Die vorliegende Arbeit befaßt sich vor dem Hintergrund der AdS/CFT-Korrespondenz mit Defekten beziehungsweise Rändern in der Quantenfeldtheorie.Wir untersuchen die Wechselwirkungen von Fermionen mit auf diesen Defekten lokalisierten Spins.Dazu wird eine Methode weiterentwickelt, die die kanonische Quantisierungsvorschrift um Reflexions-und Transmissionsterme ergänzt und für Bosonen in zwei Raum-Zeit-Dimensionen bereits Anwendung fand.Wir erörtern die Möglichkeiten derartiger Reflexions-Transmissions-Algebren in zwei, drei und vier Dimensionen.Wir vergleichen mit Modellen aus der Festkörpertheorie und der Beschreibung des Kondo-Effektes mithilfe konformer Feldtheorie. Wir diskutieren ferner Ansätze der Erweiterung auf Gitterstrukturen.Dans la boucle de l'hirondelle un orage s'informe, un jardin se construit.(In der Schleife des Schwalbenflugs fügt sich Gewitter, gestalten sich Gärten.)
Die vorliegende Arbeit befaßt sich vor dem Hintergrund der AdS/CFT-Korrespondenz mit Defekten beziehungsweise Rändern in der Quantenfeldtheorie.Wir untersuchen die Wechselwirkungen von Fermionen mit auf diesen Defekten lokalisierten Spins.Dazu wird eine Methode weiterentwickelt, die die kanonische Quantisierungsvorschrift um Reflexions-und Transmissionsterme ergänzt und für Bosonen in zwei Raum-Zeit-Dimensionen bereits Anwendung fand.Wir erörtern die Möglichkeiten derartiger Reflexions-Transmissions-Algebren in zwei, drei und vier Dimensionen.Wir vergleichen mit Modellen aus der Festkörpertheorie und der Beschreibung des Kondo-Effektes mithilfe konformer Feldtheorie. Wir diskutieren ferner Ansätze der Erweiterung auf Gitterstrukturen.Dans la boucle de l'hirondelle un orage s'informe, un jardin se construit.(In der Schleife des Schwalbenflugs fügt sich Gewitter, gestalten sich Gärten.)
Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.
Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten.
Die Quanteninformationstheorie hat sich traditionell auf Zweiniveausysteme (Qubits) konzentriert, obwohl zahlreiche experimentelle Plattformen – darunter photonische Modi, gefangene Ionen und supraleitende Schaltkreise – von Natur aus höherdimensionale Qudits realisieren. Diese Arbeit entwickelt drei komplementäre Ansätze zu einer dimensionsbewussten Erweiterung der Quanteninformationstheorie, die den operativen Kern bewahrt und zugleich die strukturelle Komplexität von Systemen mit höherer lokaler Dimension berücksichtigt. Im ersten Teil werden dimensionsabhängige Quasi-Monogamie-Relationen für Korrelationsmaße in der Bloch Darstellung hergeleitet. Parallel dazu werden neue Tsallis-2-Entropie-Ungleichungen mit explizit dimensionsabhängingen Parametern formuliert, darunter eine verallgemeinerte Form der strikten Subadditivität. Diese Ergebnisse verdeutlichen, wie sich Geometrie und Entropie quantenmechanischer Korrelationen mit wachsender Dimension verändern, und bieten eine Verallgemeinerung qubitspezifischer Relationen wie der Coffman–Kundu–Wootters-Ungleichung. Der zweite Teil führt Finite-Function-Encoding (FFE)-Zustände ein, welche die phasenkodierte logische Struktur von Qubit-Hypergraph-Zuständen auf beliebige d-stufige Systeme verallgemeinern. Innerhalb dieses Rahmens wird die polynomiale Unterklasse über Tensor-Kanten-Hypergraphen beschrieben, und für allgemeine FFE-Zustände wird ein Stabilisatorformalismus entwickelt. Die Analyse der lokalen Äquivalenz unter unitären und endlichen Funktions-Pauli-Transformationen führt zu einer vollständigen Klassifikation bipartiter FFE-Zustände für lokale Dimensionen drei und vier und zeigt strukturelle Verbindungen zur Klassifikation komplexer Hadamard-Matrizen auf. Im dritten Teil wird ein zweistufiges Verfahren zur quditbasierten Schaltkreiskompression vorgestellt. In der ersten Stufe werden mehrere Qubits mittels schnittminimierender Graphpartitionierung zu Qudits zusammengefasst; in der zweiten Stufe werden eingebettete Zwei-qubit-Gatter durch native Zwei-qudit-Operationen ersetzt. Es werden obere und untere Schranken für die erreichbare Reduktion des nichtlokalen Gatteraufwands hergeleitet und Fälle identifiziert, in denen diese Schranken saturiert werden. Insgesamt entsteht so ein kohärenter Rahmen zur Übertragung qubitbasierter Paradigmen auf höherdimensionale Architekturen, der sowohl theoretische Einsichten als auch praktische Vorteile für Quantenhardware mit kohärenter Mehrniveausteuerung bietet.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich uberwiegend mit Quanten-Systemen, die zwei (auch qubit genannt) oder im allgemeinsten Fall d Freiheitsgrade (auch qudit genannt) aufweisen. Insbesondere werden die Eigenschaften zusammengesetzter Quanten-Systeme bezuglich Separabilitat beziehungsweise Verschrankung auf geometrische Weise dargestellt. Beruhend auf ahnlichen, bereits bekannten
Uberlegungen fur zwei Qubit oder zwei Qudit Systeme, werden mogliche Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse fur Vielteilchensysteme prasentiert. Des Weiteren wird das Verhalten dieser Vielteilchensysteme bezuglich der gangigsten Separabilit
atskriterien, wie z.B. des Peres-Horodecki Kriteriums, des Realignment Kriteriums, der Destillation von Verschrankung und Verschrankungsmasen, sowohl numerisch als auch analytisch betrachtet.
Es wird im Einzelnen gezeigt wie, in Anlehnung an den zwei Qubit Simplex, ein n-Teilchen Simplex bestehend aus Qubit Zustanden konstruiert werden kann und warum alle Zustande in diesem Simplex 'bound-entangled' sind. Dieses Ergebnis
wurde bereits in Physical Review A 78, 042327 (2008) publiziert.
Auserdem werden zwei verschiedene Konstruktionen eines n-Teilchen Wk-Simplex
vorgestellt, die beide fur den n = 2 Fall mit dem bekannten 'Magic Tetrahedron' ubereinstimmen. Fur den speziellen Fall des drei Teilchen Wk-Simplex (W-Zustand Simplex) werden bestimmte Symmetrien der jeweiligen Quanten Systeme bezuglich
der oben erwahnten Separabilitatskriterien aufgezeigt und dementsprechend verschiedene Subklassen von Zustande eingefuhrt. Zusatzlich zu diesen Symmetrien
konnen durch diese geometrische Veranschaulichung der Zustande, d.h. durch verschiedene Schnitte dieser Simplices, die verschiedenen Kriterien prazise und leicht auf optischem Wege verglichen werden. Aus diesem Grund werden die in
dieser Arbeit beschriebenen Ergebnisse dazu beitragen sowohl zusammengesetzte Quanten-Systeme als auch das damit verbundene faszinierende Phanomen der Verschr
ankung, welches die Grundlage fur zukunftige Technologien, wie etwa Quantenkryptography, Quantenkommunikation oder moglicherweise Quantencomputer, bilden wird, besser zu verstehen.
Quantenverschränkung hat sich als eine wertvolle Ressource für viele Aufgaben der Quanteninformationstheorie etabliert. Eine zunehmende Zahl von miteinander verschränkten Systemen sowie eine größere Anzahl verfügbarer Dimensionen bewirkt in diesem Zusammenhang eine Steigerung des Leistungsvermögens und der Effizienz. Um diese Ressource erfolgreich zu nutzen, ist es zuvorderst notwendig, einen konsistenten theoretischen Formalismus zu ent-wickeln, der die verschiedenen Arten von Verschränkung korrekt beschreibt und zwischen ihnen differenziert.\nDie vorliegende Arbeit widmet sich der Klassifikation von Verschränkung in speziellen Familien hochdimensionaler Vielteilchensysteme sowie der Detektion von Verschränkung innerhalb dieser.\nDiese Dissertation stellt die Forschungsergebnisse aus drei Projekten vor. Der erste Teil handelt von der Konstruktion eines Operators, eines sogenannten Verschränkungszeugen, der es ermöglicht Verschränkung innerhalb von Vielteilchensystemen zu detektieren. Der Hauptaspekt besteht hierbei in der Entwicklung einer Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen SLOCC-Zeugen und Verschränkungszeugen innerhalb eines erweiterten Hilbertraums. Die Form dieses Zeugen ist derart, dass er mit Hilfe eines Zustandes innerhalb der zu detektierenden SLOCC-Klasse und dem maximalen Überlapp dessen mit Zuständen einer inäquivalenten SLOCC-Klasse konstruiert werden kann.\nDas zweite Projekt basiert auf der Erweiterung einer speziellen Familie von Vielteilchenzuständen, den Qubit-Hypergraphzuständen. Sie werden auf beliebige Dimensionen verallgemeinert und als Qudit-Hypergraphen definiert. Diese Zustände werden hinsichtlich SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen untersucht und Methoden entwickelt um zwischen diesen zu unterscheiden. Interessanterweise konnte hier eine enge Verbindung zum Feld der Zahlentheorie festgestellt werden. Für tripartite Systeme in den Dimensionen drei und vier wird eine vollständige Klassifizierung unter SLOCC und LU angegeben. In den folgenden Abschnitten werden Regeln für die lokale Komplementation für Graphenzustände in nicht notwendigerweise Primzahl-Dimensionen entwickelt. Den Abschluss dieses Themas bildet eine Erweiterung der Qudit Hypergraphenzustände hin zu sogenannten gewichteten Hypergraphzuständen. Für spezielle Fälle davon werden SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen determiniert. \nDer dritte und letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Art Mehr-levelverschränkung sinnvoll definiert werden kann. Die Motivation dazu resultiert aus der Tatsache, dass es Zustände gibt, die als maximal verschränkt hinsichtlich ihrer Dimension gelten, aber trotzdem durch Systeme niedrigerer Dimension generiert werden können. Basierend darauf werden drei inäquivalente Klassen von Mehrlevelverschränkung definiert: 1) Zerlegbare Zustände (DEC), deren Korrelationen vollständig durch niedriger-dimensionale Systeme reproduziert werden können, 2) Echt mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (GMME), für deren Produktion man Kontrolle über Systeme der entsprechenden Dimension haben muss, 3) Mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (MME), die zerlegbar bezüglich einer bestimmten Bipartition sind.\nNach den grundlegenden Definitionen werden Beispiele für jede der drei Klassen diskutiert und Methoden entwickelt, die zwischen den Klassen unterscheiden können. Im bipartiten Fall, sowie für die Unterscheidung zwischen GMME und MME, kann die Frage der Klassenzugehörigkeit analytisch beantwortet werden. Die Differenzierung hinsichtlich MME und DEC basiert weitgehend auf numerischen Methoden, wobei auch ein analytisches Kriterium existiert, das notwendig, aber nicht hinreichend ist.
Abgesehen davon, dass Subfaktoren ein interessantes mathematisches Gebiet für sich darstellen, haben sie auch die Aufmerksamkeit von Physikern erregt, da vermutet wird, dass es einen Zusammenhang zwischen Subfaktoren und konformen Feldtheorien (CFT) gibt. Obwohl inzwischen eine überzeugende Menge an Hinweisen für die Gültigkeit dieser Vermutung erbracht wurde, existieren immer noch einige Lücken: Es gibt eine Reihe außergewöhnlicher Subfaktoren, für die keine entsprechende CFT bekannt ist. Daher ist es notwendig, neue Techniken für die Konstruktion einer CFT aus einem Subfaktor zu entwickeln. Hier ist es sinnvoll, die zugrunde liegende mathematische Struktur genauer zu untersuchen: Aus den sogenannten ,,even parts'' eines Subfaktors ergeben sich zwei unitäre Fusionskategorien (UFCs). Ein vielversprechender Ansatz ist, aus diesen Kategorien Quantenspinsysteme zu konstruieren und zu untersuchen, um eine Verbindung zu CFTs zu finden. Das einfachste Beispiel, das neue Techniken zur Konstruktion einer CFT erfordert, ist der Haagerup Subfaktor, da er der kleinste Subfaktor mit einem Index größer als vier ist. In dieser Arbeit untersuchen wir mithilfe von ein- und zweidimensionalen Gittermodellen die Frage, ob eine CFT existiert, die zum Haagerup Subfaktor gehört. Die erste Aufgabe hierbei besteht darin, die F-Symbole der Kategorie zu berechnen, da diese bei allen Modellen, die in dieser Arbeit untersucht werden, einen entscheidenden Bestandteil der Konstruktion darstellen. Wir betrachten die folgenden Modelle: 1. Das sogenannte ,,Golden Chain''-Modell, bei dem es sich um eine eindimensionale Spinkette handelt, deren Grundzustand Informationen (wie zum Beispiel den Wert der zentralen Ladung) über die hypothetische CFT enthält. 2. Quantenspinketten (wie die Golden Chain) mit Defekten. Die Konstruktion der Vertices, die die Kette mit Defekten bilden, liefert Einblicke in eine mögliche Konstruktion einer unitären modularen Tensorkategorie (UMTC) über die sogenannte Annulare Kategorie. 3. Das Levin-Wen Modell, welches ein zweidimensionales Gittermodell mit exakt lösbarem Hamiltonian ist, das eine topologische Quantenfeldtheorie liefert. Am interessantesten für uns ist, dass die Anregungen des Systems eine UMTC ergeben. Wir stellen fest, dass die Untersuchung der UFCs selbst keine Hinweise auf eine Haagerup CFT liefert, und schließen daraus, dass es notwendig ist, diese Untersuchung auf die entsprechende UMTC auszudehnen, die zum Beispiel über die Anregungen des Levin-Wen Modells konstruiert werden kann.