Wenn man die Überlegungen des vorigen Abschnitts bedenkt, liegt es nahe, in (AH 8) die Wahrscheinlichkeiten durch Übergangswahrscheinhchkeiten zu ersetzen. Man kann sogar sagen, daß die in (AH 8) genannten Häufigkeiten (Wahrscheinhchkeiten, Inhalte) diese Form haben müssen. Denn es ist praktisch ausgeschlossen, irgendwelche Häufigkeiten oder Inhalte von Alternativen vorauszusagen, wenn man nur das Meßgerät kennt, das diese Alternativen entscheidet. Die Vorschriften für den Bau des Experiments und die Versuchsanordnung kann man formal auffassen als das Festlegen von gewissen Alternativen, die beim Experiment immer festgestellt wurden, wenn die zu untersuchenden Alternativen entschieden werden. Man kann dies auch das Präparieren des Systems nennen, was durch eine gewisse endliche Zahl von Entscheidungen zu geschehen hat, die im Prinzip mit Meßinstrumenten durchzuführen sind. Schon die Angabe, daß alle Augenzahlen beim Würfelwurf gleichwahrschein- hch sind, setzt die Kenntnis gewisser Alternativen voraus: wie er gebaut wurde, das Material, wie er geworfen wird usw. Verändemngen dieser Alternativen können dann zur Veränderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augenzahlen führen. Dazu paßt, daß es wohl kaum physikalische Gesetze gibt, deren experimentelle Bestätigung mit dem Ablesen einer Meßskala durchgeführt werden kann.
Wenn man die Überlegungen des vorigen Abschnitts bedenkt, liegt es nahe, in (AH 8) die Wahrscheinlichkeiten durch Übergangswahrscheinhchkeiten zu ersetzen. Man kann sogar sagen, daß die in (AH 8) genannten Häufigkeiten (Wahrscheinhchkeiten, Inhalte) diese Form haben müssen. Denn es ist praktisch ausgeschlossen, irgendwelche Häufigkeiten oder Inhalte von Alternativen vorauszusagen, wenn man nur das Meßgerät kennt, das diese Alternativen entscheidet. Die Vorschriften für den Bau des Experiments und die Versuchsanordnung kann man formal auffassen als das Festlegen von gewissen Alternativen, die beim Experiment immer festgestellt wurden, wenn die zu untersuchenden Alternativen entschieden werden. Man kann dies auch das Präparieren des Systems nennen, was durch eine gewisse endliche Zahl von Entscheidungen zu geschehen hat, die im Prinzip mit Meßinstrumenten durchzuführen sind. Schon die Angabe, daß alle Augenzahlen beim Würfelwurf gleichwahrschein- hch sind, setzt die Kenntnis gewisser Alternativen voraus: wie er gebaut wurde, das Material, wie er geworfen wird usw. Verändemngen dieser Alternativen können dann zur Veränderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augenzahlen führen. Dazu paßt, daß es wohl kaum physikalische Gesetze gibt, deren experimentelle Bestätigung mit dem Ablesen einer Meßskala durchgeführt werden kann.
Die Probleme, die bei der mathematischen Formulierung von Übergangswahrscheinhchkeiten auftreten, sollen mit einem physüca- hschen Beispiel erläutert werden: Wir betrachten einen Elektronenstrahl, der auf eine Spaltanordnung trifft. Man kann nach G. Ludwig (1970)48) diesen Teü des Experiments, d. h. die Elektronen mit der ganzen apparativen Anordnung den „Präparierteü“ des physikalischen Experiments nennen. Wird hinter der Spahanordnung in einem gewissen Abstand eine räunüich (flächenhaft) auflösende Registriereinrichtung für Elektronen angebracht, kann man entscheiden, auf welche Raumgebiete Elektronen fallen und auf welche nicht. Dies kann man nach G. Ludwig (1970) den Effektteü des physikalischen Experiments nennen. In der hier verwendeten Sprechweise sind die von der Registriereinrichtung aufgelösten Raumgebiete die Alternativen A p j in der Entscheidung. Alles übrige, das dieses Experiment kennzeichnet, die Bauvorschriften, Abmessungen usw. werden beschrieben durch ein gewisses (p − l)-tupel von Alternativen A1,…, Ap−1 in der Bedingung, die man sich als der Reihe nach durchgeführte Messungen vorstellen kann. Zur Bequemlichkeit soll die letzte Alternative Ap−1 die Spaltanordnung kennzeichnen. Ohne das Experiment sonst zu veröndern, soll Ap−1 verändert werden, indem Spalte geöffnet und geschlossen werden.
ZusammenfassungNach den bisherigen Ausführungen hegt es auf der Hand, das Ablesen eines Meßinstruments (einer Meßskala) als Entscheiden von Alternativen aufzufassen. Durch das Ablesen eines Zahlenwerts werden sicher gewisse andere Zahlenwerte der Skala als Meßergebnisse ausgeschlossen. Es ist nur noch nicht klar, daß über Alternativen entschieden wurde. Das Ablesen einer Zahl von einer Skala ist nur mit endlicher Genauigkeit möglich. Dies kann man auch dadurch ausdrücken, daß bei einer Skala nur endhch viele Zahlen abgelesen werden können. Deshalb sind die ablesbaren Zahlen immer isoherte reelle Zahlen (sie haben keinen Häufungspunkt). Faßt man nun diese isoherten reellen Zahlen als sich ausschließende Ereignisse (Alternativen) auf, kommt man in die Schwierigkeit, daß diese Ahernativen gar nicht vorgebbar sind, weil sie durchaus von der Mühe abhängen, die man sich beim Ablesen macht. Deshalb ist es günstiger, für die vorher festzulegenden Alternativen so viele der im Prinzip erkennbaren isolierten Zahlen zu einer Menge (Alternative) zusammenzufassen, daß im Vergleich zu der Anzahl der Elemente dieser Menge die Zahl der isoherten Zahlen, die man eventuell einer falschen Menge (Alternative) bei ungenauerem Ablesen zuordnen würde, klein ist.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.