Error basis, quantum channel and seimgroup of various positive operators
Purbayan Chakraborty
Base d'erreur, canal quantique, semigroupe de divers opérateurs positifs Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous discutons des notions existantes de différentes positivités d'une application linéaire entre des algèbres de matrices, par exemple la k-positivité, la positivité complète ou le canal quantique, la k-superpositivité, etc., l'idée d'un état quantique séparable et intriqué, la base d'erreur unitaire quantique et leurs constructions, etc. Comme ces différentes applications positives forment des cônes convexes fermés, nous discutons en détail de la relation entre les différents cônes positifs et leurs duals. Nous parlons aussi brièvement des interprétations physiques de ces objets mathématiques du point de vue de l'information quantique et de la dynamique d'un système quantique ouvert.Dans les deux derniers chapitres, nous présentons nos résultats sur le sujet. Nous essayons de caractériser différentes applications positives en utilisant une base appropriée de l'espace des applications linéaires entre les algèbres de matrices. Les opérateurs de Weyl donnent une base pratique de l'algèbre des matrices qui est également orthonormée par rapport au produit scalaire de Hilbert-Schmidt.Les propriétés d'une telle base peuvent être généralisées à la notion de "nice error basis" (NEB), telle qu'introduite par E. Knill. Nous pouvons utiliser une NEB de l'algèbre des matrices pour construire une NEB pour l'espace des applications linéaires entre algèbres de matrices. Toute application linéaire correspondra alors à une matrice de coefficient dans la décomposition de la base par rapport à cette base. La positivité, la (co)positivité complète ou d'autres propriétés d'une application linéaire peuvent être caractérisées en termes de cette matrice de coefficients. Enfin, nous caractériserons le semigroupe à un paramètre de différentes applications positives en fonction de ses générateurs. Nous prouvons une correspondance de type Schoenberg pour les semigroupes non-unitaires qui généralise un résultat analogue pour les semigroupes unitaires prouvé par Michael Schürmann. Elle caractérise les générateurs des semigroupes de applications linéaires sur l'algèbre des matrices qui sont k-positifs, k-superpositifs, ou k-rupture d'enchevêtrement. En corollaire, nous réprouvons le théorème de Lindblad, Gorini, Kossakowski et Sudarshan. Nous présentons quelques exemples concrets de semigroupes d'opérateurs et étudions comment leurs propriétés de positivité peuvent s'améliorer avec le temps.
•Sep 8, 2023•0 citations