Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial *-Algebra

Masao Hirokawa

Published Oct 20, 1997• 0 citations
OpenAlex

Abstract

n a n dt h eI n d e pe n d e n t -Os c i l l a t o rM o d e lo naPa r t i a l * -Al g e b r a 鹿川 美男 ( 日立製作所 ･ 基礎研究所) 1 序.ここで扱 うi n d e p e n d e n t -o s c i l l a t o r ( I O) モデルは,1959 年の Ma g a l i n s k i j の論文 t M5 9 1 に現 れ,1980年代 には,C a ld e i r a ,L e g g e t t 【 C L 8 1 1 ;Ha k i m,Amb e g a o k a r 【 HA8 5 】 ;F o r d , Ka c 【 F K8 7 1 ; Gr a b e r t , S c h r a mm, I n g o l d 【 GS I 8 7 1などの論文において, I O モデルは議論 され てい る.F o r d , L e w i sそ して 0' C o n n e l lは 1988年 に, 今 まで物理 で提案 され,よ く使 わ れて きたモデ ルの物理的欠点 を修正す る手法に着 目す ると, 実は I O モデルが導 き出されて いることを発見 した 【 F L O8 8 ] .そこで,ここではI O モデルが持つ二股 的かつ数学的特性 を 導 き出す.I O モデ ルは, 多数の独立 した熟浴の粒子 に囲まれた量子系 の粒子 のモデルである.そし て, 熟浴の粒子 はそれぞれ量子系の粒子 に, あたか もバ ネでつなが っているような感 じであ る.その系 のハ ミル トニア

Related papers

General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial 〓-Algebra (第4回『非平衡系の統計物理』シンポジウム)

真男 広川

物性研究•Oct 1, 1997•0 citations

General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial $\ast$-Algebra(Quantum Stochastic Analysis and Related Fields)

Masao Hirokawa

•Aug 1, 1996•0 citations

General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial $\ast$-Algebra(Quantum Stochastic Analysis and Related Fields)

Masao Hirokawa

数理解析研究所講究録•Aug 1, 1996•0 citations

柴田・橋爪のLangevin方程式はStratonovich型かIto型か?(第5回『非平衡系の統計物理』シンポジウム)

隆 今給黎, 健 斎藤, Kae Nemoto +1 more

クイーンズラン ド大物理 1 は じめに 量子系における微視的なハ ミル トニアンで記述 され るモデルか らL a n g e v i n方程式を導出 す る試みは,古 くか ら行われてきた.特に,射影演算子法によるL a n g e v i n方程式の導出 は,森 【 1 ] によ り始め られ,多 くの研究者によって調べ られてきた.柴 田 ･ 橋爪 [ 2 】 は,熱浴 と相互作用す るスピン系に対 して射影演算子法を適用す ること により,ス ピン緩和に対す る量子 L a n g e v i n方程式を導出 した･その際,注 目す 卑系甲演 算子に対す るHe i ' s e n b e r g方程式か ら出発 し,通常の解析関数 に対す る規則 に したがって 計算を進めている, したがって,導出された量子 L a n g e v i n方程式は,通常の計算規則 に したが うS t r a t o n o v i c h型の確率微分方程式であると理解すべきであろ う. 一方,散逸現象を正準形式の場の理論 として取 り扱 うNo n -E q u i l i b r i u m Th e r moF i e l d Dy n a mi c s ( NE TF D) 【 3 日7 Jの一貫 した体系か ら見 ると,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式は I t o 型の確率微分方程式 と理解すべきとい う結論が得 られる.これは先ほどの結果 と矛盾 してお り,微視的に導出されたL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則をきちん と定める 必要があるとい う問題が現れた.本論文では,ス ピン緩和 と減衰調和振動子の例 を用いて,射影演算子法によ り導出さ れた量子 L a n g e v i n方程式の確率過程 としての計算則がI t o 型である事を,保存量の微分を 計算す る事によ り具体的に示す [ 8 】 .次章では,NETF DにおけるL a n g e v i n方程式を導出 す る.NE TF Dの体系では,いくつかの公理か らL a n g e v i n方程式の形が決定する.第3 章 では,柴 田 ･ 橋爪の方法に沿って L a ng e v in方程式を導出す る.第 4章では,ス ピン緩和 に対する柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則がI t o 型になっている事を, 保存量の微分を計算す る事によって示す.また,減衰調和振動子のモデルに対しても,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式が I t o 型になっている事を示す･ -8 7 0-｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』.シンポジウム｣ 2 NETFDにおけるL a n g e v i n方程式 柴田･ 橋爪のL a n g e v i n方程式 と比較 しうる,NE TF DにおけるL 弧g e V i n方程式を導出する･ 乱雑力 と相互作用する系を考える･NE TF Dでは,状態 l O f ( i ) ) は確率 L i o u v il l e 方程式, d l O f ( i ) ) --m f , t d tl O f ( i ) ) , に従って時間発展す る.( 1 ) 式の積は,I t o 型の積である.無限小時間発展演算子であるハ ッ ト･ ハ ミル トニアン T t f , t d t は, ( i 7 i f , t d t ) --i 7 1 J , 刺 を満たす.ここで,テイル ド共役-は,任意の演算子 A, Al , A 2 に対 して, ( AI A 2 ) --AI A 2 , ( c I A l +C 2 A2 ) --C ; A l +C ; A 2 , ( A) --A, ( A t ) --( A ) I , で定義 され る.ただ し, c l ,C 2 はc 数である.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 t f , t d l は,注 目す る系に関 して確率の保存を表す式,) ( d F I Z d F 1 7 ) -( d F l f d F I Z ) -6 6 ( i -t ′ ) d t d t ′ , を持つ定常 Wi e n e r 過程 を仮定す る.Wi e n e r 過程の演算子は, ( I d F t '-( l d 育 , ( l d F t z-( I d F t z , を満たす.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 i f , t d t に対 して, ･S 土 , s z , d F t j = , d F t z及びそのテ イル ダ共役 に関 して 2次まで･ .大局的位相変換S -S e i O , d F t -d F re i Oの下で不変.の要請 を仮す.但 し, S 土は S 土-s x士i s yで定義 され る. この要請 の下で得 られ るI t o 型のハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 tf , t d t は, 7 1 f j d ths d t +i( h R +H D ) d t +d ht , ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) h s -u ( s z -S -X ) +△ 1 ( ( s Z ) 2 -( S -Z ) 2 ) +A2 ( S + S 一一S -+ S --) , ( 2 7 ) h R-芸 ( 7 0 1 -7 1 0 ) ( ( S +-S --) ( p s -+ " 5 ' ) +七 ･ C ･ ) , ( 2 8 )

物性研究•Feb 20, 1999•0 citations

8-バーテックスモデルとXYZモデル(講義ノート)

重俊 桂

重 俊 (1 9 8 2年 7月 1 3日受理 ) 講義 ノー ト は じ め に 1 9 71 年 にBa x t e r は 2次元 の 8 -v e r t e xモデルの自由エネルギーを転送行列 の方法で求 めた｡ このモデルは特殊 な場合 として I s i n gモデル,d i me rモデル,i c eモデ/ レ ,KDPモデル,Fモ デル等 を含 む一般的 なモデルである｡また Ba x t e rはこの転送行列 の固有ベ ク トルが He i s e n b e r g モデルの一般化である 1次元 ⅩYZモデルのハ ミル トニア ンの固有 ベ ク トルになっていること を示 し, これか らその基底 エネルギー を求 めた｡ Ba x t e rの論文 は " ama s t e r p i e c eo f1 9 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a la ゎ a l y s i s〝とも言われ ているが,む しろ " ama s t e r p i e c eo f2 0 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a lp h y s i c s〝と言 うべ きで あろ う｡P h y s .Re v .L e t t .の論文 3 , 4 ) は勿論, An n .P h y s .の論文 1 , 2 ) も省略 されている部分が多 く, 孤峰 として奪 えたまま登山をす る人は少なかった｡ しか し最近量子逆散乱法 が脚光 をあびるに 至 って, 8 -v e r t e xモデルあるいは 1次元 ⅩYZ モデルがその例題 として しば しば誌面 を賑 わ す よ うになった｡ Ta k h a d z h a n -F a d d e e vの解説 5 ) を参照に しながら,1 0年前読 もうと思 って途 中でやめた論文 をもう 一度読 もうと思いたった所以 である｡今度東京工業大学 において ｢ スピン系 の統計力学｣ と題す る集 中講義 を行 なったが, 8 -v e r t e xモデルの話 も加 えることとし, これ を機会 にその ノー トをまとめた｡ 本稿 を草するに当ってE.Ba r o u c h ,和達三樹,および同研究室の方々,広池和夫, 守田徹,鈴 木増雄,宮下精二,小 口武彦 の諸氏6 ･ 7 ) から多 くの御教示を頂いたことを記 して厚 く謝意 を表する｡ §1 . 1 6v e r t e x ･ モデル, 8v e r t e xモデル, 6v e r t e xモデル 2次元の正方格子 を考 えて各格子点間 を結ぶ b o n dに上向,下向, または左向,右向,のい づれかの矢 をっ ける｡各格子点 とこれに入 る 4本 の b o n dを見 るとこの格子 点 には 1 6個 の状 態がある｡ この各状態に el, e2 -･61 6 のエネルギーを割付 けたモデルが 1 6 -v e r t e x モ デ ル である｡ この 1 6個の配置 の うち 1つの格子点 に奇数本 の b o n dが入 る状 態 が禁止 され るとす *KATS UR A, S h i g e t o s i 軽 重殴 る と ( e 9 ,e l ° ･ -e 1 6 --) 可能 な状 態 として 8個 の状 態が許 され る｡ これが広義 の 8 -v e r t e x モデルである｡一つの格子点 に対 して 4つ の b o n dを反転 した もの と, もとの ものの e n e r g y が等 しい とす る｡ ( e l -C 2 ,E 3 -e 4 ,e 5 -e 6 ,e 7 -e 8 ) (これ は z e r o f i e l dの条件 である. ) これ が狭義 の 8 -v e r t e xモデル ( Ba x t e rモデル)である｡ この内 4本 ともv e r t e x に向 った も の, 4 本 ともv e r t e xか ら出 るものを除 くと ( e 7 -e 8-∞ ) 可態 な状 態 は 6個 となるO これ が 6 -v e r t e xモデルであるoその うちK D Pモデル といわれ るものは T a k a h a s i ,L i e bに よ る強 誘電体 のモデルである* .本稿では狭義 の 8v e r t e xモデル を単 に 8 -V ｡ r t ｡ Ⅹモデル とい う0 8 -v e r t e xモデルの一つの配置 が与 え られ た とき各格子点 は e l ,e 8 の何れかの状態 をと るo系全体 で e･ のエネル ギー を もつ v e r t e xの数 をNj とすれば系 の状 態和 は ノ 8 zI V m = ∑ e x pト P j S .

物性研究•Sep 20, 1982•0 citations

非線形減衰振動子に対する量子確率微分方程式の微視的導出(第5回『非平衡系の統計物理』シンポジウム,研究会報告)

健 斎藤, 敏彦 有光

注 目す る系のハ ミル トニアンが Hs-u a † a + 芸 g a t a † a a , で与 えられ る非線形減衰振動子 を考えよ う｡α , α I は交換関係 [ α , α † 一 -1 , [ α , α ] -0 , ( 1) ( 2 ) を満 たすボゾン演算子である｡減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l t j : 取 り扱 い [ 3 日7 ] では,注 目 す る系内の非線形性がその緩和 に与える影響が考慮 され る｡その結果系のダイナ ミクスは,注 目 す る系の密度行列p s ( i ) が正 しい終状態であるカノニカル平衡状態の密度行列 e-βHsに収束す るこ とを保証す る｡一方,減衰理論 における c o n v e n t i o n a l な取 り扱 いでは,系の非線形性 が緩和に及 ぼす影響は無視 され,p s ( i ) は調和振動子のカ ノニカル平衡状態 e -P ua † a に収束す る｡ このことか ら,系の非線形性が緩和に及ぼす影響 は,系の長時間の振 る舞いに重要 な役割 を果た しているこ とが分かる.Ha a k e 等 【 7 】 は減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l な取 り扱いによ り,非線形減衰振 動子 に対す る量子マスター方程式を導出 した｡ 非平衡 Th e r moF i e l dDy n a mi c s( NE TF D) [ 8 日1 2 ] の枠組みにおいて,量子 L a n g e v i n方程式 と 量子確率 L i o u v i l l e 方程式 を含む量子確率微分方程式の系統的な正準演算子形式の体系が構成 され た 【 1 0 日2 3 ] ｡この体系において,前述の非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式が構成 され た [ 2 0 ] ｡ Ac c a r d i 等 [ 2 4 日2 8 ] は,量子確率過程 に対 して微視的な基礎付 けを与えた｡彼 らは,ボゾン場の 熱浴 と相互作用す る量子系を考察 し,熱浴 のボゾン場 によ り構成 され る集団的ボゾン場 ( c o l l e c t i v e b o s o n丘 e l d )とよばれ る場が,弱結合極限 ( v a nHo v e 極限) 【 2 9 1 で量子 Wi e n e r 過程 に収束す ること ｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ を示 した｡また,相互作用表示における波動関数の時間発展方程式が,無限小時間発展演算子に 量子 Wi e n Q r 過程の増分を含む量子確率微分方程式に収束す ることを示 した｡ この論文では,このA c c a r d i 等の手続きをN E T F Dの枠組みで非線形減衰振動子に適用 し,系 の非線形性が緩和に及ぼす影響を考慮 した非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式を微視 的なモデルか ら導出する｡

物性研究•Feb 20, 1999•0 citations
n a n dt h eI n d e pe n d e n t -Os c i l l a t o rM o d e lo naPa r t i a l * -Al g e b r a 鹿川 美男 ( 日立製作所 ･ 基礎研究所) 1 序.ここで扱 うi n d e p e n d e n t -o s c i l l a t o r ( I O) モデルは,1959 年の Ma g a l i n s k i j の論文 t M5 9 1 に現 れ,1980年代 には,C a ld e i r a ,L e g g e t t 【 C L 8 1 1 ;Ha k i m,Amb e g a o k a r 【 HA8 5 】 ;F o r d , Ka c 【 F K8 7 1 ; Gr a b e r t , S c h r a mm, I n g o l d 【 GS I 8 7 1などの論文において, I O モデルは議論 され てい る.F o r d , L e w i sそ して 0' C o n n e l lは 1988年 に, 今 まで物理 で提案 され,よ く使 わ れて きたモデ ルの物理的欠点 を修正す る手法に着 目す ると, 実は I O モデルが導 き出されて いることを発見 した 【 F L O8 8 ] .そこで,ここではI O モデルが持つ二股 的かつ数学的特性 を 導 き出す.I O モデ ルは, 多数の独立 した熟浴の粒子 に囲まれた量子系 の粒子 のモデルである.そし て, 熟浴の粒子 はそれぞれ量子系の粒子 に, あたか もバ ネでつなが っているような感 じであ る.その系 のハ ミル トニア
General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial ∗\ast∗-Algebra(Quantum Stochastic Analysis and Related Fields)
General Properties between Canonical Correlation and the Independent-Oscillator Model on a Partial ∗\ast∗-Algebra(Quantum Stochastic Analysis and Related Fields)
クイーンズラン ド大物理 1 は じめに 量子系における微視的なハ ミル トニアンで記述 され るモデルか らL a n g e v i n方程式を導出 す る試みは,古 くか ら行われてきた.特に,射影演算子法によるL a n g e v i n方程式の導出 は,森 【 1 ] によ り始め られ,多 くの研究者によって調べ られてきた.柴 田 ･ 橋爪 [ 2 】 は,熱浴 と相互作用す るスピン系に対 して射影演算子法を適用す ること により,ス ピン緩和に対す る量子 L a n g e v i n方程式を導出 した･その際,注 目す 卑系甲演 算子に対す るHe i ' s e n b e r g方程式か ら出発 し,通常の解析関数 に対す る規則 に したがって 計算を進めている, したがって,導出された量子 L a n g e v i n方程式は,通常の計算規則 に したが うS t r a t o n o v i c h型の確率微分方程式であると理解すべきであろ う. 一方,散逸現象を正準形式の場の理論 として取 り扱 うNo n -E q u i l i b r i u m Th e r moF i e l d Dy n a mi c s ( NE TF D) 【 3 日7 Jの一貫 した体系か ら見 ると,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式は I t o 型の確率微分方程式 と理解すべきとい う結論が得 られる.これは先ほどの結果 と矛盾 してお り,微視的に導出されたL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則をきちん と定める 必要があるとい う問題が現れた.本論文では,ス ピン緩和 と減衰調和振動子の例 を用いて,射影演算子法によ り導出さ れた量子 L a n g e v i n方程式の確率過程 としての計算則がI t o 型である事を,保存量の微分を 計算す る事によ り具体的に示す [ 8 】 .次章では,NETF DにおけるL a n g e v i n方程式を導出 す る.NE TF Dの体系では,いくつかの公理か らL a n g e v i n方程式の形が決定する.第3 章 では,柴 田 ･ 橋爪の方法に沿って L a ng e v in方程式を導出す る.第 4章では,ス ピン緩和 に対する柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則がI t o 型になっている事を, 保存量の微分を計算す る事によって示す.また,減衰調和振動子のモデルに対しても,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式が I t o 型になっている事を示す･ -8 7 0-｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』.シンポジウム｣ 2 NETFDにおけるL a n g e v i n方程式 柴田･ 橋爪のL a n g e v i n方程式 と比較 しうる,NE TF DにおけるL 弧g e V i n方程式を導出する･ 乱雑力 と相互作用する系を考える･NE TF Dでは,状態 l O f ( i ) ) は確率 L i o u v il l e 方程式, d l O f ( i ) ) --m f , t d tl O f ( i ) ) , に従って時間発展す る.( 1 ) 式の積は,I t o 型の積である.無限小時間発展演算子であるハ ッ ト･ ハ ミル トニアン T t f , t d t は, ( i 7 i f , t d t ) --i 7 1 J , 刺 を満たす.ここで,テイル ド共役-は,任意の演算子 A, Al , A 2 に対 して, ( AI A 2 ) --AI A 2 , ( c I A l +C 2 A2 ) --C ; A l +C ; A 2 , ( A) --A, ( A t ) --( A ) I , で定義 され る.ただ し, c l ,C 2 はc 数である.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 t f , t d l は,注 目す る系に関 して確率の保存を表す式,) ( d F I Z d F 1 7 ) -( d F l f d F I Z ) -6 6 ( i -t ′ ) d t d t ′ , を持つ定常 Wi e n e r 過程 を仮定す る.Wi e n e r 過程の演算子は, ( I d F t '-( l d 育 , ( l d F t z-( I d F t z , を満たす.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 i f , t d t に対 して, ･S 土 , s z , d F t j = , d F t z及びそのテ イル ダ共役 に関 して 2次まで･ .大局的位相変換S -S e i O , d F t -d F re i Oの下で不変.の要請 を仮す.但 し, S 土は S 土-s x士i s yで定義 され る. この要請 の下で得 られ るI t o 型のハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 tf , t d t は, 7 1 f j d ths d t +i( h R +H D ) d t +d ht , ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) h s -u ( s z -S -X ) +△ 1 ( ( s Z ) 2 -( S -Z ) 2 ) +A2 ( S + S 一一S -+ S --) , ( 2 7 ) h R-芸 ( 7 0 1 -7 1 0 ) ( ( S +-S --) ( p s -+ " 5 ' ) +七 ･ C ･ ) , ( 2 8 )
重 俊 (1 9 8 2年 7月 1 3日受理 ) 講義 ノー ト は じ め に 1 9 71 年 にBa x t e r は 2次元 の 8 -v e r t e xモデルの自由エネルギーを転送行列 の方法で求 めた｡ このモデルは特殊 な場合 として I s i n gモデル,d i me rモデル,i c eモデ/ レ ,KDPモデル,Fモ デル等 を含 む一般的 なモデルである｡また Ba x t e rはこの転送行列 の固有ベ ク トルが He i s e n b e r g モデルの一般化である 1次元 ⅩYZモデルのハ ミル トニア ンの固有 ベ ク トルになっていること を示 し, これか らその基底 エネルギー を求 めた｡ Ba x t e rの論文 は " ama s t e r p i e c eo f1 9 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a la ゎ a l y s i s〝とも言われ ているが,む しろ " ama s t e r p i e c eo f2 0 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a lp h y s i c s〝と言 うべ きで あろ う｡P h y s .Re v .L e t t .の論文 3 , 4 ) は勿論, An n .P h y s .の論文 1 , 2 ) も省略 されている部分が多 く, 孤峰 として奪 えたまま登山をす る人は少なかった｡ しか し最近量子逆散乱法 が脚光 をあびるに 至 って, 8 -v e r t e xモデルあるいは 1次元 ⅩYZ モデルがその例題 として しば しば誌面 を賑 わ す よ うになった｡ Ta k h a d z h a n -F a d d e e vの解説 5 ) を参照に しながら,1 0年前読 もうと思 って途 中でやめた論文 をもう 一度読 もうと思いたった所以 である｡今度東京工業大学 において ｢ スピン系 の統計力学｣ と題す る集 中講義 を行 なったが, 8 -v e r t e xモデルの話 も加 えることとし, これ を機会 にその ノー トをまとめた｡ 本稿 を草するに当ってE.Ba r o u c h ,和達三樹,および同研究室の方々,広池和夫, 守田徹,鈴 木増雄,宮下精二,小 口武彦 の諸氏6 ･ 7 ) から多 くの御教示を頂いたことを記 して厚 く謝意 を表する｡ §1 . 1 6v e r t e x ･ モデル, 8v e r t e xモデル, 6v e r t e xモデル 2次元の正方格子 を考 えて各格子点間 を結ぶ b o n dに上向,下向, または左向,右向,のい づれかの矢 をっ ける｡各格子点 とこれに入 る 4本 の b o n dを見 るとこの格子 点 には 1 6個 の状 態がある｡ この各状態に el, e2 -･61 6 のエネルギーを割付 けたモデルが 1 6 -v e r t e x モ デ ル である｡ この 1 6個の配置 の うち 1つの格子点 に奇数本 の b o n dが入 る状 態 が禁止 され るとす *KATS UR A, S h i g e t o s i 軽 重殴 る と ( e 9 ,e l ° ･ -e 1 6 --) 可能 な状 態 として 8個 の状 態が許 され る｡ これが広義 の 8 -v e r t e x モデルである｡一つの格子点 に対 して 4つ の b o n dを反転 した もの と, もとの ものの e n e r g y が等 しい とす る｡ ( e l -C 2 ,E 3 -e 4 ,e 5 -e 6 ,e 7 -e 8 ) (これ は z e r o f i e l dの条件 である. ) これ が狭義 の 8 -v e r t e xモデル ( Ba x t e rモデル)である｡ この内 4本 ともv e r t e x に向 った も の, 4 本 ともv e r t e xか ら出 るものを除 くと ( e 7 -e 8-∞ ) 可態 な状 態 は 6個 となるO これ が 6 -v e r t e xモデルであるoその うちK D Pモデル といわれ るものは T a k a h a s i ,L i e bに よ る強 誘電体 のモデルである* .本稿では狭義 の 8v e r t e xモデル を単 に 8 -V ｡ r t ｡ Ⅹモデル とい う0 8 -v e r t e xモデルの一つの配置 が与 え られ た とき各格子点 は e l ,e 8 の何れかの状態 をと るo系全体 で e･ のエネル ギー を もつ v e r t e xの数 をNj とすれば系 の状 態和 は ノ 8 zI V m = ∑ e x pト P j S .
注 目す る系のハ ミル トニアンが Hs-u a † a + 芸 g a t a † a a , で与 えられ る非線形減衰振動子 を考えよ う｡α , α I は交換関係 [ α , α † 一 -1 , [ α , α ] -0 , ( 1) ( 2 ) を満 たすボゾン演算子である｡減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l t j : 取 り扱 い [ 3 日7 ] では,注 目 す る系内の非線形性がその緩和 に与える影響が考慮 され る｡その結果系のダイナ ミクスは,注 目 す る系の密度行列p s ( i ) が正 しい終状態であるカノニカル平衡状態の密度行列 e-βHsに収束す るこ とを保証す る｡一方,減衰理論 における c o n v e n t i o n a l な取 り扱 いでは,系の非線形性 が緩和に及 ぼす影響は無視 され,p s ( i ) は調和振動子のカ ノニカル平衡状態 e -P ua † a に収束す る｡ このことか ら,系の非線形性が緩和に及ぼす影響 は,系の長時間の振 る舞いに重要 な役割 を果た しているこ とが分かる.Ha a k e 等 【 7 】 は減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l な取 り扱いによ り,非線形減衰振 動子 に対す る量子マスター方程式を導出 した｡ 非平衡 Th e r moF i e l dDy n a mi c s( NE TF D) [ 8 日1 2 ] の枠組みにおいて,量子 L a n g e v i n方程式 と 量子確率 L i o u v i l l e 方程式 を含む量子確率微分方程式の系統的な正準演算子形式の体系が構成 され た 【 1 0 日2 3 ] ｡この体系において,前述の非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式が構成 され た [ 2 0 ] ｡ Ac c a r d i 等 [ 2 4 日2 8 ] は,量子確率過程 に対 して微視的な基礎付 けを与えた｡彼 らは,ボゾン場の 熱浴 と相互作用す る量子系を考察 し,熱浴 のボゾン場 によ り構成 され る集団的ボゾン場 ( c o l l e c t i v e b o s o n丘 e l d )とよばれ る場が,弱結合極限 ( v a nHo v e 極限) 【 2 9 1 で量子 Wi e n e r 過程 に収束す ること ｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ を示 した｡また,相互作用表示における波動関数の時間発展方程式が,無限小時間発展演算子に 量子 Wi e n Q r 過程の増分を含む量子確率微分方程式に収束す ることを示 した｡ この論文では,このA c c a r d i 等の手続きをN E T F Dの枠組みで非線形減衰振動子に適用 し,系 の非線形性が緩和に及ぼす影響を考慮 した非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式を微視 的なモデルか ら導出する｡