La densità di probabilità come flusso di probabilità

Fabio Bagarello

Ziauddin Sardar

Andrea Violentano

ABSTRACT Questo lavoro nasce da una ricostruzione progressiva del processo di rivelazione del fotone, sviluppata a partire da una domanda fisica semplice ma decisiva: che cosa accade realmente quando il campo associato al fotone incontra un elettrone e produce, oppure non produce, un evento registrabile?Nel quadro qui proposto, il fotone non viene trattato come una particella puntiforme né come un oggetto che oscilla localmente. Viene descritto come una distribuzione energetica di campo in propagazione. L’andamento ondulatorio usato nella formulazione non rappresenta una “pallina che vibra”, ma la lettura locale del profilo del campo quando esso attraversa una finestra elettronica di interazione.La finestra non appartiene al fotone. Appartiene al sistema elettronico di risposta. Il campo attraversa la finestra; il sistema elettronico accumula energia efficace; il rivelatore registra solo se tale energia supera una soglia. Questo passaggio è il cuore del modello: il click non è il punto di partenza, ma il punto di arrivo di una dinamica fisica locale.L’elettrone viene quindi interpretato come sistema locale dinamico, non come bersaglio statico. La sua risposta dipende dal tempo utile di interazione, dalla fase con cui il profilo del campo entra nella finestra, dalla densità energetica efficace disponibile e dalla soglia energetica del sistema. L’incontro tra campo fotonico ed elettrone non è un punto geometrico perfetto, ma un processo locale nel quale solo una parte del profilo del campo contribuisce all’energia effettivamente accumulata. La catena fondamentale del modello è:campo in propagazione → finestra elettronica → energia integrata → soglia → click → conteggioLa probabilità non viene introdotta come postulato iniziale. Emerge dal conteggio delle configurazioni di fase φ che superano la soglia energetica E_c. Il campionamento della fase non è un artificio statistico esterno, ma nasce dalla dinamica stessa dell’incontro: il profilo locale del campo può entrare nella finestra elettronica in configurazioni diverse, e non tutte producono lo stesso accumulo energetico.Il caso di riferimento 50/50, associato alla lunghezza d’onda λ₀, viene usato per fissare la scala operativa della finestra e la soglia del sistema. In tale condizione, metà delle configurazioni produce click e metà no. La soglia E_c viene definita come mediana della distribuzione degli integrali energetici nella finestra. Dopo questa calibrazione, E_c e Δt_c restano fissi: non vengono ricalcolati nei test successivi. Questo vincolo impedisce ricalibrazioni nascoste e permette di verificare se i risultati derivino davvero dalla struttura del modello. La formulazione operativa utilizza il campo locale nella finestra:y(t, φ, λ) = A(λ) · sin(φ − ωt)con:ω = 2πν = 2πc / λNel blocco numerico, usando unità normalizzate con c = 1, si ottiene:ω = 2π / λL’ampiezza energetica efficace viene descritta da:A(λ)² = (λ₀ / λ)²In questa impostazione, A(λ)² non viene confusa con l’energia totale del fotone. La relazione standard:E = hν = hc / λfornisce il legame fondamentale tra energia e frequenza, mentre A(λ)² rappresenta la densità energetica efficace disponibile nella finestra elettronica normalizzata. Il modello distingue quindi tra energia totale associata alla frequenza del fotone ed energia localmente disponibile per la risposta elettronica.L’energia locale è:w(t, φ, λ) = y(t, φ, λ)²Il segno del campo non implica cancellazione energetica: la semionda superiore e la semionda inferiore contribuiscono entrambe all’energia, perché l’energia locale dipende dal quadrato del campo. L’energia accumulata nella finestra elettronica è:E_acc(φ, λ) = ∫₀^Δt_c [A(λ)² · sin²(φ − ωt)] dtLa condizione di evento è:E_acc ≥ E_cLa probabilità emergente è:P_event = numero di click / numero totale di campioniIl modello viene verificato attraverso quattro blocchi principali di test numerici. Il primo studia la dipendenza dalla lunghezza d’onda λ: quando λ diminuisce, il campo risulta più concentrato nella finestra elettronica e l’energia efficace integrata aumenta; il sistema tende quindi alla saturazione. Quando λ aumenta, l’energia integrata diminuisce e il sistema tende allo spegnimento. Il caso λ = λ₀ conserva il riferimento 50/50. Il secondo test introduce la polarizzazione come proiezione geometrica del campo nella finestra. La componente energetica utile viene ridotta secondo cos²(θ), ma la probabilità di click non viene imposta uguale a cos²(θ): emerge ancora dal confronto tra energia integrata e soglia E_c.Il terzo test applica la stessa catena all’interferenza e alla doppia fenditura. La regola fondamentale è che non si sommano probabilità e non si sommano prima energie separate. Si sommano prima i campi, poi si calcola il quadrato, poi si integra nella finestra elettronica e infine si applica la soglia. In questo modo, l’interferenza e la figura della doppia fenditura emergono dalla somma dei contributi di campo che arrivano nella stessa finestra di risposta.Il quarto test mostra il ruolo del rivelatore come sistema a soglia. A parità di campo, finestra e geometria, modificare la soglia modifica la figura osservata, senza che il rivelatore crei il campo. Il rivelatore seleziona quali configurazioni diventano eventi registrati.Vengono inoltre eseguiti due controlli finali. Il controllo di robustezza numerica verifica che i risultati non dipendano dal numero di campioni N usato per la fase φ. Il controllo di coerenza globale verifica che tutti i risultati derivino dalla stessa catena operativa, senza introdurre finestre nuove, soglie ricalcolate o parametri liberi dopo i risultati.Il risultato complessivo è un quadro nel quale la misura viene interpretata come processo fisico locale: il campo in propagazione porta una distribuzione energetica, la finestra elettronica seleziona la parte utile, l’energia viene integrata nel tempo di risposta, la soglia decide se l’evento viene registrato e la probabilità emerge dal conteggio delle configurazioni che superano tale soglia.In questa prospettiva, il click non è un mistero iniziale né una probabilità calata dall’alto. È l’esito finale di una catena fisica: campo, finestra, energia, soglia, evento. Il modello Multibolla viene qui applicato come struttura concettuale e operativa per trasformare l’intuizione geometrica del campo in una formulazione matematica verificabile.Bell ed entanglement non vengono trattati in questo paper. Restano esclusi dal nucleo attuale e sono riservati a un lavoro successivo separato.

Martino Calzavara

Studiamo i solitoni come forma della funzione d'onda macroscopica per un condensato di Bose-Einstein (BEC) costituito da un gas diluito ultrafreddo di atomi alcalini. La peculiarita dei solitoni e quella di propagarsi senza che la loro forma sia alterata da effetti dispersivi, in quanto questi sono bilanciati dall'interazione non-lineare fra gli atomi del condensato. Dimostriamo che essi sono soluzioni analitiche dell'equazione di Gross-Pitaevskii, che deriveremo con un approccio variazionale nel caso libero e nel caso di confinamento armonico trasversale. Studiamo sia il bright soliton, ossia di un massimo nella densita di probabilita, che il dark soliton, che invece costituisce un minimo; l'interazione sara attrattiva nel primo caso e repulsiva nel secondo. Consideriamo infine quattro esperimenti in cui sono stati generati dei solitoni e verifichiamo che le proprieta trovate sperimentalmente combacino con quelle dedotte.

Ziauddin Sardar

Ziauddin Sardar