Eine alternative Methode zur Behandlung eines Hamiltonoperators vom Typ (1) stellt die Verwendung von Greensfunktionen und ihre Berechnung durch systematische Störungstheorie dar. Ob diese Methode besser geeignet ist zur Beschreibung von Kerneigenschaften als die bisher verwendete Goldstone--Störungstheorie, ist nur durch jeweiliges Abwägen der Güte von Näherungsverfahren zu entscheiden. Ziel der nun folgenden Untersuchung war es, an einem einfachen Modell die Qualität der Methode der Greensfunktionen in der Form der sog. RPA zu testen.
Eine alternative Methode zur Behandlung eines Hamiltonoperators vom Typ (1) stellt die Verwendung von Greensfunktionen und ihre Berechnung durch systematische Störungstheorie dar. Ob diese Methode besser geeignet ist zur Beschreibung von Kerneigenschaften als die bisher verwendete Goldstone--Störungstheorie, ist nur durch jeweiliges Abwägen der Güte von Näherungsverfahren zu entscheiden. Ziel der nun folgenden Untersuchung war es, an einem einfachen Modell die Qualität der Methode der Greensfunktionen in der Form der sog. RPA zu testen.
Im Rahmen dieser Arbeit werden verschiedene erweiterte Zweiteilchen-Greensfunktionen und die sogenannte dynamische Greensfunktion vorgestellt. Diesen Propagatoren ist gemein, daß sie eine Dyson-Geichung definieren und damit eine Selbstenergie definieren. Die Selbstenenergie übernimmt die Funktion eines optischen Potentials, das zur effektiven Beschreibung von Vielteilchenproblemen in einer stark reduzierten Anzahl von Koordinaten geeignet ist. Die erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen und die dynamische Greensfunktion erlauben damit eine Ausweitung der für die Einteilchen-Greensfunktion bekannten Eigenschaften auf zusätzliche Freiheitsgrade. Um die Konstruktion der erweiterten Greensfunktionen zu motivieren, werden zunächst am Beispiel der Einteilchen-Greensfunktion die der Dyson-Gleichung zugrundeliegenden Prinzipien demonstriert. Dabei wird gezeigt, daß es im Wesentlichen darauf ankommt, daß die Greensfunktion sich als Projektion einer Vielteilchenresolvente auf einen vollständigen, orthonormalen Satz von Zuständen formulieren läßt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine allgemeine Theorie der erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen vorgestellt und als exemplarische Anwendung der Theorie ein Näherungsschema erster Ordnung für Anregungsenergien und Übergangsmomente (das FOSEP-Schema) vorgestellt und näher untersucht. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird eine exaktes optisches Potential für die gekoppelte Bewegung des Projektilelektrons und der Atomkerne in der Elektron-Molekülstreuung hergeleitet.
Wir betrachten ein quantenmechanisches System, welches durch einen Hamiltonoperator auf einem Hilbertraum beschrieben wird, wobei der Hamiltonoperator als Weyl-Quantisierung eines operatorwertigen Symbols gegeben ist. Mit einem isolierten, nicht-entarteten Eigenwert des Weyl-Symbols des Hamilton Operators und dem entsprechenden Eigenbündel assoziieren wir einen fast-invarianten Unterraum sowie ein neuartiges ε-abhängiges klassisch Hamiltonsches System, welches, bis auf Quantenkorrekturen, Erwartungswerte im thermodynamischen Gleichgewicht sowie die quantenmechanische Evolution von Observablen eingeschränkt auf den fast-invarianten Unterraum bis auf Fehler der dritten Ordnung in ε approximiert. Die symplektische Form des Hamiltonschen Systems ist durch die Krümmungsform eines neuartigen Zusammenhangs gegeben, welcher eine Modifikation der Ordnung ε des bekannten Berry-Zusammenhangs ist. Des Weiteren ist die Krümmungsform dieses modifizierten Berry-Zusammenhangs der Imaginärteil des modifizierten quantengeometrischen Tensors, dessen Realteil eine Fubini-Study-Metrik auf dem Phasenraum definiert, welche wiederum eine wichtige Rolle bei der Approximation von Gleichgewichtserwartungswerten spielt. Außerdem leiten wir erstmals semiklassische Approximationen von Gleichgewichtserwartungswerten im fast-invarianten Unterraum zu beliebiger Ordnung in ε her und können erstmals ein Egorov-Theorem zu beliebiger Ordnung für nicht-trivialisierbare Eigenbündel zeigen. Unsere Ergebnisse wenden wir auf Quantensysteme vom Born-Oppenheimer-Typ und magnetische Blochbänder im Hofstadter-Modell an, leiten semiklassische Approximationen zweiter Ordnung der freien Energie und die magnetische Suszeptibilität für magnetische Blochbänder her, konstruieren einen numerischen Algorithmus zur Approximation der Zeitevolution von quantenmechanischen Erwartungswerten und validieren diesen Algorithmus am Beispiel eines Hamiltonoperators vom Born-Oppenheimer-Typ mit matrixwertigem Symbol.
Seit im Jahre 1928 durch die fundamentalen Arbeiten von Sommerfeld und Bloch die moderne Festkörperphysik begründet wurde, hat es lange Zeit dem Verständnis der elektronischen Eigenschaften der festen Körper keine wesentlichen Schwierigkeiten bereitet, daß es sich bei den Kristallelektronen um ein Vielkörpersystem wechselwirkender Teilchen handelt.Die auf Drude zurückgehende Idee, diese Elektronen als ideales Gas zu behandeln, erwies sich vielmehr durch die Ableitung eines entsprechenden Hamilton-Operators nach Hartree, Fock und Slater als begründbar und als so tragfähig, daß der aus ihr hervorgegangenen "Einelektronentheorie" der Kristalle faszinierende Erfolge beschieden waren.Indessen hat die zunehmende Verfeinerung der Experimentierkunst und die mit ihr einhergehende Vertiefung der theoretischen Fragestellung in den zurückliegenden zwanzig Jahren dazu geführt, daß dem Vielteilchencharakter fast aller Probleme der Elektronentheorie der Festkörper in einem ständig wachsenden Teil der erscheinenden Publikationen Rechnung getragen wird und eine entsprechende Vertrautheit mit den Begriffen und den formalen Methoden der Quantentheorie der Vielteilchensysteme für den Festkörperphysiker zu einem Erfordernis von zunehmender Dringlichkeit wird.Mit der Anwendung der ursprünglich in der Quantenfeldtheorie entwickelten mathematischen Methoden auf die Probleme der Quantenstatistik wurde dieselbe außerordentlich gefördert.So liegt heute z.B. im Formalismus der thermodynamischen Greenschen Funktionen ein mathematischer Apparat von großer Allgemeinheit und Geschlossenheit vor, der die Strukturen der physikalischen Qualitäten von Vielteilchensystemen in systematischer, überschaubarer Weise widerspiegelt.In seiner Anwendung auf das Vielelektronenproblem der Kristalle bietet er die Möglichkeit zu einer genaueren Definition der in der traditionellen Festkörperphysik gängigen Begriffe und zu einer Vereinheitlichung und Erweiterung der formalen Sprache, in der ihre physikalischen Inhalte ihren Ausdruck finden.Es erscheint daher vertretbar, den zahlreichen Darstellungen der Quantentheorie der Vielteilchensysteme ein Buch hinzuzufügen, das sich nicht auf translationsinvariante Systeme konzentriert, sondern bemüht ist, die der Kristallstruktur entsprechende geringere Symmetrie des Vielelektronensystems ständig im Blick zu behalten.Es ist für Festkörperphysiker geschrieben und für Studen-
Die Erzeugung von Photonen mit maßgeschneiderten Eigenschaften ist von größter Bedeutung in der experimentellen Quantenoptik. Fast alle verwendeten Photonenquellen basieren heutzutage auf spontaner Fluoreszenz, durch die ein Photon in einem nichtlinearen Kristall spontan in zwei Photonen zerfällt. Mithilfe dieses Effektes lassen sich sowohl Einzelphotonenquellen als auch Quellen zur Erzeugung von verschränkten Photonenpaaren verwirklichen. In dieser Arbeit werden die Eigenschaften von verschiedenen, auf Fluoreszenez basierender, Photonenquellen beschrieben, sowie ihre Anwendung in zwei ausgewählten quantenoptischen Experimenten. Das erste Experiment stellt eine Anwendung der sogenannten blinden Quantendatenverarbeitung dar, in der ein Anwender ohne quantenmechanische Ressourcen eine Berechnung auf einen Server auslagert, der über große Quantenkapazitäten verfügt. Das Besondere dabei ist, dass der Server die Berechnung zwar ausführt, dabei aber keine Details über die Berechnung selbst erfährt. Er ist der Eingabe, der Durchführung und der Ausgabe gegenüber 'blind'. Das zweite Experiment beschäftigt sich mit Einmalprogrammen, die nach einmaliger Verwendung unbrauchbar und nicht kopiert werden können. Durch Eigenschaften der Quantenmechanik ist es möglich, diese Art von Programmen zu verwirklichen ohne die physische Zerstörung von Hardware. Abschließend werden die Vorteile einer gebrauchsfertigen Photonenquelle besprochen, die durch ihre einfache Handhabung ideal für quantenoptische Experimente in einem Laborpraktikum geeignet ist.
Diese Dissertation beschäftigt sich mit Themen aus den Gebieten der Quanten- und Computerchemie. Die Berechnung von Elektronenabstoßungsintegralen ist einewichtige Aufgabe in der quantenchemischen Behandlung von Mehrteilchensystemen, wobei der Aufwand zur Bestimmung der Integrale mit der vierten Potenz der Größe der Einteilchenbasis ansteigt. Bei der Berechnung von größeren molekularen Systemen wird dieser Schritt zu einem entscheidenden Faktor. Die “Quantum Objects Library” ist eine hauptsächlich in C++ geschriebene Sammlung von Klassen und Programmen aus dem Bereich der Quantenchemie. Das Fundament der entwicklerischen Arbeit dieser Dissertation stellt ein effizientes Teilprogramm der QuantumObjects Library dar, welches zur Berechnung der Elektronenabstoßungsintegrale verwendet wird. Dieses Programm ist ein code-generiertes Modul, welches auf einem optimierten Obara-Saika-Algorithmus basiert. Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Implementierung einer Integraltransformation der berechneten aber noch unbearbeiteten Integrale aus dem Obara-Saika-Modul, welches einer Basistransformation vom kartesischen auf den kontrahierten und sphärisch-transformierten Raum entspricht. Dazu werden verschiedene Algorithmen und deren Vor- und Nachteile diskutiert. Die Analyse des Zeitaufwandes verschiedener Programmteile ergibt eine gemittelte Zeitersparnis von über 80% (Faktor 6) bei Testrechnungen mit Basissätzen von quadrupel-zeta Qualität, die Funktionen für eine maximale Bahndrehimpulsquantenzahl von l = 4 enthalten. Des weiteren konnte gezeigt werden, dass die Berechnung der unbearbeiteten Integrale weniger als 20% der Gesamtzeit zur Erzeugung der fertigen Integrale verbraucht, was die Effizienz des code-generierten Programmteiles unterstreicht. \nDer zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit zwei Anwendungen aus dem Bereich der Computerchemie. Die betrachteten organometallischen molekularen Systeme beinhalten zwischen 45 und 110 leichte Atome inklusive eines Metallatomes. Die erste Anwendung ist die quantenchemische Untersuchung eines thermo-optischen molekularen Schalters, welcher auf einer haptotropen Umlagerung eines Chromkomplexes basiert. Die besondere Schwierigkeit stellte die Beschreibung von angeregten Zuständen dar, welche besonders wichtig sind, da im Experiment durch UV-Strahlung Photonabsorptionsprozesse auftreten. Die Rechnungen untermauern die Vermutung, dass die Photonabsorptionen sowohl die Decarbonylierung als auch die haptotrope Wanderung hin zum thermisch instabileren Isomer beeinflussen. Die zweite Anwendung ist die Untersuchung der Racematspaltung von chiralen Titanocenkomplexen, wobei die Trennung der Enantiomere mit Hilfe von chiralen, zur Stoffklasse der Diole gehörenden Liganden durchgeführt wird. Die Rechnungen zeigen, dass im Fall der behandelten Titanocene BINOL ein geeignetes Agens zur Racematspaltung ist.