2006 г. март -апрель т. 61, вып. 2 (368) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 519.248.3Мультипликативность p-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации А. С. Холево Проблема аддитивности -одна из наиболее глубоких математических проблем квантовой теории информации.С аналитической точки зрения она тесно связана с вопросом о мультипликативности, относительно тензорных произведений, норм отображений в
Мультипликативность p-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации
2006 г. март -апрель т. 61, вып. 2 (368) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 519.248.3Мультипликативность p-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации А. С. Холево Проблема аддитивности -одна из наиболее глубоких математических проблем квантовой теории информации.С аналитической точки зрения она тесно связана с вопросом о мультипликативности, относительно тензорных произведений, норм отображений в
Проблема параллельных миров – одна из самых спекулятивных и дискуссионных в современной науке, фило- софии и средствах массовой информации. Данной проблемой занимались мыслители Древности и Средневековья, классическая физика Нового времени и ХХ в., современная неклассическая физика. Рассматривается физическая теория П. Эренфеста, внесшая наибольший вклад в решение данной проблемы для N-мерных евклидовых пространств. Делается обзор других подобных теорий, не имеющих пока экспериментального подтверждения. В заключении выражается сожаление о том, что современная наука часто забывает о своих основаниях в угоду новому знанию. Статья содержит мнение автора и носит дискуссионный характер.
ПРОБЛЕМА ЛОКАЛЬНОСТИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИОбсуждается проблема локальности в релятивистской и нерелятивистской квантовой теории.Показано, что существует такая формулировка квантовой теории, которая, с одной стороны, сохраняет математический аппарат стандартной квантовой механики, с другой стороны, обеспечивает выполнение условия локальности для каждого индивидуального события, включая и процедуру измерения.В качестве примера рассмотрено рассеяние на двух щелях.
Дается обзор двух замечательных аналитических проблем квантовой теории информации. Основную часть составляет подробное изложение недавнего (частичного) решения квантовой проблемы гауссовских оптимизаторов, которое устанавливает оптимальное свойство глауберовских когерентных состояний - специального случая чистых квантовых гауссовских состояний. Мы развиваем понятие квантового гауссовского канала как некоммутативного аналога интегрального оператора с гауссовским ядром и доказываем, что когерентные состояния, и при определенных условиях только они, минимизируют широкий класс вогнутых функционалов от выходного состояния гауссовского канала. Таким образом, выходные состояния, соответствующие гауссовскому входу, являются "наименее хаотичными", мажорируя все другие выходные состояния. Решение, однако, существенно ограничено калибровочно-инвариантным случаем, в котором особую роль играет выделенная комплексная структура. Мы также обсуждаем известную гипотезу аддитивности, которая была в принципе решена в отрицательном смысле около пяти лет назад. Эта гипотеза относится к свойствам аддитивности или мультипликативности (относительно тензорных произведений каналов) информационных величин, связанных с классической пропускной способностью квантового канала, таких как (1→p)-нормы канала или минимальные выходные энтропии фон Неймана и Реньи. Замечательное следствие настоящего решения квантовой проблемы гауссовских оптимизаторов заключается в том, что эти свойства аддитивности, не справедливые в общем случае, выполняются в важном и интересном классе калибровочно-ковариантных гауссовских каналов. Библиография: 65 названий.
МОДЕЛИ p-АДИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В рамках стандартных моделей классической и квантовой механики выделяется подкласс ультраметрических (p-адических) систем.Показано, что ультраметрические модели описываются на языке стандартных моделей, но при этом обладают рядом отличительных свойств.В частности, показано, что для классических ультраметрических динамических систем справедлива усиленная теорема Пуанкаре о числе возвращений.В качестве примера квантовой p-адической системы рассматривается алгебра коммутационных соотношений одномерной квантовой механики.Показано, что, как и в вещественном случае, эта алгебра изоморфна алгебре компактных операторов.
Проблема измерений для квантовой монетки Адамара в серии из произвольного числа n измерений с повторяющейся последовательностью состояний в последних измерениях сформулирована в терминах последовательности чисел Фибоначчи для дуплетных состояний, чисел три-боначчи для триплетных состояний и чисел N-боначчи для N-плетных состояний. Найдены вероятности для произвольного положения повторяющихся состояний, выражающиеся в числах Лукаса и Фибоначчи. Для кубитной монетки общего вида соответствующие выражения являются полиномами Фибоначчи и, в более общем случае, полиномомами N-боначчи от кубитных вероятностей. Выведены производящие функции вероятностей, золотое сечение как предел этих вероятностей и энтропия Шеннона для соответствующих состояний. С использованием обобщенного правила Борна и универсальности n-кубитного измерительного вентиля задача сформулирована для общих n-кубитных состояний; построены проекторы в гильбертовом пространстве этих состояний, ограниченных на дерево Фибоначчи для квантовых состояний. Полученные результаты обобщаются на случаи кутритной и кудитной монеток, описываемых обобщенными последовательностями чисел Фибоначчи и N-боначчи.
XIOTT МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИНЦИПА ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Современная физика выросла в рамках двух великих теорий -теории относи- тельности и квантовой теории, возникновение которых означало глубокий перелом в развитии физики.Возможности этих теорий еще не исчерпаны и развитие их про- должается.Однако учащаются намеки на близость нового перелома в фундаментальных физических представлениях.Будущая физика, как думают многие, должна настолько же отличаться от современной, KaK 3Ta последняя отличается от класси- ческой.` В таких условиях особенно важное значение приобретает правильная методол- гическая оценка наиболее общих принципов современной физики.Недавно на расши- ренном заседании Президиума Академии наук СССР также подчеркивалась важность исследования методологических проблем как в естественных, так и в общественных Haykax ['].-Одна из важнейших методологических проблем в физике связана с принципом дополнительности.Советские философы до сих пор не пришли к единой точке зрения по поводу этого принципа.В посвященной ему обширной литературе можно найти следующие три основных, значительно отличающихся друг от друга взгляда на его сущность.I. Принцип дополнительности есть порождение позитивистской, субъективно-идеалистической философии и поэтому ему не место ни в физике, ни в философии.Этой точки зрения придерживаются, например, В. Т. Макаров, И. К. Григоринс, А. В. Шугайлин (2-4} и другие.Из зарубежных авторов представителем этого мнения является философ из Германской Демократической Республики Х. Корх {5 ` 2. Принцип дополнительности является чисто Ффизическим принципом, действен- ным лишь в качестве «лесов» при построении теории и не допускающим философского ебобщения, совместимого с материалистической диалектикой.Эту точку зрения под- робно обосновывает московский философ А. Познер [s].| 3. Принцип дополнительности, будучи в своей первооснове физическим принци- пом, допускает ведущее за пределы физики обобщение, так что его можно трактовать как философский методологический принцип.Эту точку зрения защищает у нас главным образом академик В. А. Фок [.М. Э. Омельяновский также оценил дополни- тельность как «шаг к диалектике» [#].Из зарубежных философов этой точки зре-.ния придерживается Г. Гёрц [?].ВЕ Конечно, в пределах каждой из этих трех точек зрения существуют свои оттечки.Можно сказать, что едва ли взгляды двух авторов, представляющих одну и ту же точку: зрения, полностью совпадают по всем пунктам.г Целью автора настоящей