Una de las tareas fundamentales de la Teor a de la Informaci on Cu antica consiste en identi car el estado en que ha sido preparado un sistema cu antico. Cuando las posibles preparaciones forman una lista nita de estados, el problema recibe el nombre de discriminaci on de estados. El caso fundamental de unicamente dos estados posibles se conoce tambi en bajo el nombre de contraste de hip otesis. Una de las caracter sticas distintivas de la teor a cu antica es el hecho de que para dos estados no ortogonales no hay medida concebible que pueda identi car el estado del sistema con certeza. El indeterminismo cu antico exige, por tanto, un enfoque probabil stico para llevar a cabo esta tarea. Habitualmente se considera que los estados posibles del sistema son conocidos para el experimentador. En esta tesis analizo el papel que desempe~ na la informaci on previa disponible en la tarea de discriminaci on y, en particular, analizo situaciones en las que dicha informaci on es incompleta. Suponiendo una total ignorancia de la identidad de los estados posibles, estudio la probabilidad de error de una m aquina programable de discriminaci on para estados de qubit. Esta m aquina incorpora la informaci on sobre los estados en forma de programas de entrada donde se introducen los sistemas cu anticos en las diferentes preparaciones. Es decir, la informaci on es utilizada en su forma genuinamente cu antica, en lugar de como una descripci on cl asica de los estados. Esta ignorancia cl asica se tiene en cuenta en el dise~no de la m aquina, la cual ya no es espec ca para cada caso, sino que es capaz de discriminar entre cualquier par de estados de qubit, una vez ha sido convenientemente programada mediante las entradas de estados cu anticos. Estudio en detalle el rendimiento optimo de estas m aquinas para estados de qubit generales cuando se dispone de un n umero de copias arbitrario, tanto de los programas como del estado que se ha de identi car. Espec camente, obtengo las probabilidades de correcta identi caci on en los esquemas usuales de error m nimo y discriminaci on no ambigua, as como en el esquema m as general de discriminaci on con margen de error. A continuaci on, este tipo de automatizaci on en tareas de discriminaci on se lleva un paso m as all a. Entendiendo una m aquina programable como un dispositivo entrenado con informaci on cu antica que es capaz de realizar una tarea espec ca, propongo una m aquina de aprendizaje cu antico para clasi car estados de qubit que no requiere una memoria cu antica para almacenar los qubits de los programas, permitiendo as repetidos usos de la m aquina sin necesidad de volver a entrenarla. Demuestro que dicha m aquina de aprendizaje es capaz de clasi car el estado de un qubit con la m nima tasa de errores admitida por la mec anica cu antica, y por tanto puede ser reusada manteniendo un rendimiento optimo. Tambi en estudio un esquema de aprendizaje similar para estados de luz coherente. Este se presenta en un contexto de lectura de una memoria cl asica mediante se~nales coherentes correlacionadas cl asicamente cuando estas son producidas por una fuente imperfecta y, por lo tanto, en un estado con un cierto grado de incertidumbre asociado. Muestro que la extracci on de la informaci on almacenada en la memoria es m as e ciente si la incertidumbre se trata de una forma completamente cu antica. Por ultimo, analizo la estructura matem atica de las medidas cu anticas generalizadas, omnipresentes en todos los temas tratados en esta tesis. Propongo un algoritmo constructivo y e ciente para descomponer cualquier medida cu antica en una combinaci on convexa estad sticamente equivalente de medidas m as simples (extremales). Estas en principio son menos costosas de implementar en un laboratorio y, por tanto, pueden ser utiles en situaciones pr acticas donde a menudo prevalece una perspectiva de recursos m nimos.
Una de las tareas fundamentales de la Teor a de la Informaci on Cu antica consiste en identi car el estado en que ha sido preparado un sistema cu antico. Cuando las posibles preparaciones forman una lista nita de estados, el problema recibe el nombre de discriminaci on de estados. El caso fundamental de unicamente dos estados posibles se conoce tambi en bajo el nombre de contraste de hip otesis. Una de las caracter sticas distintivas de la teor a cu antica es el hecho de que para dos estados no ortogonales no hay medida concebible que pueda identi car el estado del sistema con certeza. El indeterminismo cu antico exige, por tanto, un enfoque probabil stico para llevar a cabo esta tarea. Habitualmente se considera que los estados posibles del sistema son conocidos para el experimentador. En esta tesis analizo el papel que desempe~ na la informaci on previa disponible en la tarea de discriminaci on y, en particular, analizo situaciones en las que dicha informaci on es incompleta. Suponiendo una total ignorancia de la identidad de los estados posibles, estudio la probabilidad de error de una m aquina programable de discriminaci on para estados de qubit. Esta m aquina incorpora la informaci on sobre los estados en forma de programas de entrada donde se introducen los sistemas cu anticos en las diferentes preparaciones. Es decir, la informaci on es utilizada en su forma genuinamente cu antica, en lugar de como una descripci on cl asica de los estados. Esta ignorancia cl asica se tiene en cuenta en el diseno de la m aquina, la cual ya no es espec ca para cada caso, sino que es capaz de discriminar entre cualquier par de estados de qubit, una vez ha sido convenientemente programada mediante las entradas de estados cu anticos. Estudio en detalle el rendimiento optimo de estas m aquinas para estados de qubit generales cuando se dispone de un n umero de copias arbitrario, tanto de los programas como del estado que se ha de identi car. Espec camente, obtengo las probabilidades de correcta identi caci on en los esquemas usuales de error m nimo y discriminaci on no ambigua, as como en el esquema m as general de discriminaci on con margen de error. A continuaci on, este tipo de automatizaci on en tareas de discriminaci on se lleva un paso m as all a. Entendiendo una m aquina programable como un dispositivo entrenado con informaci on cu antica que es capaz de realizar una tarea espec ca, propongo una m aquina de aprendizaje cu antico para clasi car estados de qubit que no requiere una memoria cu antica para almacenar los qubits de los programas, permitiendo as repetidos usos de la m aquina sin necesidad de volver a entrenarla. Demuestro que dicha m aquina de aprendizaje es capaz de clasi car el estado de un qubit con la m nima tasa de errores admitida por la mec anica cu antica, y por tanto puede ser reusada manteniendo un rendimiento optimo. Tambi en estudio un esquema de aprendizaje similar para estados de luz coherente. Este se presenta en un contexto de lectura de una memoria cl asica mediante senales coherentes correlacionadas cl asicamente cuando estas son producidas por una fuente imperfecta y, por lo tanto, en un estado con un cierto grado de incertidumbre asociado. Muestro que la extracci on de la informaci on almacenada en la memoria es m as e ciente si la incertidumbre se trata de una forma completamente cu antica. Por ultimo, analizo la estructura matem atica de las medidas cu anticas generalizadas, omnipresentes en todos los temas tratados en esta tesis. Propongo un algoritmo constructivo y e ciente para descomponer cualquier medida cu antica en una combinaci on convexa estad sticamente equivalente de medidas m as simples (extremales). Estas en principio son menos costosas de implementar en un laboratorio y, por tanto, pueden ser utiles en situaciones pr acticas donde a menudo prevalece una perspectiva de recursos m nimos.
En esta tesis se ha examinado el problema de la caracterización de medidas locales en un sistema cuántico bipartito correlacionado, y cómo esta medida afecta al sistema remoto. Hemos visto que el estado remoto luego de la medida queda determinado por el tensor de correlación, y por supuesto por la medida local efectuada. Mientras que en el caso de estados puros el estado remoto luego de la medida es siempre puro -aunque dependiente de la medida- esto no es cierto en el caso de estados mixtos, donde el estado remoto permanece en general mixto, e incluso su grado de pureza depende de la medida efectuada. Cabe señalar que estas correlaciones no implican ninguna comunicación super-lumínica. La entropía condicional del estado remoto depende así de la medida efectuada, y su mínimo tiene significados e implicancias importantes. En primer lugar, la entropía condicional mínima determina la discordia cuántica, que es una medida de correlaciones cuánticas más allá del entrelazamiento para estados mixtos, y que coincide con la entropía de entrelazamiento en estados puros. En segundo lugar esta entropía condicional mínima determina el entrelazamiento de uno de los subsistemas con un tercer sistema que purifica el conjunto. La entropía condicional mínima puede utilizarse pues para la determinación del entrelazamiento. No obstante, la determinación de la medida que minimiza la entropía condicional es un problema NP completo, muy difícil de resolver incluso en sistemas de dimensión reducida, siendo una determinación analítica solo posible para sistemas qudit-qubit y para determinadas entropías tales como la entropía cuadrática. En esta tesis se ha abordado la caracterización de medidas locales en un sistema de un qutrit y examinado el conjunto de estados pos-medidos en un sistema qutrit-qubit correlacionado, considerando tanto estados entrelazados como separables. Encontramos que en general los estados pos-medidos ya no forman un elipsoide como sucede cuando se mide en el qubit, sino que generan un volumen que puede resultar delimitado por superficies no convencionales. Se han también examinado casos particulares, como por ejemplo sistemas clásicamente correlacionados donde el conjunto de estados pos-medidos se reduce a un segmento, y el caso de estados puros entrelazados donde se obtiene la esfera de Bloch, como es de esperar. También estudiamos el problema de determinar la medida minimizante sobre un sistema local. Se mostró que la misma queda determinada por el tensor de correlación, y que en el caso de conjuntos de estados pos-medidos cuya topología es compleja, la misma está dirigida sobre los ejes principales de simetría. Asímismo estudiamos el significado físico de la medida minimizante, siendo en el caso de la mezcla de dos estados alineados aquella que preserva las simetrías del sistema. Finalmente hemos logrado determinar en forma analítica la medida minimizante para estados separables de rango dos completamente generales en sistemas bipartitos de dimensión arbitraria. Dicha medida óptima preserva la simetría del sistema, y en el caso de dos espines 's' no constituye una medida de spin (incluso para valores muy grandes de 's'). También se obtuvo una expresión analítica para la mínima entropía condicional cuadrática. En el caso de dos espines 's' este valor permanece finito aún para valores grandes de 's' si el ángulo de apertura es suficientemente pequeño. Con este valor mínimo es posible determinar la discordia.
La motivacion de esta tesis es estudiar el entrelazamiento cuantico en general y bajo que circunstancias es maximo en particular. En primer lugar, se analizan desigualdades de Bell desde un punto de vista operacional, se presentan nuevas desigualdades para particulas de dimension mayor que dos y se estudian los estados que las violan maximamente. Dichos estados son del tipo GHZ para las desigualdades que involucran qubits. En el caso de experimentos con qutrits o particulas dimension local mayor, los estados que violan maximamente estas desigualdades son deformaciones de estados GHZ generalizados. Este resultado demuestra que aunque maximo entrelazamiento y la no-localidad son conceptos muy proximos, no son equivalentes. En segundo lugar, se estudia el entrelazamiento multipartito en cadenas de espines. En particular, se usa como figura de merito el hiperdeterminante y los invariantes polinomicos que lo forman, S y T. Estas figuras cuantifican un tipo concreto de entrelazamiento cuatripartito, tal y como se demuestra de un analisis de estados cuanticos bien conocidos como el GHZ o el W. Cuando aplicamos esta figura a una cadena de espines con interaccion tipo Ising, observamos un pico pronunciado cerca de la transicion de fase cuantica. Resultados similares se observan para los modelos de XXZ y de Haldane-Shastry para el caso de los invariantes S y T. Con todo, concluimos que estas figuras de merito son sensibles a las transiciones de fase cuanticas. La segunda parte de la tesis se focaliza en el campo de la computacion cuantica. Dicho campo ha experimentado un crecimiento relevante en los ultimos anos, debido en parte a la mejora tecnologica sobre el control de experimentos cuanticos. Con motivo de este crecimiento, diversas empresas han empezado a desarrollar prototipos de ordenadores cuanticos. Por esta razon, una de las lineas de investigacion en computacion cuantica consiste en proponer metodos para poner a prueba estas maquinas. Uno de los metodos presentados en esta tesis es la simulacion exacta de una cadena de espines con interaccion de tipo XY. Se explicita como debe de ser el circuito cuantico que lleva a cabo dicha simulacion y se propone la simulacion tanto de estados termicos como de la evolucion en el tiempo. Debido a que el modelo XY es resoluble analiticamente, se pueden comparar los resultados obtenidos de la simulacion con el ordenador cuantico con la solucion teorica. Al correr un circuito para cuatro qubits en dos ordenadores de la empresa IBM y uno de la empresa Rigetti computing, obtenemos resultados peores a los esperados. Con ello, concluimos que hay fuentes de error que no se estan teniendo en cuenta en general y que cobran relevancia incluso en circuitos tan pequenos. Ademas de este circuito, proponemos la simulacion de estados altamente entrelazados. La implementacion de estos circuitos constituye un test tan duro como necesario para un ordenador cuantico, debido a que la ventaja de los algoritmos cuanticos radica en la generacion de entrelazamiento. Para finalizar, estudiamos la generacion de entrelazamiento al nivel mas fundamental: la fisica de particulas. Obtenemos que la interaccion de QED viene dictada por el maximo entrelazamiento en aquellos procesos a “tree-level”. Aplicamos la misma filosofia en procesos que involucren corrientes debiles neutras (tambien a “tree-level”) y con ello obtenemos que el angulo de Weinberg debe ser de pi/6 si imponemos que las particulas finales deben estar maximamente entrelazadas, valor muy cercano al experimental.
[ES] El objetivo de esta memoria es el estudio de una serie de problemas cu anticos cuyas din amicas est an determinadas por operadores de Hamilton todos ellos con energ as potenciales singulares. En un primer tipo, trataremos sistemas de un grado de libertad, una part cula que se mueve en una recta encontrando distintas con guraciones de pozos o barreras de potencial de tipo \delta" de Dirac. En el l mite de in nitas deltas, el llamado \peine" de Dirac, encontramos una idealizaci on del modelo de Kronig-Penney [1, 2] que explica el fen omeno cu antico b asico que determina ciertas propiedades de la conducci on de carga el ectrica en metales. Es por tanto el peine de Dirac un sistema cu antico pertinente en la F sica del estado s olido, en particular ayuda en la comprensio n de la existencia de bandas de conducci on y de valencia en materiales conductores y semiconductores. Un segundo tipo de sistemas con potenciales delta de Dirac que tambi en estudiaremos abarca los modelos de Lieb-Liniger y Yang, ve ase [2, 3, 4], que describen conjuntos de N cuerpos que se mueven tambi en sobre una l nea con interacciones unicamente de contacto. Estos potenciales de tipo distribucional resultan pues de inter es en el campo de la Mec anica Estad stica. En un marco conceptualmente distinto, pues la singularidad de los potenciales se reduce a polos simples. abordaremos problemas de una part cula cargada que se mueve en un plano o en el espacio en el campo electrost atico creado por un centro o dos centros de fuerzas Coulombianos jos. No hay que insistir en la importancia que estos sistemas han tenido en el desarrollo de la Mec anica Celeste, obviamente reemplazando carga el ectrica por masa y Coulomb por Newton, en el ambito de la F sica Cl asica. En el dominio cu antico su trascendencia no ha sido menor: en el problema de Kepler-Coulomb se basa gran parte de la F sica At omica. La estructura \grosera" del espectro del atomo de hidr ogeno queda explicada mediante la resoluci on del problema de Kepler cu antico. En cuanto al problema de Euler-Coulomb su posible transcendencia en el estudio del espectro del ion molecular de hidr ogeno se remonta a Pauli [5]. La investigaci on de sistemas tan estudiados se centrar a en tres aspectos en que se obtendr an resultados de diverso alcance. Todos estos sistemas son integrables. En este terreno crucial se comparar an los distintos niveles de integrabilidad y se analizar a la relaci on entre integrabilidades de distintos tipos. Supersimetr a: Se extender an todos estos sistemas al marco supersim etrico. En un tratamiento original se propondr an distintas alternativas. Finalmente, en un salto a la Teor a Cu antica de Campos, se utilizar a el conocimiento de los problemas espectrales de una part cula en el estudio de las fuerzas de tipo Casimir generadas por las uctuaciones cu anticas sobre objetos externos modelados mediante deltas de Dirac. Detallamos a continuaci on brevemente estos tres aspectos.
Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoria cuantica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la busqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorias probabilisticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en informacion y computacion cuanticas.
Todos los problemas que hemos abordado en nuestra investigacion tienen un rasgo distintivo comun: la teoria de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no solo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoria de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepcion que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan ademas un importante impulso para futuros desarrollos.
Precisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su titulo. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un titulo que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra eleccion final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuanticas y grafos, una declaracion intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigacion, quiza sin exito.
En lo que concierne a la alusion a los grafos en el titulo, la principal razon para nuestra concision es la siguiente: la tesis esta dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matematica ubicua y versatil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigacion. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que esta dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vertices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores limite a partir de algunos numeros combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que esta dedicada especificamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuanticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no solo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que tambien sirve por asi decir como una plantilla o guia para su preparacion: los vertices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuan fructifera y versatil llega a ser la teoria de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis.
Entre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexion, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construccion que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o mas vertices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamano, siendo ´este ultimo un grafo de exclusividad cuyos vertices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en terminos de teoria de grafos la conexion existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada maximamente por la TC.
Otro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuanticas, el otro elemento que aparece con concision en el titulo: proporcionamos una definicion general de correlaciones cuanticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para mas detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuanticas: correlaciones cuanticas proyectivas, y correlaciones cuanticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuanticas se entendera que se trata de correlaciones cuanticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuanticos proyectivos. Las razones para esta eleccion se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interes en la segunda parte de la tesis es la clasificacion y preparacion optima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuanticas (en particular, correlaciones cuanticas tipo Bell) aparecen implicitamente al discutir la conexion existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada maximamente por los estados grafo.
Con todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuacion a hacer una descripcion resumida de nuestro trabajo de investigacion. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, esta estructurada en dos partes:
1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y esta organizada en cuatro capitulos:
• Capitulo 1:Aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos. Este es un capitulo introductorio, cuyo principal proposito es proporcionar el minimo trasfondo teorico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, ademas de presentar nuestros primeros resultados mas basicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripcion concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorias operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introduccion concluye con la definicion de exclusividad mutua entre eventos, en terminos operacionales. Ello nos permite conectar la observacion de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, segun las predicciones de ciertas teorias fisicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusion de las correlaciones locales, cuanticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuanticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atencion en las correlaciones cuanticasproyectivas, proporcionando razones para dicha eleccion en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo especificamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigacion. Presentamos nuestros primeros resultados basicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificacion de los llamados grafos cuanticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificacion y los problemas abordados en capitulos subsiguientes.
• Capitulo 2: Grafos de exclusividad basicos en correlaciones cuanticas.
En este capitulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por que la TC viola unicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios fisicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC.
Utilizamos, como herramienta principal a lo largo del capitulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condicion necesaria para la existencia de correlaciones cuanticas contextuales: demostramos que la TC viola unicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o mas vertices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimension (i. e., del numero de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuantico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificacion de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay tambien una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Ademas, caracterizamos los valores maximos no contextual y cuantico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuanticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuanticas maximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la maxima violacion cuantica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capitulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el numero de subgrafos de exclusividad basicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas.
• Capitulo 3:Correlaciones cuanticas completamente contextuales.
ResumenEn la teoría cuántica de la medición existen dos problemas centrales: el problema de la lectura definida y el problema de la base preferida.El primer problema consiste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores bien definidos registrados como resultados en la medición, puesto que predice que el estado final del sistema y aparato es una superposición sin valor definido.El segundo problema consiste en el hecho de que bajo ciertas circunstancias (referidas a la preparación del estado del sistema a medir) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base bien definida de estados a la cual pertenece el resultado obtenido en la medición.Históricamente la pretendida resolución a estos problemas viene de la mano del formalismo de decoherencia, el cual se ha desarrollado como un intento de encontrar el limite clásico de la mecánica cuántica.El objetivo principal de esta tesis consiste en brindar una respuesta a los mencionados problemas sin apelar a decoherencia alguna.Respecto del problema de la base preferida presente en las correlaciones del estado final de la medición, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una interacción posterior con el entorno, tal como en la teoría de la decoherencia, puede ser resuelto analizando el proceso previo a dicho estado final sin la necesidad del entorno.La esencia del procedimiento consiste en reconsiderar la medición, no como la mera correlación que se manifiesta en el estado final, sino como el proceso capaz de establecerla.Desde esta nueva perspectiva es posible diferenciar distintos procesos que conducen a distintas correlaciones, independientemente de que éstas puedan vincularse matemáticamente mediante un cambio de base.La eliminación de la ambigüedad de la base se logra al determinar qué proceso es caracterizado por el operador de evolución que conecta el estado inicial de la medición con el final.Estrictamente hablado, el problema no queda resuelto, sino más bien disuelto, al considerar que la medición involucra todo el proceso que desemboca en una correlación final, y ello sin la necesidad de agregar interacciones posteriores con sistemas como el entorno.Respecto del problema de la lectura definida nuestro objetivo es un poco más modesto.No vamos a resolver el problema estrictamente sino que, en el marco de ese problema, brindaremos una respuesta a la incompatibilidad que establece el postulado del colapso respecto de las evoluciones unitarias.La estrategia aquí es incorporar los aparatos de medición en el cálculo de las probabilidades condicionales establecidas para una secuencia de dos mediciones.Asumiendo valores definidos para la primera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sistema puede ser derivado del propio formalismo de la teoría cuántica, aun cuando el sistema compuesto que incluye a los aparatos nunca abandona la evolución unitaria que predice la ecuación de Schrödinger
Durante las últimas décadas se han logrado grandes avances en la manipulación desistemas físicos en la escala nano y subnanoscópica, donde la coherencia cuánticajuega un papel dominante. Algunos hitos registrados en los últimos años son lamanipulación óptica de partículas individuales en trampas de iones, la interaccióncontrolada de un solo electrón con fotones individuales en puntos cuánticos desilicio y la realización de bits cuánticos (qubits) con largos tiempos de coherencia en circuitos superconductores. Actualmente, la habilidad de diseñar la evolución de sistemas cuánticos con gran precisión está allanando el camino para una nueva revolución en las tecnologías cuánticas. En esta Tesis estudiamos desde el punto de vista teórico el problema de controlen sistemas cuánticos. Un aspecto central de este problema es que la presenciade disipación y decoherencia por lo general impide que el sistema sea manipuladoarbitrariamente. Cuando estos efectos no pueden ser eludidos, es esencial efectuarlos protocolos de control de la manera mas rápida posible. En este contexto,realizamos un estudio de los límites fundamentales que existen para la velocidadde evolución en sistemas cuánticos. Estos límites surgen de generalizaciones dela relación de incerteza entre tiempo y energía, que impone cotas inferiores a lostiempos de evolución. Estudiando el escenario general de un problema de control,donde los operadores Hamiltonianos dependen explícitamente del tiempo,mostramos que en general estas relaciones no proveen información útil que permitaacotar tiempos mínimos en estos problemas. A la luz de estos resultados,proponemos nuevos métodos que efectivamente pueden ser aplicados a cualquiersistema cuántico controlado y que permiten estimar cotas para dichos tiempos. Un ingrediente esencial de las aplicaciones modernas de la teoría de control son los métodos de optimización. En esta Tesis estudiamos e implementamos numéricamentemétodos de control óptimo para sistemas cuánticos en diversos modelos de interés. En particular, utilizamos dichas herramientas para buscar los tiempos mínimosde evolución en sistemas cuánticos que presentan múltiples cruces evitados en suespectro de energías. Para este tipo de modelos, en primer lugar proponemosy caracterizamos un método general para realizar tareas de control, que generaevoluciones con velocidad óptima en cada cruce. Luego, usando métodos de optimización mostramos que el tiempo de evolución puede disminuirse a medida que elnúmero de niveles del sistema aumenta. Finalmente, a partir de estudiar el efectode campos periódicos en estos sistemas, logramos identificar los mecanismos físicosque generan este fenómeno y proponer una solución analítica para el campo decontrol. Adicionalmente, estudiamos la relación entre la controlabilidad de un sistemacuántico y su complejidad. Usando control óptimo, obtuvimos los campos necesariospara generar distintos procesos en una cadena de spines y estudiamos sistemáticamente las propiedades de dichos campos como función de distintos aspectos que hacen a la complejidad del sistema. Encontramos que el ancho debanda de los campos es, por lo general, independiente de la dimensión del sistema. Asimismo, la complejidad del espectro de Fourier del campo efectivamenteaumenta a medida que se incrementa el número de excitaciones en el sistema. Sinembargo, también concluimos que la naturaleza regular o caótica del sistema noafecta significativamente su controlabilidad. Finalmente, estudiamos sistemas cuánticos abiertos en presencia de campos externos. En ese contexto, actualmente se debate si los entornos no Markovianospueden ser usados como un recurso para mejorar la controlabilidad de dichos sistemas. Una de las características más atractivas de estos sistemas es que describenescenarios en los que la pérdida de información y de coherencia son reversibles y,por lo tanto, es posible ujo temporario de información desde el entorno hacia elsistema. Estudiamos la relación entre el grado de no-Markovianidad y la acciónde campos de control dependientes del tiempo en un sistema de dos niveles interactuando con un entorno estructurado a baja temperatura. Para este sistema,hallamos que aplicando campos periódicos sobre el sistema es posible aumentarconsiderablemente el grado de no-Markovianidad con respecto al caso estático. Asimismo exploramos la relación entre los efectos no Markovianos y el control, yargumentamos que dichos efectos no pueden considerarse como un recurso pararealizar protocolos de control.