Base d'erreur, canal quantique, semigroupe de divers opérateurs positifs Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous discutons des notions existantes de différentes positivités d'une application linéaire entre des algèbres de matrices, par exemple la k-positivité, la positivité complète ou le canal quantique, la k-superpositivité, etc., l'idée d'un état quantique séparable et intriqué, la base d'erreur unitaire quantique et leurs constructions, etc. Comme ces différentes applications positives forment des cônes convexes fermés, nous discutons en détail de la relation entre les différents cônes positifs et leurs duals. Nous parlons aussi brièvement des interprétations physiques de ces objets mathématiques du point de vue de l'information quantique et de la dynamique d'un système quantique ouvert.Dans les deux derniers chapitres, nous présentons nos résultats sur le sujet. Nous essayons de caractériser différentes applications positives en utilisant une base appropriée de l'espace des applications linéaires entre les algèbres de matrices. Les opérateurs de Weyl donnent une base pratique de l'algèbre des matrices qui est également orthonormée par rapport au produit scalaire de Hilbert-Schmidt.Les propriétés d'une telle base peuvent être généralisées à la notion de "nice error basis" (NEB), telle qu'introduite par E. Knill. Nous pouvons utiliser une NEB de l'algèbre des matrices pour construire une NEB pour l'espace des applications linéaires entre algèbres de matrices. Toute application linéaire correspondra alors à une matrice de coefficient dans la décomposition de la base par rapport à cette base. La positivité, la (co)positivité complète ou d'autres propriétés d'une application linéaire peuvent être caractérisées en termes de cette matrice de coefficients. Enfin, nous caractériserons le semigroupe à un paramètre de différentes applications positives en fonction de ses générateurs. Nous prouvons une correspondance de type Schoenberg pour les semigroupes non-unitaires qui généralise un résultat analogue pour les semigroupes unitaires prouvé par Michael Schürmann. Elle caractérise les générateurs des semigroupes de applications linéaires sur l'algèbre des matrices qui sont k-positifs, k-superpositifs, ou k-rupture d'enchevêtrement. En corollaire, nous réprouvons le théorème de Lindblad, Gorini, Kossakowski et Sudarshan. Nous présentons quelques exemples concrets de semigroupes d'opérateurs et étudions comment leurs propriétés de positivité peuvent s'améliorer avec le temps.
Base d'erreur, canal quantique, semigroupe de divers opérateurs positifs Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous discutons des notions existantes de différentes positivités d'une application linéaire entre des algèbres de matrices, par exemple la k-positivité, la positivité complète ou le canal quantique, la k-superpositivité, etc., l'idée d'un état quantique séparable et intriqué, la base d'erreur unitaire quantique et leurs constructions, etc. Comme ces différentes applications positives forment des cônes convexes fermés, nous discutons en détail de la relation entre les différents cônes positifs et leurs duals. Nous parlons aussi brièvement des interprétations physiques de ces objets mathématiques du point de vue de l'information quantique et de la dynamique d'un système quantique ouvert.Dans les deux derniers chapitres, nous présentons nos résultats sur le sujet. Nous essayons de caractériser différentes applications positives en utilisant une base appropriée de l'espace des applications linéaires entre les algèbres de matrices. Les opérateurs de Weyl donnent une base pratique de l'algèbre des matrices qui est également orthonormée par rapport au produit scalaire de Hilbert-Schmidt.Les propriétés d'une telle base peuvent être généralisées à la notion de "nice error basis" (NEB), telle qu'introduite par E. Knill. Nous pouvons utiliser une NEB de l'algèbre des matrices pour construire une NEB pour l'espace des applications linéaires entre algèbres de matrices. Toute application linéaire correspondra alors à une matrice de coefficient dans la décomposition de la base par rapport à cette base. La positivité, la (co)positivité complète ou d'autres propriétés d'une application linéaire peuvent être caractérisées en termes de cette matrice de coefficients. Enfin, nous caractériserons le semigroupe à un paramètre de différentes applications positives en fonction de ses générateurs. Nous prouvons une correspondance de type Schoenberg pour les semigroupes non-unitaires qui généralise un résultat analogue pour les semigroupes unitaires prouvé par Michael Schürmann. Elle caractérise les générateurs des semigroupes de applications linéaires sur l'algèbre des matrices qui sont k-positifs, k-superpositifs, ou k-rupture d'enchevêtrement. En corollaire, nous réprouvons le théorème de Lindblad, Gorini, Kossakowski et Sudarshan. Nous présentons quelques exemples concrets de semigroupes d'opérateurs et étudions comment leurs propriétés de positivité peuvent s'améliorer avec le temps.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Codes Polaires Quantiques Dans la théorie de l'information classique, les codes polaires sont la première construction explicite d'une famille de codes correcteurs d’erreurs qui atteignent la capacité de n'importe quel canal classique, discret sans mémoire. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux généralisations des codes polaires au cas des canaux quantiques. Nous commençons par passer en revue une construction de type Calderbank-Shor-Steane (CSS) des codes polaires pour les canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension 2 (qubits). Cette construction exploite le phénomène de polarisation classique à la fois en base de phase et en base d’amplitude. Nous proposons ensuite une approche différente, qui s’intéresse à un phénomène de polarisation quantique. Ainsi, le premier théorème important de cette thèse prouve une « polarisation purement quantique » des canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension supérieure ou égale à 2 (qudits). Ce phénomène de polarisation permet de synthétiser des canaux dits « virtuels », qui ont tendance à être soit complètement débruités, soit complètement bruités, en tant que canaux quantiques, et pas seulement en une base. Il utilise une opération dite de « combinaison » de deux canaux quantiques, définie par une opération à deux qudits, opérant sur les entrées des deux canaux, et choisie de manière aléatoire dans un ensemble fini d’opérations. Profitant de ce phénomène de polarisation, nous construisons un code quantique efficace assisté par enchevêtrement, où les canaux complètement bruités sont figés en prenant en entrée la moitié d'une paire EPR pré-partagée entre l'encodeur et le décodeur. Nous montrons que la construction proposée permet d’atteindre un taux de communication d’information quantique égal à la capacité symétrique du canal quantique pour communication assistée par enchevêtrement. De plus, en enchaînant plusieurs codes polaires quantiques, nous proposons un schéma de codage qui utilise les paires EPR pré-partagées comme catalyseur, de sorte que le taux d'enchevêtrement pré-partagé s'annule asymptotiquement.Par la suite, nous nous concentrons sur une importante famille de canaux quantiques appelés canaux de Pauli, opérant sur des qubits. Etant donné un canal Pauli, nous lui associons un canal classique à alphabet quaternaire, et nous montrons que le premier se polarise quantiquement si et seulement si ce dernier se polarise classiquement. Sur la base du canal classique associé, nous fournissons une preuve alternative de la polarisation quantique pour les canaux de Pauli. De manière plus importante, nous fournissons également un moyen efficace de décoder les canaux de Pauli, en décodant le code polaire sur le canal classique associé. Nous considérons également une polarisation multiniveau des canaux de Pauli, où la polarisation se produit à plusieurs niveaux, de sorte que les canaux virtuels synthétisés peuvent également être « semi-bruités », au lieu d'être complètement débruités ou complètement bruités. Cette construction n'utilise pas la randomisation de l'opération de combinaison de canaux. Nous montrons ensuite que les canaux semi-bruités peuvent être figés soit en base de phase, soit en base d’amplitude. Par conséquent, la polarisation à plusieurs niveaux peut être utilisée efficacement pour construire un schéma de codage quantique.Enfin, nous exposons nos travaux en cours sur les codes polaires quantiques CSS, dans le contexte du calcul quantique tolérant aux fautes. Nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour la préparation d’états quantiques logiques et pour l'extraction du syndrome d'erreur. Ainsi, nous pouvons protéger un état logique pendant un temps arbitrairement long, dans la limite d’un bruit suffisamment faible. De plus, pour le traitement de l'information quantique, nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour mettre en œuvre les portes logiques de Pauli, Hadamard et CNOT.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.