In den letzten Jahren zeigte die Entwicklung von experimentellen Methoden, um Vielteilchenquantensysteme zu kontrollieren, beträchtliche Fortschritte. Eines der interessantesten Vielteilchenquantenphänomene sind Quantenphasenübergänge. Die typische Beschreibung von Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergängen basiert auf der Tatsache, dass die Parameter des Systems durch die externe Kontrolle renormalisiert werden, sodass sich die kritischen Punkte vom Gleichgewichtspunkt verschieben. Aus dieser Sicht ähnelt die nicht-stationäre Dynamik des Systems dem Verhalten im Gleichgewicht. Die theoretische Betrachtung des kritischen Verhaltens unter Nichtgleichgewichtsbedingungen steht im Fokus dieser Arbeit. Überraschenderweise werden in einem monochromatisch getriebenen System neue Zustände der Materie und effektive Wechselwirkungen erzeugt, die im Gleichtgewicht abwesend sind. Im Allgemeinen wird das kritische Verhalten von (d+1)-dimensionalen Quantensystemen untersucht, die im Gleichtgewicht einen Quantenphasenübergang zweiter Ordnung zeigen. In Rahmen dieser Arbeit wird d für die räumliche Dimension und 1 für die zeitliche Dimension stehen. Als erstes beschäftigen wir uns mit zwei nulldimensionalen Modellen: dem Dicke-Modell und dem Lipkin-Meshkov-Glick-Modell. Im Gleichgewicht zeigt eine Mean-Field-Betrachtung der Energielandschaften, dass die Systeme am kritischen Punkt einen Übergang vom "mono-stabilen" zum bistabilen Bereich aufweisen. Interessanterweise zeigt unsere Untersuchung eine komplexe, multi-stabile Struktur von Quasienergielandschaften für den getriebenen Fall. Zum Beispiel während das Dicke-Modell im ungetriebenen Fall nur einen Phasenübergang zweiter Ordnung zeigt, zeigt das getriebene Modell zusätzlich einen neuen Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergang erster Ordnung. Für den Fall d=1 untersuchen wir das Quanten-Ising-Modell in einem zeitperiodischen, transversalen Feld. Neben dem Ising-typischen Phasenübergang an einem verschobenen kritischen Punkt, induziert das äußere Feld unendlich viele anisotropische Übergänge zwischen unterschiedlichen ferromagnetisch geordneten Phasen. Schlussendlich, für d=2, betrachten wir das Wen-Plaquetten-Model. Wir werden sehen, dass im getriebenen Fall - neben der trivialen Spin-polarisierten Phase und der gewöhnlichen topologisch geordneten Phase - das System neuartige topologische Phasen zeigt. Um diese topologischen Quantenphasenübergänge zu beschreiben, führen wir verallgemeinerte "String-ähnliche", über eine Periode gemittelte Ordnungsparameter ein.
In den letzten Jahren zeigte die Entwicklung von experimentellen Methoden, um Vielteilchenquantensysteme zu kontrollieren, beträchtliche Fortschritte. Eines der interessantesten Vielteilchenquantenphänomene sind Quantenphasenübergänge. Die typische Beschreibung von Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergängen basiert auf der Tatsache, dass die Parameter des Systems durch die externe Kontrolle renormalisiert werden, sodass sich die kritischen Punkte vom Gleichgewichtspunkt verschieben. Aus dieser Sicht ähnelt die nicht-stationäre Dynamik des Systems dem Verhalten im Gleichgewicht. Die theoretische Betrachtung des kritischen Verhaltens unter Nichtgleichgewichtsbedingungen steht im Fokus dieser Arbeit. Überraschenderweise werden in einem monochromatisch getriebenen System neue Zustände der Materie und effektive Wechselwirkungen erzeugt, die im Gleichtgewicht abwesend sind. Im Allgemeinen wird das kritische Verhalten von (d+1)-dimensionalen Quantensystemen untersucht, die im Gleichtgewicht einen Quantenphasenübergang zweiter Ordnung zeigen. In Rahmen dieser Arbeit wird d für die räumliche Dimension und 1 für die zeitliche Dimension stehen. Als erstes beschäftigen wir uns mit zwei nulldimensionalen Modellen: dem Dicke-Modell und dem Lipkin-Meshkov-Glick-Modell. Im Gleichgewicht zeigt eine Mean-Field-Betrachtung der Energielandschaften, dass die Systeme am kritischen Punkt einen Übergang vom "mono-stabilen" zum bistabilen Bereich aufweisen. Interessanterweise zeigt unsere Untersuchung eine komplexe, multi-stabile Struktur von Quasienergielandschaften für den getriebenen Fall. Zum Beispiel während das Dicke-Modell im ungetriebenen Fall nur einen Phasenübergang zweiter Ordnung zeigt, zeigt das getriebene Modell zusätzlich einen neuen Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergang erster Ordnung. Für den Fall d=1 untersuchen wir das Quanten-Ising-Modell in einem zeitperiodischen, transversalen Feld. Neben dem Ising-typischen Phasenübergang an einem verschobenen kritischen Punkt, induziert das äußere Feld unendlich viele anisotropische Übergänge zwischen unterschiedlichen ferromagnetisch geordneten Phasen. Schlussendlich, für d=2, betrachten wir das Wen-Plaquetten-Model. Wir werden sehen, dass im getriebenen Fall - neben der trivialen Spin-polarisierten Phase und der gewöhnlichen topologisch geordneten Phase - das System neuartige topologische Phasen zeigt. Um diese topologischen Quantenphasenübergänge zu beschreiben, führen wir verallgemeinerte "String-ähnliche", über eine Periode gemittelte Ordnungsparameter ein.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben. Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf. Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus. Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden. Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
In stark korrelierte Elektronensystemen lassen sich eindrucksvolle Phänomene der Physik der kondensierten Materie beobachten: Hier treten neben dem berühmten Mott-Hubbard Übergang von einem Metall zu einem Isolator auch klassische Phasenübergänge wie Magnetismus, Ladungsordnung und Supraleitung auf. Darüber hinaus zeigen diese Systeme Quantenphasenübergänge, die Gegenstand intensiver modernster Forschung sind. Was diese Übergänge so bemerkenswert macht, ist die Tatsache, dass sie im Gegensatz zu klassischen Übergängen am absoluten Temperaturnullpunkt stattfinden. Dies macht Quantenphasenübergänge zum Einen sehr faszinierend, zum Anderen theoretisch sehr schwer zu beschreiben: Bis dato existiert keine umfassende Theorie der Quantenkritikalität. Das Ziel dieser Dissertation ist die theoretische Beschreibung von klassischen und Quantenphasenübergängen durch die Anwendung von hochaktuellen quantenfeldtheoretischen Methoden auf das fundamentalste Modell für elektronische Korrelationen, das Hubbard-Modell. Die hierfür verwendeten Methoden sind die dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), welche in der Lage ist, lokale Korrelationen zu beschreiben, aber räumliche Korrelationen vernachlässigt, und die dynamische Vertexapproximation (D-A), welche zusätzlich räumliche Fluktuationen auf beliebigen Längenskalen berücksichtigt. Zuerst werden Vorboten von Phasenübergängen näher untersucht. Beim Mott-Hubbard Übergang werden diese durch divergierende irreduzible Vertexfunktionen und bei klassischen Phasenübergängen durch starke Ladungs-, Spin- oder Paarfluktuationen repräsentiert. Danach wird der Einfluss von Dimensionalität und Nähe zu Phasenübergängen auf das Spektrum des Systems untersucht. Spezifische Relationen für die Selbstenergie in verschiedenen Dimensionen werden herausgearbeitet. Im nächsten Schritt wird das Schicksal des Mott-Hubbard Metall-Isolator-Übergangs in zwei Dimensionen bestimmt, wo die DMFT zu dessen Beschreibung nicht ausreicht, weil hier räumliche Korrelationen sehr stark werden. Schließlich wird das magnetische Phasendiagramm für das lochdotierte Hubbard-Modell in drei Dimensionen berechnet und analysiert. Die D-A ist hierfür prädestiniert, weil sie die simultane Behandlung von zeitlichen und räumlichen Korrelationen erlaubt, was insbesondere wichtig für die Beschreibung eines quantenkritischen Punktes bei starker Wechselwirkung ist. Die (quanten)kritischen Exponenten der magnetischen Suszeptibilität und Korrelationslänge werden mittels der D-A bestimmt. Diese stehen im Widerspruch zur konventionellen Hertz-Millis-Moriya Theorie.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.