Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Simulation der phi**4-Theorie mit dem Wurm-Algorithmus, einer Simulationsmethode die sich als sehr effizient bei der Betrachtung kritischer Systeme gezeigt hat. Die Entwicklung der Theorie in die Strong-Coupling-Expansion wird beschrieben und zwei Varianten des Wurm-Algorithmus werden vorgestellt. Eine Implementierung des Algorithmus in C wird angefertigt und die Ergebnisse von Tests im Ising- und Gauß-Limes sowie in phi**4-Theorie mit endlicher Wechselwirkung werden präsentiert und mit einer konventionellen Metropolis-Simulation verglichen. Anschließend wird die Dynamik des Algorithmus ausführlich im freien sowie im wechselwirkenden Fall der Theorie in zwei, drei und vier Dimensionen untersucht. In der freien zweidimensionalen Theorie weist der Algorithmus ausgeprägtes Critical Slowing Down mit kritischen Exponenten von bis zu 1.6 auf. In drei Dimensionen liegen alle kritischen Exponenten unter 1.0, und in vier Dimensionen messen wir kritische Exponenten von bis zu 0.6. Wir präsentieren eine Heuristik, die dieses Verhalten auf lange Autokorrelationen in der Besetzung des Link-Feldes zurückführt. Unsere Messungen in der wechselwirkenden Theorie werden bei lambda=0.5 durchgeführt. Autokorrelationszeiten sind hier wesentlich kürzer als in der freien Theorie. Kritische Exponenten sind von Observable zu Observable sehr unterschiedlich, liegen aber in jedem Fall unter 0.55. In vielen Fällen wird auch ein ein logarithmischer Zusammenhang festgestellt. Ein Methode zur Schätzung der renormierten Kopplung mit dem Wurm-Algorithmus wird vorgestellt. Tests zeigen jedoch, dass sich dieser Ansatz nicht für kritische Systeme eignet.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Simulation der phi4-Theorie mit dem Wurm-Algorithmus, einer Simulationsmethode die sich als sehr effizient bei der Betrachtung kritischer Systeme gezeigt hat. Die Entwicklung der Theorie in die Strong-Coupling-Expansion wird beschrieben und zwei Varianten des Wurm-Algorithmus werden vorgestellt. Eine Implementierung des Algorithmus in C wird angefertigt und die Ergebnisse von Tests im Ising- und Gauß-Limes sowie in phi4-Theorie mit endlicher Wechselwirkung werden präsentiert und mit einer konventionellen Metropolis-Simulation verglichen. Anschließend wird die Dynamik des Algorithmus ausführlich im freien sowie im wechselwirkenden Fall der Theorie in zwei, drei und vier Dimensionen untersucht. In der freien zweidimensionalen Theorie weist der Algorithmus ausgeprägtes Critical Slowing Down mit kritischen Exponenten von bis zu 1.6 auf. In drei Dimensionen liegen alle kritischen Exponenten unter 1.0, und in vier Dimensionen messen wir kritische Exponenten von bis zu 0.6. Wir präsentieren eine Heuristik, die dieses Verhalten auf lange Autokorrelationen in der Besetzung des Link-Feldes zurückführt. Unsere Messungen in der wechselwirkenden Theorie werden bei lambda=0.5 durchgeführt. Autokorrelationszeiten sind hier wesentlich kürzer als in der freien Theorie. Kritische Exponenten sind von Observable zu Observable sehr unterschiedlich, liegen aber in jedem Fall unter 0.55. In vielen Fällen wird auch ein ein logarithmischer Zusammenhang festgestellt. Ein Methode zur Schätzung der renormierten Kopplung mit dem Wurm-Algorithmus wird vorgestellt. Tests zeigen jedoch, dass sich dieser Ansatz nicht für kritische Systeme eignet.
Jüngste experimentelle Fortschritte erlauben die Beobachtung von elektronischen Relaxationsprozessen in Festkörpern in Echtzeit. Nach der optischen Anregung eines Systems relaxiert dieses in einen Gleichgewichtszustand. Die Dynamik des Systems während des Relaxationsprozesses ist von den vorherrschenden mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen den Konstituenten des Systems abhängig. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitterschwingungen - den Phononen - ist allgegenwärtig in Festkörpern, weshalb sie einer der wichtigsten Relaxationskanäle ist. Eine analytische Beschreibung der Relaxationsdynamik ist schwierig, und nur wenige exakte Lösungen existieren, selbst für die Beschreibung von Gleichgewichtsproblemen. Prinzipiell sind numerische Methoden in der Lage, eine Lösung sowohl für Gleichgewichts- als auch für Nichtgleichgewichtssituationen zu finden. Methoden wie die exakte Diagonalisierung oder die Dichtematrix-Renormierungsgruppenmethode, die mit Wellenfunktionen arbeiten, skalieren jedoch ungünstig mit der Dimension des lokalen Hilbertraumes. Dies ist besonders problematisch bei der Studie von Elektron-Phonon gekoppelten Systemen, bei der im allgemeinen besonders große lokale Basen benötigt werden. Für Grundzustandsprobleme gibt es zwei unabhängige Vorgehensweisen, um dem entgegenzuwirken: die Ein-Gitterplatz Dichtematrix Renormierungsgruppenmethode, die linear in der lokalen Dimension skaliert, sowie die Implementierung eines Schemas, das die Dimension der lokalen Basis verringert, indem es im Eigenraum der lokalen reduzierten Dichtematrix trunkiert was auf sogenannte optimale Moden führt. In dieser Dissertation kombinieren wir diese Strategien zu einer Methode, die linear in der Dimension der optimierten lokalen Basis anstelle der vollen lokalen Dimension skaliert. Wir demonstrieren das verbesserte Skalierungsverhalten der Methode anhand des Holstein-Polaron und des halb gefüllten Hubbard-Holstein Modells. Zudem beschreiben wir die Implementierung einer optimalen Phononbasis in den Time-Evolving Block Decimation Algorithmus, um das Skalierungsverhalten dieser Methode mit der lokalen Dimension zu verbessern. Für die Simulation des Polaron-Problems auf einer unendlich langen Kette hat sich die Krylovraum Zeitentwicklung in einem limitierten funktionalen Raum, als effizient herausgestellt. Wir adaptieren diese Methode für periodische Randbedingungen und endliche Systemgröße. Außerdem betrachten wir die Eigenschaften der lokalen reduzierten Dichtematrix als Funktion der Modellparameter und in Nichtgleichgewichtssituationen in drei Modellen: dem Bose-Bose Resonanz-Modell, dem Holstein Modell und dem Hubbard-Holstein Modell. Für fermionische und Spin-Modelle weiß man, dass die lokale von Neumann Entropie ein Indikator für Phasenübergänge ist. Für das Bose-Bose Resonanzmodell finden wir, dass die beiden Größen, lokale von Neumann Entropie und Eigenzustände der lokalen Dichtematrix, besondere Eigenschaften an Phasenübergängen zeigen. Wir finden außerdem, dass die Struktur der optimalen Moden sich als Funktion der Zeit in der Nichtgleichgewichtsdynamik ändert. Desweiteren beschäftigen wir uns mit der Relaxationsdynamik eines einzigen Elektrons gekoppelt an Holstein-Phononen. Im adiabatischen Fall finden wir einen Netto-Energiefluss von dem Elektron zu den Phononen und wir leiten einen analytischen Ausdruck für die Relaxationszeit des Elektrons im schwach wechselwirkenden, adiabatischen Fall her. Ein weiteres Hauptthema dieser Dissertation ist die Thermalisierung in geschlossenen Quanten- Vielteilchensystemen. Unser erstes Beispiel ist der Zerfall der Néel Ordnung unter Zeitentwicklung im eindimensionalen Fermi-Hubbard Hamiltonian. Wir finden, dass die Relaxation spin-verwandter Observablen von Spin-Anregungen kontrolliert werden und dass die Doppelbesetzung nicht im Sinne der Eigenzustands-Thermalisierungs-Hypothese thermalisiert, da das System nicht ergodisch ist. Als zweites Beispiel behandeln wir Vielteilchenlokalisierung in einem eindimensionalen System von attraktiv wechselwirkenden Fermionen, das im Grundzustandsphasendiagramm auch mit Unordnung eine delokalisierte Phase zeigt. Wir untersuchen diesen Phasenübergang mit modernen Hilfsmitteln, die auf den Verschränkungseigenschaften und der Existenz von Quasiteilchen in lokalisierten Phasen beruhen.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
In dieser Arbeit werden Ergebnisse für die Ein-Loch-Dynamik im t-J Modell vorgestellt. Diese Resultate konnten durch einen neuen Quanten Monte Carlo Algorithmus erzielt werden, der die Einteilchen-Greensfunktion in imaginärer Zeit bei halber Füllung berechnet. Die Greensfunktion wird benutzt um einerseits Quasiteilchendispersion und -gewicht direkt zu berechnen, andererseits kann mit Hilfe der Maximum Entropy-Methode die komplette Spektralfunktion berechnet werden. Es wurden Simulationen für das t-J Modell in einer und zwei Dimensionen, sowie in Doppel- und Dreifachleitern durchgeführt. In einer Dimension zeigt sich, dass die Ergebnisse mit einem einfachen Spin-Ladungstrennungs-Ansatz übereinstimmen, wobei das Minimum der Dispersion bei k=pi/2 liegt. Am supersymmetrischen Punkt J/t=2 beobachtet man ein verschwindendes Quasiteilchengewicht, was mit analytischen Rechnungen übereinstimmt. Die in zwei Dimensionen gefundene Dispersion stimmt mit Vorhersagen aus selbstkonsistenter Born-Näherung und Reihenentwicklung überein. Man beobachtet flache Bänder bei k=(pi,0) und ein Minimum bei k=(pi/2,pi/2). Das Quasiteilchengewicht im thermodynamischen Limes ist endlich. Die beiden Leitersysteme zeigen ein deutlich anderes Verhalten. Es ist bekannt, dass die Doppelleiter einen Spingap hat, während die Dreifachleiter gaplosee Spinanregungen besitzt. Die Dispersion der Doppelleiter bis hin zum isotropen Fall lässt sich analytisch gut verstehen, wenn man vom Limes starker Kopplung entlang der Sprossen ausgeht. Weiter beobachtet man ein großes Quasiteilchengewicht. Der Limes starker Kopplung in der Dreifachleiter führt zu einem effektiven Modell, das zur eindimensionalen t-J-Kette äquivalent ist. Falls die Kopplung zwischen den Ketten weit stärker als entlang der Leiter ist, so sind unsere Ergebnisse mit diesem effektiven Modell konsistent. Bei J/t=2 zeigen unsere Daten ein Verschwinden des Quasiteilchengewichts im thermodynamischen Limes.
Die Numerische-Renormierungsgruppe (NRG) hat sich zu einem Standardwerkzeug zur Simulation von Quantenstörtstellensystemen bei tiefen Temperaturen entwickelt. Für solche Simulationen sind drei Schritte notwendig: das Bad wird logarithmisch diskretisiert, auf eine Wilson Kette abgebildet und diese wird iterativ diagonalisiert. Für die NRG existieren zahlreiche Erweiterungen, von denen zwei für diese Arbeit relevant sind: zum einen die Behandlung bosonischer Systeme und zum anderen die Untersuchung von zeitabhängingen Prozessen. Wir stellen fest, dass die bosonische NRG falsche kritische Exponenten für den Phasenübergang des Spin-Bose-Modells (SBM) liefert und dass bei Nicht-Gleichgewichtsrechnungen Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen eines kontinuierlichen und eines diskretisierten Bades bestehen. Durch die iterative Diagonalisierung der Wilson-Kette wird auf jeder Iterationsstufe eine Restkette vernachlässigt. Bei bosonischen Systemen führt dies zu einer iterationsabhängigen Renormierung der kritischen Kopplung. Anhand des Spin-Bose-Modells im sub-ohmischen Regime zeigen wir, dass dieser Effekt zu falschen kritischen Exponenten führt. Mit Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) Rechnungen zeigen wir, dass man, unter Berücksichtigung der Restkette, die korrekten kritischen Exponenten bestimmen kann. Dies setzt eine optimierte bosonische Basis voraus, die wir während der DMRG variationell bestimmen. Anhand von Nicht-Gleichgewichtsberechnungen für das Resonant-Level-Model (RLM) zeigen wir, dass die logarithmische Baddiskretisierung zu unphysikalischen Ergebnissen der Störstellenbesetzung führt. Die Ursache hierfür führen wir auf interne Reflektionen einer Ladungswelle in der Wilson-Kette zurück. Um diese zu vermeiden, schlagen wir einen optimierten aus zwei aneinandergehängten Wilson-Ketten Kettenaufbau vor. Da es bei diesen Systemen keine klare Trennung der Energieskalen mehr gibt, ist die NRG nicht für die Berechnung solcher Systeme geeignet. Daher entwickeln wir eine neue Hybrid-Methode, bei der die NRG einen effektiven Niederenergie-Hamiltonoperator erzeugt, der anschließend mit der zeitabhängigen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TD-DMRG) simuliert wird. Durch dieses Schema erreicht man Zeitskalen, die sonst mit der TD-DMRG unerreichbar bleiben. Die neue Methode wird am RLM getestet. Als erste Anwendung der neuen Methode wird diese auf das wechselwirkende Resonant-Level-Modell (IRLM) angewendet. Bei diesem Modell beobachten wir durch die Wechselwirkung hervorgerufene Oszillationen und neue Zeitskalen, die keine thermodynamische Entsprechung haben. Die Ergebnisse der neuen Hybrid-Methode reproduzieren analytische Vorhersagen basierend auf einer 1/U Entwicklung. Die neue Hybrid-Methode liefert nicht nur in den Grenzwerten U gegen 0 und U gegen unendlich korrekte Ergebnisse, sondern ist im vollständigen Parameterregime anwendbar.
Dynamique hors équilibre des théories classiques des champs et des modèles de spin d’Ising Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes. Dans le premier chapitre, nous introduisons une méthode numérique permettant d'intégrer des équations aux dérivées partielles représentant la dynamique Hamiltonienne de théories des champs. Cette méthode est un intégrateur multi-symplectique qui préserve localement le tenseur énergie-impulsion sur de très longues périodes de temps et avec précision. Son principal avantage est d'être extrêmement simple tout en restant bien définie localement. Nous la mettons à l'épreuve sur le cas particulier du modèle phi^4 en 1+1 dimensions; nous expliquons également comment l'implémenter en dimensions supérieures. De plus, nous faisons une présentation géométrique de la structure multi-symplectique et nous introduisons une construction permettant de résoudre le problème de dégénérescence pouvant l'affecter.Le second chapitre traite d'aspects hors équilibre dans les systèmes statistiques: nous nous intéressons en particulier à la question de l'impact d'un taux de refroidissement fini lors d'une trempe à travers une transition de phase du second ordre. Pour décrire plus fidèlement le régime hors équilibre qui se produit avant la transition de phase, nous étendons le mécanisme dit de Kibble-Zurek. Nous décrivons comment la taille caractéristique des objets géométriques présents dans le système dépend du temps et du taux de refroidissement; ceci, avant et une fois le point critique atteint. Ces prédictions théoriques sont mises à l'épreuve sur l'exemple du modèle d'Ising ferromagnétique. Nous décrivons également les propriétés géométriques des domaines qui apparaissent dans le système au cours de la dynamique de refroidissement.