, beträchtliche Fortschritte. Eines der interessantesten Vielteilchenquantenphänomene sind Quantenphasenübergänge. Die typische Beschreibung von Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergängen basiert auf der Tatsache, dass die Parameter des Systems durch die externe Kontrolle renormalisiert werden, sodass sich die kritischen Punkte vom Gleichgewichtspunkt verschieben. Aus dieser Sicht ähnelt die nicht-stationäre Dynamik des Systems dem Verhalten im Gleichgewicht. Die theoretische Betrachtung des kritischen Verhaltens unter Nichtgleichgewichtsbedingungen steht im Fokus dieser Arbeit. Überraschenderweise werden in einem monochromatisch getriebenen System neue Zustände der Materie und effektive Wechselwirkungen erzeugt, die im Gleichtgewicht abwesend sind. Im Allgemeinen wird das kritische Verhalten von (d+1)-dimensionalen Quantensystemen untersucht, die im Gleichtgewicht einen Quantenphasenübergang zweiter Ordnung zeigen. In Rahmen dieser Arbeit wird d für die räumliche Dimension und 1 für die zeitliche Dimension stehen. Als erstes beschäftigen wir uns mit zwei nulldimensionalen Modellen: dem Dicke-Modell und dem Lipkin-Meshkov-Glick-Modell. Im Gleichgewicht zeigt eine Mean-Field-Betrachtung der Energielandschaften, dass die Systeme am kritischen Punkt einen Übergang vom "mono-stabilen" zum bistabilen Bereich aufweisen. Interessanterweise zeigt unsere Untersuchung eine komplexe, multi-stabile Struktur von Quasienergielandschaften für den getriebenen Fall. Zum Beispiel während das Dicke-Modell im ungetriebenen Fall nur einen Phasenübergang zweiter Ordnung zeigt, zeigt das getriebene Modell zusätzlich einen neuen Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergang erster Ordnung. Für den Fall d=1 untersuchen wir das Quanten-Ising-Modell in einem zeitperiodischen, transversalen Feld. Neben dem Ising-typischen Phasenübergang an einem verschobenen kritischen Punkt, induziert das äußere Feld unendlich viele anisotropische Übergänge zwischen unterschiedlichen ferromagnetisch geordneten Phasen. Schlussendlich, für d=2, betrachten wir das Wen-Plaquetten-Model. Wir werden sehen, dass im getriebenen Fall - neben der trivialen Spin-polarisierten Phase und der gewöhnlichen topologisch geordneten Phase - das System neuartige topologische Phasen zeigt. Um diese topologischen Quantenphasenübergänge zu beschreiben, führen wir verallgemeinerte "String-ähnliche", über eine Periode gemittelte Ordnungsparameter ein.
Seit der ersten experimentellen Realisierung eines Bose-Einstein Kondensats (BEC), erfuhr das Feld der atomaren Quantengase eine rasante Entwicklung und stellt heute eines der spannendsten und interdisziplinärsten Feldern in der Atomphysik dar. Die Eigenschaften dieser Gase werden hauptsächlich durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen bzw. Molekülen bestimmt, die in den bisher realisierten Kondensaten durch die Kontaktwechselwirkung dominiert wird. Theoretisches und experimentelles Interesse richtet sich seit kurzem auf weitere Wechselwirkungen in diesen entarteten Gasen. Insbesondere wurde die anisotrope und langreichweitige Dipol-Dipol-Wechselwirkung in einem Quantengas, das aus in einem externen Feld ausgerichteten Dipolen besteht, theoretisch untersucht. Im Hinblick auf die Realisierung eines dipolaren atomaren Quantengases stellt Chrom dabei ein äußerst Erfolg versprechendes Element dar. Im Vergleich zu bisherigen BEC-Experimenten, in denen meist Alkali-Atome verwendet wurden, ist die Dipol-Dipol-Wechselwirkung um einen Faktor 36 größer und in seiner Stärke mit der Kontakt-Wechselwirkung vergleichbar. Ein wesentlich stärkeres Dipolmoment wird bei einem im elektrischen Feld ausgerichteten Cr-Rb-Molekül erwartet. In einem solchen Molekülgas wird die Wechselwirkung durch die Dipol-Dipol-Wechselwirkung dominiert. Zur Erzeugung solcher Quantengase wurde in dieser Arbeit ein neuer Aufbau konzipiert und realisiert. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung ultrakalter, klassischer, bosonischer Cr-Gase, die zur Erzeugung eines dipolaren BECs dienen sollen. Ausgehend von einem lasergekühlten, magnetisch gespeicherten Cr-Ensemble wird in dieser Arbeit die Dipol-Dipol-Wechselwirkung in diesem ultrakalten, dipolaren Gas experimentell studiert. Die theoretische Beschreibung durch die Streuung zweier Dipole führt dabei zu einem sehr allgemeinen Verständnis der Streuprozesse in dipolaren Gasen. In dieser Arbeit wird experimentell und theoretisch gezeigt, dass bereits bei einem magnetischen Moment von sechs Bohrschen Magnetonen aufgrund von dipolaren Relaxationsstößen die Kondensation durch Evaporation der Cr-Atome in einer Magnetfalle nicht möglich ist. Die aus den Streuexperimenten gewonnenen Erkenntnisse bilden nun die Grundlage zur Entwicklung einer sehr aussichtsreichen Strategie. Dabei soll die Kondensation durch Verdampfungskühlen in einer optischen Falle im energetisch tiefsten Zustand der Dipole erfolgen, in dem keine Spinrelaxationsprozesse mehr möglich sind. Durch die Implementation dieses neuen Fallentyps für Cr wird somit eine entscheidende Hürde auf dem Weg zu einem BEC genommen. Obwohl es in dieser Arbeit noch nicht gelingt, die Atome in dieser Falle im energetische tiefsten Zustand zu polarisieren, können zwei Konzepte demonstriert werden, mit denen die Kondensation in diesem Fallentyp erreicht werden kann. Mit ersten Experimente an kombinierten Cr-Rb-Fallen wird in einem weiteren Teil dieser Arbeit ein neues Forschungsprojekt begonnen mit dem Ziel, ein entartetes heteronukleares Molekülgas aus einem zweikomponentigen entarteten Quantengas zu erzeugen. Es werden erste Resultate zum simultanen Betrieb zweier magneto-optischer Fallen (MOT) und dem überlagerten Betrieb von Rb-MOT und Cr-Magnetfalle vorgestellt.
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben. Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf. Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus. Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden. Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
Phasenübergänge spielen in der Physik eine bedeutende Rolle. Es entspricht unserer Alltagserfahrung, dass Materie ihre Eigenschaften in Abhängigkeit von äußeren Parametern wie Volumen, Druck oder Temperatur bei Überschreiten gewisser Phasengrenzen grundlegend ändern kann. Eine solche Grenze stellt der Übergang eines klassischen Gases von Teilchen mit ganzzahligem Spin hin zu einem entarteten Quantengas dar: Die Bose-Einstein-Kondensation. Bei gegebener Dichte führt das kollektive Verhalten der Teilchen durch den Überlapp ihrer quantenmechanischen Wellenpakete unterhalb einer bestimmten Temperatur zu einer makroskopischen Besetzung nur eines Zustandes, sodass das Gesamtsystem durch nur eine Wellenfunktion beschrieben werden kann. Die Kondensation ist ein rein quantenstatistischer Effekt, basierend auf der grundlegenden Ununterscheidbarkeit bosonischer Teilchen, und somit unabhängig von der Existenz jeglicher Wechselwirkungen. Das in dieser Arbeit untersuchte zweidimensionale, harmonisch gefangene Photonengas in einem Farbstoff-Mikroresonator ist der Schwarzkörperstrahlung sehr ähnlich, unterscheidet sich jedoch in einem zentralen Punkt: Der verwendete Fluoreszenzfarbstoff kann, anders als die Wände des Schwarzkörpers, nicht thermisch angeregt werden, da die Anregungsenergie des elektronischen Übergangs um mehr als eine Größenordnung oberhalb der thermischen Energie liegt. Weiter muss der Farbstoff ein zuvor absorbiertes Photon zwangsläufig wieder emittieren, wobei es dem angeregten Farbstoffmolekül erlaubt ist, durch Stöße mit Lösungsmittelmolekülen Energie auszutauschen. Durch wiederholte Absorptions- und Reemissions-Prozesse koppelt das Photonengas so an das durch den Farbstoff gebildete Wärmebad und thermalisiert bei Raumtemperatur. Zudem beschränkt der Mikroresonator das Photonengas durch Festhalten des longitudinalen Wellenvektors auf seine beiden transversalen Freiheitsgrade. Dies führt zu einem nicht-trivialen Grundzustand mit einer unteren Abschneidefrequenz, sodass sich das Photonengas formal äquivalent zu einem Gas aus massiven bosonischen Teilchen verhält. Letzteres spiegelt sich auch in dem quadratischen Verlauf der Dispersionsrelation wider, welcher charakteristisch für ein Gas massiver Teilchen ist. Bei Erhöhung der Teilchenzahl kann der Phasenübergang zum Bose-Einstein-Kondensat beobachtet werden, indiziert durch die makroskopische Besetzung des Grundmoden im harmonischen Fallenpotential. Zentrales Thema der vorliegenden Arbeit ist die experimentelle Untersuchung der Ordnungsparameter des Photonengases beim Übergang aus der klassischen, vollständig durch die Boltzmann-Statistik beschriebenen thermischen Phase hin zum quantenentarteten Bose-Einstein-Kondensat. Zunächst erfolgt eine Bestimmung der kalorischen Eigenschaften des Systems, insbesondere der inneren Energie, der spezifischen Wärme und der Entropie anhand von spektroskopischen Messungen der Photonenzahlverteilung im Mikroresonator. Dabei zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit den Erwartungen gemäß der Theorie des idealen Bosegases. Im Grenzfall hoher Temperaturen (geringer Teilchenzahlen) verhält sich das Photonengas wie ein klassisches einkomponentiges Gas, dessen Gesamtenergie gemäß des Äquipartitionstheorems mit der Temperatur und der Anzahl an Freiheitsgraden skaliert. Für tiefe Temperaturen (hohe Teilchenzahlen) strebt der Energieinhalt pro Teilchen des kondensierten Systems gegen 0, was gleichbedeutend ist zu einer unendlich großen Kompressibilität, wie sie für das ideale Bosegas zu erwarten ist. Der Phasenübergang wird besonders eindrucksvoll durch den spitzen Verlauf der spezifischen Wärme sichtbar, ähnlich dem bekannten λ-Übergang von flüssigem 4He in seine suprafluide Phase. In einem weiteren Schritt erfolgt eine interferometrische Untersuchung der Korrelationen erster Ordnung, die als direkte Indikatoren für den Grad an Ordnung im System dienen. In der thermischen Phase fällt die transversale Kohärenz auf einer von der thermischen de Broglie Wellenlänge vorgegebenen Längenskala ab. Dabei zeigt diese sowohl eine quantitative Übereinstimmung mit der Erwartung für ein Teilchen mit einer Masse, die der effektiven Photonenmasse im Resonator entspricht, als auch die erwartete Skalierung mit der Temperatur. Es konnte somit im Rahmen der vorliegenden Arbeit erstmalig die tatsächliche thermische de Broglie Länge eines photonischen Systems vermessen werden. Überdies konnte gezeigt werden, dass der Phasenübergang zum Kondensat einsetzt, sobald die theoretisch erwartete Phasenraumdichte erreicht ist. Die Annahme, dass die Quantennatur der Teilchen genau dann eine dominierende Rolle einnimmt, wenn ihre Wellenpakete überlappen, konnte somit für ein photonisches System verifiziert werden. Mit Einsetzen der Kondensation wächst die Kohärenz rasch an, sodass eine das gesamte System umfassende, langreichweitige Ordnung etabliert wird. In der Gesamtbetrachtung zeigt sich, dass das harmonisch gefangene, zweidimensionale Photonengas im farbstoffgefüllten Mikroresonator der Realisierung eines idealen Bosegases unerreicht nahe kommt.