Die Jarzynskigleichung gehört zu einer Reihe neuer Theoreme der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Es handelt sich um eine Gleichung, die den zweite Hauptsatz der Thermodynamik enthält, jedoch darüber hinaus geht. Sie bringt auch Prozessgrößen von gleichgewichtsfernen Prozessen mit Gleichgewichtsgrößen in einen neuen Zusammenhang. Gerade bei kleinen Systemen bleibt jedoch Frage nach der Gültigkeit der Gleichung für den Quantenfall. Im Gegensatz zu klassischen Systemen herrscht gerade hier Unklarheit und es gibt sehr widersprüchliche Aussagen, die auf unterschiedlichen Definitionen und quantenmechanischen Interpretationen der Gleichung fußen. Einfache verständnisfördernde Beispielsysteme fehlten bisher. In dieser Arbeit werden nun zwei solcher Beispielsysteme betrachtet. und überprüft, wie sich die Ergebnisse von den klassischen Resultaten unterscheiden und welche der besonderen Eigenschaften von Quantensystemen einen Einfluss auf das Ergebnis haben.
Die Jarzynskigleichung gehört zu einer Reihe neuer Theoreme der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Es handelt sich um eine Gleichung, die den zweite Hauptsatz der Thermodynamik enthält, jedoch darüber hinaus geht. Sie bringt auch Prozessgrößen von gleichgewichtsfernen Prozessen mit Gleichgewichtsgrößen in einen neuen Zusammenhang. Gerade bei kleinen Systemen bleibt jedoch Frage nach der Gültigkeit der Gleichung für den Quantenfall. Im Gegensatz zu klassischen Systemen herrscht gerade hier Unklarheit und es gibt sehr widersprüchliche Aussagen, die auf unterschiedlichen Definitionen und quantenmechanischen Interpretationen der Gleichung fußen. Einfache verständnisfördernde Beispielsysteme fehlten bisher. In dieser Arbeit werden nun zwei solcher Beispielsysteme betrachtet. und überprüft, wie sich die Ergebnisse von den klassischen Resultaten unterscheiden und welche der besonderen Eigenschaften von Quantensystemen einen Einfluss auf das Ergebnis haben.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Nach dem Energieerhaltungssatz kann Energie nicht erzeugt, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. In einem energetisch abgeschlossenen System muß dem-gemäß die Gesamtenergie konstant bleiben. Die vorliegende Arbeit geht grundsätzlich der Frage nach, inwieweit dieses physikalische Gesetz überhaupt noch Platz für eine mentale Energie läßt, zumal eine solche Wirkkraft unausweichlich eine Überdetermination zu begrün-den scheint. Ich stelle u.a. jene Überlegungen der Quantenphysik vor, welche mir geeignet erscheinen, die Kluft zwischen Geist und Materie überbrücken zu können. Zum einen des-halb, weil sie die althergebrachte Vorstellung von Materie in Frage stellen, zum anderen, weil sie die Einwirkung des Bewußtseins und das Verhältnis von Objektivität und Subjektivität beleuchten. Es scheint, als besäße das Elektron keine vom Bewußtsein unabhängigen Eigenschaften und als wäre in der Quantentheorie das Objekt vom Subjekt prinzipiell nicht zu trennen. Die Quantenmechanik kennt nichtlokale Verbindungen, die weder mit Energie, noch mit Mechanik, noch mit herkömmlicher kausaler Verknüpfung zu tun haben. Die Nichtlokali-tät stellt somit eine Korrelation, nicht einen kausalen Zusammenhang, wie etwa eine Wechsel-wirkung dar, da keinerlei Signalübertragung stattfindet. Die kausale Geschlossenheit der Welt kann nur soweit Gültigkeit beanspruchen, als physikalische klassische Systeme als umfassende Darstellungen der Welt angesehen werden können. Die Vorstellung, dass subatomare Teilchen einen bestimmten Weg in Raum und Zeit verfolgen und miteinander interferieren, ist eine rein mentale Konstruktion, die unserem Vor-stellungsvermögen entgegenkommt, aber keinerlei zusätzliche Erklärungskraft besitzt. In der gegenwärtigen Diskussion über mentale Verursachung wird oftmals von einem Dualismus ausgegangen, der meines Erachtens von einem überholten Materiebegriff ausgeht. Bei der „Mental-Energie“ ist das Mentale letztlich nicht geheimnisvoller, als die Energie, und die kausale Verbindung des Geistes mit sogenannter „Materie“ nicht rätselhafter und unmöglich-er, als zwei korrelierte Teilchen, die unabhängig von Zeit, Raum verschränkt sind. Ich versuche zu argumentieren, dass es ein “irreduzibles Selbst“ gibt und dass sein „Innewerden“ möglich ist, ansonsten wir gar nicht wissen und spüren könnten, dass wir beispielsweise zentriert sind, wenn wir in unserer Mitte sind. Die Mitte existiert nur „mitten-drin“, als Mitte von Etwas. Ich behaupte, dass es möglich ist, dieses Etwas durch das „Prinzip der transzendenten Resonanz“, als das nicht hintergehbare Selbst, verstärkt wahrzunehmen. Es ist ein Gewahrwerden seiner selbst durch „Spiegelung“ oder „Nachhall“ des Unverstellten und Wesentlichen in besonderen Lebensmomenten. Das Eigentliche um uns bringt durch Resonanz das Eigentliche in uns zum Anklingen: Das „eigentliche Selbst“. Wir erleben uns selbst nicht nur als Erlebende und Erkennende dieser transzendenten Momente, sondern gleichzeitig auch als feststellende, auffindende, wesensgleiche und somit auf gleicher Wellenlänge seiende Kategorisierer und Bewerter dieser besonderen essentiellen Qualität, die um diese Wertkategorie auch wissen. Auf diese Weise bekommen wir neben diesem erkennenden auch ein ergänzendes Wissen von uns selbst, weil ein Teil unseres „ontischen Ergänzungsbedarfs“ den wir als „ex-zentrische“ Wesen haben, gedeckt wurde. In diesem transzendenten Sich-Selbst-Erleben stillen wir unsere Sehnsucht nach Ganzheit. Die Sehn-sucht nach dieser Komplettierung ist die Quelle aller mentalen Energie.
In der vorliegenden Arbeit werden Untersuchungen vorgestellt, die sich mit drei verschiedenen Aspekten der Dynamik offener Quantensysteme beschäftigen. Zwei Themenkreise haben dabei mehr grundsätzliche Probleme der Theorie dissipativer Molekularsysteme zum Gegenstand. Dementsprechend müssen die Betrachtungen dazu auf einem allgemeineren Niveau verbleiben. In dem dritten Themenkreis jedoch, der sich mit Zwei-Teilchen-Effekten in der dissipativen Dynamik befaßt, können die Untersuchungen bis hin zu Berechnung von Meßgrößen geführt werden. Im ersten Teil der Arbeit gelingt eine Verallgemeinerung der vielbenutzten Standardform der Quanten-Master-Gleichung hin zur Nichtlinearen Quanten-Master-Gleichung. Mit der Anwendung der dazugehörigen zeitabhängigen Projektionsoperator-Technik kann ein Formalismus reaktiviert werden, der in der Literatur bisher eine nur sehr eingeschränkte Verbreitung findet. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich Untersuchungen zur Monte-Carlo-Wellenfunktions-Methode mit dem Ergebnis, eine konsistente Verallgemeinerung auf ein Reservoir mit endlicher Temperatur anzugeben. Den Ausgangspunkt dazu bildet ein mikroskopisches Modell zur System-Reservoir-Kopplung, welches im Rahmen der Bewegungsgleichung für den reduzierten statistischen Operator in die sogenannte Lindblad-Form der Dissipation überführt wird. Nach der Betrachtung von Ein-Teilchen-Transferprozessen beschäftigt sich der dritte Teil der Arbeit mit der korrelierten Bewegung von zwei Quantenteilchen in einer dissipativen Umgebung mit der Hinwendung zum Zwei-Wasserstoff-System (Dihydrid-System) an Übergangsmetall-Verbindungen. Zunächst werden Modellrechnungen zur dissipationfreien Zwei-Teilchen-Dynamik in einem Potentialmodell durchzuführt. Der Einfluß, den die Teilchen-Teilchen-Korrelationen auf das Durchtunneln eines Potentialwalles besitzt, können durch verschiedene numerische Rechnungen aufgezeigt werden. Wie sich diese Effekte in Neutronenstreuexperimenten an dem Zwei-Teilchen-System der Übergangsmetall-Hydrid-Komplexe äußern, wird basierend auf Simulationsrechnungen untersucht. Kernstück dieser Betrachtungen bildet eine neuartige Formel für die Neutronenstreuung, die auf der dissipativen Dynamik des betrachteten Zwei-Teilchen-Systems aufbaut.
In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
Dass die Quantenchemie durch ihre speziellen Verfahren numerische Lösungen der Schrödinger-Gleichung zu molekularen Problemen hervorbringen kann, die sehr oft befriedigend mit experimentellen Resultaten übereinstimmen, ist allgemein bekannt. Im Gegensatz dazu wurden und werden aber auch unzählige Experimente durchgeführt, deren interessante Aufschlüsse über feinste Details molekularen Geschehens theoretisch prinzipiell nicht aus einer Beschreibung durch Wellenfunktionen gewonnen werden können. Dabei handelt es sich immer um Situationen, bei denen so alltägliche Phänomene wie Relaxation und Energiedissipation eine wichtige Rolle spielen, und bei denen Systeme nahe beim oder auch sehr fern vom Gleichgewicht im Brennpunkt des Interesses stehen. – Die Quantentheorie beansprucht für sich Allgemeingültigkeit. Wenn Wellenfunktionen versagen, hat dann nicht auch die ganze Theorie versagt? Oder gibt es im weitesten Rahmen dieser Theorie einen adäquaten Ersatz für die Schrödinger-Gleichung, falls irreversible Prozesse auf treten? Einige markante Aspekte dieses Fragenkomplexes sollen hier aus heutiger Sicht in möglichst allgemeinverständlicher Weise dargelegt werden.