c Т. С. Тинюкова КВАЗИУРОВНИ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ КВАНТОВОГО ВОЛНОВОДАДля дискретного оператора Шредингера, отвечающего квантовому волноводу, с экспоненциально убывающим потенциалом вида εV доказано, что в окрестности особенностей невозмущенной функции Грина для малых ε существуют квазиуровни (собственные значения или резонансы), для которых найдены асимптотические формулы.
c Т. С. Тинюкова КВАЗИУРОВНИ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ КВАНТОВОГО ВОЛНОВОДАДля дискретного оператора Шредингера, отвечающего квантовому волноводу, с экспоненциально убывающим потенциалом вида εV доказано, что в окрестности особенностей невозмущенной функции Грина для малых ε существуют квазиуровни (собственные значения или резонансы), для которых найдены асимптотические формулы.
c Т. С. Тинюкова РАССЕЯНИЕ В СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ КВАНТОВЫХ ПРОВОЛОК В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом.Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур.Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана-Швингера, для решения получена асимптотическая формула.Изучена нестационарная картина рассеяния.Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы.Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.Ключевые слова: дискретное уравнение Липпмана-Швингера, амплитуда прохождения и отражения. ВведениеВ последнее время при описании транспорта электронов через наноразмерные электронные устройства часто используются дискретные модели на графах.Обычно исследуются системы из квантовых проволок и квантовых точек (cм., например, [1-3]), которые моделируются с помощью вершин графа (узлов).Оператор Шредингера в приближении сильной связи представляет собой разностный оператор, область определения которого состоит из функций, заданных на узлах.В физической литературе (см., например, [4]) дискретные модели активно обсуждаются.Но, несмотря на физическую актуальность упомянутых задач, математических работ, исследующих данные модели, мало (см.[5, 6]Оператор H ε является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, потенциал εV описывает влияние примесей.
Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре su(1,1)
В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли su(1,1). Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.
основанные понятия квантовой механики, такие как «волны материи» де Бройля, «принцип неопределенности» Гейзенберга, отсутствие размеров и траектории движения у элементарных частиц, универсальность постоянной Планка, а также уравнение Шредингера, до сих пор недостаточно логически обоснованы. Интерес к истокам квантовой механики обусловлен еще тем, что передовые рубежи науки в области изучения структурной организации материи – струнные теории, базирующиеся на квантовой механике, – находятся в практически непреодолимых, по мнению автора статьи, затруднениях. Это заставляет вернуться к переосмыслению основ квантовой физики. В данной работе предложена модель хаотически блуждающей материальной частицы (обладающей размером и траекторией движения), на основании которой удалось выразить постоянную Планка ħ через основные характеристики стационарного случайного процесса; обосновать переход от координатного представления состояния частицы к ее импульсному представлению без привлечения идеи о существовании «волн материи» де Бройля и «принципа неопределенности» Гейзенберга; вывести уравнение Шредингера на основании принципа экстремума усредненного действия хаотически блуждающей частицы. При этом выявлены условия и границы применения обобщённого уравнения Шредингера к описанию явлений как микромира, так и макромира. Промежуточный результат «определение плотности распределения вероятности производной n-го порядка для n раз дифференцируемого, случайного, стационарного процесса» может быть применим во многих областях теории вероятности и статистической физики.
Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной A-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом H(t). Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан G(t) с помощью не зависящего от времени обратимого оператора A. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для H(t) и G(t) доказано, что H(t) и H†(t) имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора H(t) доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.
КВАНТОВОМЕХАНIЧНА АНАЛОГIЯ ПОШИРЕННЯ СВIТЛА В ПЛАНАРНОМУ ХВИЛЕВОДI Г. П. Лаба 1 , В. М. Ткачук 2 1 Нацiональний унiверситет "Львiвська полiтехнiка", кафедра телекомунiкацiй, вул.С. Бандери, 12, Львiв, 79013, Україна 2 Львiвський нацiональний унiверстет iменi Iвана Франка, кафедра теоретичної фiзики, вул.Драгоманова 12, Львiв, 79005, Україна (Отримано 08 квiтня 2013 р.; в остаточному виглядi 13 травня 2013 р.) Ми встановили точну аналогiю мiж рiвняннями, якi описують поширення ТЕ-i ТМ-мод у планарному хвилеводi з довiльною неперервною залежнiстю показника заломлення вiд координат, i стацiонарним рiвнянням Шрединґера.Ефективнi потенцiальнi енергiї, якi входять у рiвняння Шрединґера та вiдповiдають ТЕ-i ТМ-модам, вiдрiзняються мiж собою, хоча в наближеннi слабкої залежностi показника заломлення вiд координат збiгаються.Для довiльної залежностi показника заломлення вiд координат на прикладах показано суттєву вiдмiннiсть мiж ефективними потенцiальними енерґiями для ТЕ-i ТМ-мод.