Optische Potentiale und Dyson-Gleichung jenseits der Einteilchen-Greensfunktion: Theorie der erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen und der dynamischen Greensfunktion
Im Rahmen dieser Arbeit werden verschiedene erweiterte Zweiteilchen-Greensfunktionen und die sogenannte dynamische Greensfunktion vorgestellt. Diesen Propagatoren ist gemein, daß sie eine Dyson-Geichung definieren und damit eine Selbstenergie definieren. Die Selbstenenergie übernimmt die Funktion eines optischen Potentials, das zur effektiven Beschreibung von Vielteilchenproblemen in einer stark reduzierten Anzahl von Koordinaten geeignet ist. Die erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen und die dynamische Greensfunktion erlauben damit eine Ausweitung der für die Einteilchen-Greensfunktion bekannten Eigenschaften auf zusätzliche Freiheitsgrade. Um die Konstruktion der erweiterten Greensfunktionen zu motivieren, werden zunächst am Beispiel der Einteilchen-Greensfunktion die der Dyson-Gleichung zugrundeliegenden Prinzipien demonstriert. Dabei wird gezeigt, daß es im Wesentlichen darauf ankommt, daß die Greensfunktion sich als Projektion einer Vielteilchenresolvente auf einen vollständigen, orthonormalen Satz von Zuständen formulieren läßt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine allgemeine Theorie der erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen vorgestellt und als exemplarische Anwendung der Theorie ein Näherungsschema erster Ordnung für Anregungsenergien und Übergangsmomente (das FOSEP-Schema) vorgestellt und näher untersucht. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird eine exaktes optisches Potential für die gekoppelte Bewegung des Projektilelektrons und der Atomkerne in der Elektron-Molekülstreuung hergeleitet.
Im Rahmen dieser Arbeit werden verschiedene erweiterte Zweiteilchen-Greensfunktionen und die sogenannte dynamische Greensfunktion vorgestellt. Diesen Propagatoren ist gemein, daß sie eine Dyson-Geichung definieren und damit eine Selbstenergie definieren. Die Selbstenenergie übernimmt die Funktion eines optischen Potentials, das zur effektiven Beschreibung von Vielteilchenproblemen in einer stark reduzierten Anzahl von Koordinaten geeignet ist. Die erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen und die dynamische Greensfunktion erlauben damit eine Ausweitung der für die Einteilchen-Greensfunktion bekannten Eigenschaften auf zusätzliche Freiheitsgrade. Um die Konstruktion der erweiterten Greensfunktionen zu motivieren, werden zunächst am Beispiel der Einteilchen-Greensfunktion die der Dyson-Gleichung zugrundeliegenden Prinzipien demonstriert. Dabei wird gezeigt, daß es im Wesentlichen darauf ankommt, daß die Greensfunktion sich als Projektion einer Vielteilchenresolvente auf einen vollständigen, orthonormalen Satz von Zuständen formulieren läßt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine allgemeine Theorie der erweiterten Zweiteilchen-Greensfunktionen vorgestellt und als exemplarische Anwendung der Theorie ein Näherungsschema erster Ordnung für Anregungsenergien und Übergangsmomente (das FOSEP-Schema) vorgestellt und näher untersucht. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird eine exaktes optisches Potential für die gekoppelte Bewegung des Projektilelektrons und der Atomkerne in der Elektron-Molekülstreuung hergeleitet.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Mit Hilfe der Semiotik wird untersucht, wie es der Quantenphysik gelingt, Formeln plausibel zumachen, deren zugrunde liegender physikalischer Sachverhalt nicht einem Alltagsverständnis bzw. einem Verständnis im Sinne der klassischen Physik zugänglich ist. Dabei geht es um eine allgemein anerkannte Art des Verständlichmachens bestimmter physikalischer Formeln jenseits der individuellen Ausprägung von Fähigkeiten des Erklärens und Verstehens, sozialer Phänomene und geschichtlicher Entwicklungen, indem man diesen Formeln jeweils ein bestimmtes Experiment zur Seite stellt. Das Experiment ist dabei so gewählt, dass das physikalische Phänomen, das in der Formel beschrieben wird, im Experiment untersucht wird, so dass sich die Formel dann als Auswertung des Experimentes ergibt. Um den schillernden Begriff des Verständnisses auf das für die Untersuchung Notwendige zu beschränken, wird der Begriff Plausibilisierung eingeführt. In einer hermeneutischen Herangehensweise wird ein geeignetes semiotisches Modell dieser wesentlichen argumentativen Figur der Physik anhand von drei Beispielen physikalischer Phänomene entwickelt: die geradlinige Bewegung eines Körpers mit konstanter Geschwindigkeit für die klassische Physik, das Spektrum des energetisch angeregten Wasserstoffs für die ältere Quantenphysik und die Streuung von Elektronen am Doppelspalt für die moderne Quantenphysik. Für jedes der drei Beispiele lassen sich die betreffende Formel und das zugehörige Experiment jeweils als Zeichen auffassen. Lässt sich die Situation der klassischen Physik gut mit dreistelligen Zeichen erfassen, erweist sich der zweistellige Zeichenbegriff für die Situation der Quantenphysik als adäquater. Die Plausibilisierung als Gefüge dieser beiden Zeichen zwingt nicht zu der Annahme, dass einer Formel als Kompositionen von Elementen der Ausdrucksseite eines gewöhnlichen Textes ein Element auf der Inhaltsseite entspricht. Vielmehr dient die zu plausibilisierende Formel dazu, Elemente der Wirklichkeit auf der Ausdrucks- und Inhaltsseite aufeinander zu beziehen. Die Wirkungsweise des Zeichens in der Plausibilisierung der Quantenphysik ist damit nicht negiert, sondern adäquater als beim gewöhnlichen Text in der Physik. Die Plausibilisierung erlaubt, die semantische Interpretation von Formeln zu relativieren, ohne auf ein Verständnis ihrer zeichenbezogenen Funktionsweise verzichten zu müssen.
In der vorliegenden Arbeit „Schrödinger's Equation as Newtons's Law of Motion“ werden neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Transporttheorie vorgestellt und gezeigt wie die wohl bekannteste Gleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung als Newtonsche Gleichung geschrieben werden kann. Also als eine klassische Bewegungsgleichung. Zu Beginn werden die für die Arbeit wichtigsten Ergebnisse der Transporttheorie behandelt. Die Existenz einer optimalen Transportstrategie im Sinne von Kantorovich steht ganz zu Beginn. Es folgen die Definition einer Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und wichtige Eigenschaften dieser Metrik (z.B.: Metrisierung der schwachen Topologie). Danach wird aus der Existenz einer Lösung des Transportproblems im Sinne von Kantorovich die Existenz einer optimalen Transportabbildung hergeleitet. Eine solche Transportabbildung wird auch Lösung des Mongeproblems genannt. Die Herleitung dieser optimalen Abbildung erfolgt nur für den speziellen Fall der für die Arbeit wichtigen Kostenfunktion (die Distanzfunktion des Grundraums zum Quadrat). Mit Hilfe dieser Abbildung werden dann die wichtigsten Resultate für die angestrebte Geometrisierung des Raumes der Wahrscheinlichkeitsmaße gezeigt. Zuerst wird mittels der Transportabbildung eine ganze Familie von Transportabbildungen definiert. Diese Familie von Abbildungen erlaubt es dann Geodäten auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren. In Abschnitt 6 werden diesen Geodäten Vektorfelder zugeordnet und mittels dieser Vektorfelder auch Geschwindigkeitsvektoren. In Abschnitt 7 wird dann mit Hilfe der Benamou-Brenier-Formel eine Norm (bzw. inneres Produkt) von Geschwindigkeitsvektoren definiert. Dieses innere Produkt ist von zentralem Interesse. Mit Hilfe dieses Produktes wird dann (formal) eine differenzierbare Struktur, im Sinne der Riemannschen Geometrie, auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße definiert. Die Notation für diese Geometrie wird in Abschnitt 9 festgelegt. Danach folgen einige Beispiele. Es werden die Gradienten verschiedener Funktionale berechnet. Eines dieser Beispiele (die Fisherinformation) ist auch für den weiteren Teil der Arbeit von höchstem Interesse. Um eine Verbindung der Schrödinger Gleichung zu der von uns angestrebten Newtonschen Gleichung herzustellen ist ein Zwischenschritt erforderlich. In Abschnitt 11 wird ein auf Erwin Madelung zurückgehendes Resultat vorgestellt. Es zeigt, dass die Schrödinger Gleichung in ein System von Gleichungen (eine Hamiltion -Jacobi und eine Kontinuitätsgleichung) umgeschrieben werden kann. Die zentrale Aussage erfolgt dann in Theorem 16. Es wird gezeigt, dass eine Newtonsche Gleichung auf deren rechten Seite ein spezielles Potential steht zu den Madelunggleichungen äquivalent ist. Das angesprochene Potential besteht aus einem klassischen Potential und der sogenannten Fisherinformation. Im letzten Teil der Arbeit wird die Äquivalenz der Gleichungen mittels der Methoden der symplektischen Geometrie gezeigt, um die Aussage in aller Allgemeinheit dar zu stellen.
Die vorliegende Arbeit stellt eine Erweiterung zu Papier 3 des Zeit–Energie–Universums dar und dient der begrifflichen Präzisierung des Begriffs der Instanziierung. Ausgehend von der Unterscheidung zwischen möglichen und bestimmten Zuständen wird Instanziierung nicht als physikalischer Prozess, sondern als logische Festlegung eines konkreten Zustandes innerhalb einer bestehenden Ordnung verstanden. Sie besitzt weder Dauer noch Dynamik und ist nicht Teil zeitlicher Abläufe. Die Erweiterung zeigt, dass Instanziierung keine Veränderung physikalischer Größen bewirkt und insbesondere nicht mit der Energieerhaltung in Konflikt steht. Energie wird weiterhin als durch die bekannten physikalischen Gesetze bestimmt betrachtet, während Instanziierung ausschließlich die Bestimmtheit eines Zustandes beschreibt. Darüber hinaus wird begründet, dass Instanziierung nicht lokal, sondern global erfolgen muss, da nur so eine konsistente physikalische Gesamtstruktur gewährleistet werden kann. Mehrere konkurrierende oder teilweise bestimmte Realitäten werden damit ausgeschlossen. Die Arbeit verändert keine Aussagen aus Papier 3, sondern ergänzt und präzisiert dessen begriffliche Grundlage. Sie versteht sich als Beitrag zur Klarstellung zentraler Begriffe innerhalb eines nicht-dynamischen, konzeptionellen Rahmens im Einklang mit etablierter Physik.
Nach dem Energieerhaltungssatz kann Energie nicht erzeugt, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. In einem energetisch abgeschlossenen System muß dem-gemäß die Gesamtenergie konstant bleiben. Die vorliegende Arbeit geht grundsätzlich der Frage nach, inwieweit dieses physikalische Gesetz überhaupt noch Platz für eine mentale Energie läßt, zumal eine solche Wirkkraft unausweichlich eine Überdetermination zu begrün-den scheint. Ich stelle u.a. jene Überlegungen der Quantenphysik vor, welche mir geeignet erscheinen, die Kluft zwischen Geist und Materie überbrücken zu können. Zum einen des-halb, weil sie die althergebrachte Vorstellung von Materie in Frage stellen, zum anderen, weil sie die Einwirkung des Bewußtseins und das Verhältnis von Objektivität und Subjektivität beleuchten. Es scheint, als besäße das Elektron keine vom Bewußtsein unabhängigen Eigenschaften und als wäre in der Quantentheorie das Objekt vom Subjekt prinzipiell nicht zu trennen. Die Quantenmechanik kennt nichtlokale Verbindungen, die weder mit Energie, noch mit Mechanik, noch mit herkömmlicher kausaler Verknüpfung zu tun haben. Die Nichtlokali-tät stellt somit eine Korrelation, nicht einen kausalen Zusammenhang, wie etwa eine Wechsel-wirkung dar, da keinerlei Signalübertragung stattfindet. Die kausale Geschlossenheit der Welt kann nur soweit Gültigkeit beanspruchen, als physikalische klassische Systeme als umfassende Darstellungen der Welt angesehen werden können. Die Vorstellung, dass subatomare Teilchen einen bestimmten Weg in Raum und Zeit verfolgen und miteinander interferieren, ist eine rein mentale Konstruktion, die unserem Vor-stellungsvermögen entgegenkommt, aber keinerlei zusätzliche Erklärungskraft besitzt. In der gegenwärtigen Diskussion über mentale Verursachung wird oftmals von einem Dualismus ausgegangen, der meines Erachtens von einem überholten Materiebegriff ausgeht. Bei der „Mental-Energie“ ist das Mentale letztlich nicht geheimnisvoller, als die Energie, und die kausale Verbindung des Geistes mit sogenannter „Materie“ nicht rätselhafter und unmöglich-er, als zwei korrelierte Teilchen, die unabhängig von Zeit, Raum verschränkt sind. Ich versuche zu argumentieren, dass es ein “irreduzibles Selbst“ gibt und dass sein „Innewerden“ möglich ist, ansonsten wir gar nicht wissen und spüren könnten, dass wir beispielsweise zentriert sind, wenn wir in unserer Mitte sind. Die Mitte existiert nur „mitten-drin“, als Mitte von Etwas. Ich behaupte, dass es möglich ist, dieses Etwas durch das „Prinzip der transzendenten Resonanz“, als das nicht hintergehbare Selbst, verstärkt wahrzunehmen. Es ist ein Gewahrwerden seiner selbst durch „Spiegelung“ oder „Nachhall“ des Unverstellten und Wesentlichen in besonderen Lebensmomenten. Das Eigentliche um uns bringt durch Resonanz das Eigentliche in uns zum Anklingen: Das „eigentliche Selbst“. Wir erleben uns selbst nicht nur als Erlebende und Erkennende dieser transzendenten Momente, sondern gleichzeitig auch als feststellende, auffindende, wesensgleiche und somit auf gleicher Wellenlänge seiende Kategorisierer und Bewerter dieser besonderen essentiellen Qualität, die um diese Wertkategorie auch wissen. Auf diese Weise bekommen wir neben diesem erkennenden auch ein ergänzendes Wissen von uns selbst, weil ein Teil unseres „ontischen Ergänzungsbedarfs“ den wir als „ex-zentrische“ Wesen haben, gedeckt wurde. In diesem transzendenten Sich-Selbst-Erleben stillen wir unsere Sehnsucht nach Ganzheit. Die Sehn-sucht nach dieser Komplettierung ist die Quelle aller mentalen Energie.
Diese Arbeit umfasst die theoretische Untersuchungen der ein- und zwei-Teilchen Anregungen in stark korrelierten Systems im Rahmen des Hubbard Modells. Mittels der dynamische Mean-Field-Theorie (DMFT), der Leiter-Näherung und der Erste-Ordnung-Näherung wird die Spektralfunktion des Einband- und isotrope Zweiband-Hubbard-Modells untersucht. Die Ergebnisse werden in einem System in der Nähe des Mott Übergangs verglichen und analysiert. Die berechnete Spektralfunktion wird unter bestimmten Bedingungen mit Photostrom des (ein-photon, 2 Elektronen) Experiments gekoppelt. Die Diskussion wird dann erweitert, um die räumliche Fluktuation zu berücksichtigen. Hierbei wird das zweidimensionale Hubbard Modell mit Spinfluktuation zusammen mit der erweiterte dynamische Mean-Field-Theorie (EDMFT) angewendet, um die Einteilchen-Spektralfunktion, die optische Leitfähigkeit, und die Zweiteilchen -Spektralfunktion zu berechnen. Es wird gezeigt, dass die Spinschwankungen die Entstehung einer Pseudo-Lücke in der Einteilchen-Spektralfunktion unterstützen. In ähnlicher Weise, mit der steigenden Spin-Wechselwirkung verringert sich das Spektralgewichts der Zweiteilchen-Anregung. Das Zusammenspiel zwischen der Bandbreite-Anisotropie und der stark Korrelationen ist im Rahmen des Zweiband-Hubbard-Modells diskutiert. In dieser Hinsicht werden die Transporteigenschaften sowie die Zweiteilchen-Spektralfunktion durch DMFT ermittelt. Die Wirkung der Spinfluktuation in diesemModell lässt sich anhand der EDMFT feststellen. Es zeigt sich, dass die räumlichen Schwankungen nicht die Physik des orbital-abhängig Mott Übergangs ändern