Хвильова функція електрона в магнітному полі має властивості як дискретного, так і неперервного спектрів. Це призводить до появи нефізичних довжин нормування у ймовірностях процесів, розрахованих за теорією розсіяння. В даній роботі розглянуто граничний перехід до випадку слабкого поля, коли вплив магнітного поля на рух електрона нескінченно малий. Показано, що в малій області простору хвильова функція переходить в суперпозицію біжучих хвиль, нормованих на половину довжину ларморівської орбіти.
Хвильова функція електрона в магнітному полі має властивості як дискретного, так і неперервного спектрів. Це призводить до появи нефізичних довжин нормування у ймовірностях процесів, розрахованих за теорією розсіяння. В даній роботі розглянуто граничний перехід до випадку слабкого поля, коли вплив магнітного поля на рух електрона нескінченно малий. Показано, що в малій області простору хвильова функція переходить в суперпозицію біжучих хвиль, нормованих на половину довжину ларморівської орбіти.
Розв’язується квантово-механічна задача про рух електрона в зовнішніх однорідних схрещених електричному та магнітному полях. Шляхом розв’язання рівняння Шредінгера знайдено вираз для хвильової функції електрона, що рухається в такій суперпозиції електромагнітних полів. Частина хвильової функції електрона, що описує його рух у площині, перпендикулярній до напрямку магнітного поля, виражається через відомі функції Ерміта. У напрямку магнітного поля електрон здійснює вільний рух. Крім того, в схрещених електричному та магнітному полях виникає дрейфовий рух електрона вздовж осі, нормальній до площини, утвореної векторами електричного та магнітного полів. Знайдено спектр можливих значень енергії електрона, який складається з чотирьох частин: квантованого спектра енергій у площині, перпендикулярній до магнітного поля, неперервного спектра енергій вздовж магнітного поля, енергії дрейфового руху, що визначається напруженостями електричного та магнітного полів, та потенціальної енергії електрона в зовнішньому електричному полі.
Властивості матеріалів пов'язуються зі збудженням нелінійних локалізованих коливань у ґратах, які впливають на динаміку частинок у ній. У роботі поставлено та проаналізовано задачу руйнування хвильового пакету частинки. Розглянуто параболічний потенціал, який як ціле схильний до стохастичного впливу випадкового процесу дробового шуму, і динаміку хвильової функції частинки в ньому. На основі знайдених рішень нестаціонарного рівняння Шредінгера розглянуто часову еволюцію хвильової функції. Сформульовано задачу руйнування хвильового пакета частинки, що реалізується під час виконання умови досягнення дисперсії пакета заданого розміру. Подібна постановка виникає у завданнях, коли обурення є траєкторією одновимірного або двовимірного процесу, що моделює зміни потенціалу під час руху частинки, зокрема під час руху електрона вздовж кристалічної осі. У цьому разі роль часу в задачі грає функція обурення, що описує вимушені коливання кристалічних ґрат. Розглянуто часову еволюцію частинки, що перебуває в основному стані, з вихідною хвильовою функцією у потенціалі, що включає квадратично-інтегровану функцію – стохастичний процес дробового шуму з нульовим математичним очікуванням і дисперсією. На основі рішення, у якому використано дробовий шум, наведено у вигляді профілів щільності частинки. Розглянуто задачу про час життя хвильового пакета, який обурений стохастичним процесом дробового шуму та руйнується за умови, що його дисперсія досягла заданого розміру і частка вибуває з розгляду (гине). Через стохастичність процесу, що обурює, часовий інтервал до руйнування також виявиться випадковим. Отримано аналітичний вираз для густини розподілу випадкової величини – часу життя.
У даній роботі запропонована можливість застосування інтегральних рівнянь, відповідних рівнянню Шредінгера, до знаходження радіальної складової хвильової функції квантової системи двох частинок та допустимих значень головного квантового числа системи. Актуальність роботи обумовлена необхідністю доповнення методики викладення такої важливої ключової задачі квантової механіки, як квантова теорія атома водню, яке полягає в розширенні сукупності методів знаходження розв’язків рівняння Шредінгера для атома водню та їх систематизації, що буде сприяти кращому розумінню даної теми. Запропонована послідовність викладення матеріалу враховує останні тенденції розвитку методів пошуку розв’язків стаціонарного рівняння Шредінгера в аналітичному вигляді, демонструє можливість знаходження енергетичного спектру квантової системи частинок за допомогою інтегральних рівнянь. Формулювання проблеми. Квантова теорія атома водню у підручниках та навчальних посібниках з фізики найчастіше викладають, спираючись на одночастинкове рівняння Шредінгера для електрону, переходячи до системи відліку пов’язаної з ядром атому, нехтуючи рухом ядра, або частину матеріалу викладають при розгляді руху електрону в центральному силовому полі. Для узагальнення методики викладання, краще одразу розглядати квантову систему двох частинок: електрону і ядра атома водню. Матеріали і методи. Головними методами вирішення поставленої проблеми є: засоби пошуку розв’язків звичайних, лінійних, диференціальних рівнянь у частинних похідних, теорія багатовимірних інтегральних рівнянь та теорія функцій Гріна. Результати. З’ясовано, що радіальні складові хвильових функцій атома водню, що визначають енергетичний спектр, можна отримувати без переходу до сферичної системи, що спрощує викладення матеріалу теми. Запропоновано узагальнення послідовності викладення матеріалу по квантовій теорії атома водню. Висновки. Запропоноване узагальнення методики знаходження розв’язків рівняння Шредінгера для атома водню дозволяє підсилити повноту викладення матеріалу теми «Квантова механіка», підвищує ступінь доказовості викладення матеріалу та сприяє його розумінню.
Об’єктом дослідження є сучасні квантовостійкі криптоалгоритми, які мають забезпечувати безпеку даних у комунікаційних каналах в умовах зростаючої загрози з боку квантових комп'ютерів, так як для них наразі не існує ефективних алгоритмів криптоаналізу, оскільки вони базуються на інших математичних проблемах ніж ті, що експлуатуються у поточний час. У статті зроблено огляд алгоритмів, які було подано на участь в процесі сертифікації від організації NIST, розподіллено за типами криптографічних схем, наведено відомості про те, на яких математичних задачах вони ґрунтуються, складність розв'язання цих задач, переваги та недоліки. Метою роботи є порівняння постквантових криптографічних систем та їх аналіз. В роботі розглянуті та проаналізовані основні принципи застосування різних видів криптографії, яка є стійкою до атак з використанням як звичайних, так і квантових комп'ютерів та технологій. Оглянуто наступні криптографічні типи: криптографію на основі ґраток, мультиваріативну криптографію, криптографію на основі хеш-функцій, криптографію на основі кодів коригування помилок та криптографію на основі ізогенії; що дозволяє зробити висновок про те, який з підходів до криптографії є кращим дляобрання в конкретній ситуації. Результатом є порівняльний аналіз алгоритмів за обраними критеріями та формування списку алгоритмів, які є прийнятними для використання у «пост квантову добу», коли звичайні алгоритми вже не зможуть забезпечувати конфіденційність, за умови відсутності специфічних вимог щодо їх роботи (таких як розмір відкритого та закритого ключів/швидкодія алгоритмів). Бібл. 21, табл. 2
В цій роботі розглянуто поняття корпускулярно-хвильового дуалізму – фундаментальної концепції квантової механіки, яка продовжує залишатися загадкою для людського розуміння. Експерименти, описані в тексті, показують, що на мікроскопічному рівні об’єкти можуть демонструвати властивості як хвиль, так і частинок, залежно від умов спостереження.
У статті наведено деякі показові результати, пов’язані з явищем відгуку ультрахолодних квантових газів у стані з бозе-ейнштейнівським конденсатом. Показано, що на основі загального теоретичного підходу, запропонованого авторами, можна послідовно описати уповільнення сигналів не лише оптичного, а й мікрохвильового діапазонів до надзвичайно низьких показників групової швидкості. Явище сильного уповільнення електромагнітних хвиль може бути використане для детектування магнітних полів з високою точністю, дуже якісної фільтрації сигналів та більш детального вивчення особливостей енергетичного спектра атомів. Як іще один яскравий приклад можливого «курйозного» застосування проаналізовано принципову можливість прискорення релятивістських частинок ультрахолодними газами за наявності інверсної заселеності квантових станів.