Pada makalah ini telah dibahas mengenai model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk kasus partikel bebas. Persamaan ini didapat melalui dua persamaan dari hukum kekekalan fisika klasik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan persamaan kontinuitas. Di dalam hal ini, persamaan Hamilton-Jacobi menggambarkan bagian partikel sedangkan persamaan kontinuitas menggambarkan sisi gelombang. Penurunan persamaan ini didasarkan atas analogi penurunan persamaan nonlinear master Schrodinger yang tidak menggunakan dua postulat di dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum. Menurut teori ini, sisi partikel mempunyai hampir sebagian besar energi partikel kuantum yang terkumpul dalam suatu titik sedangkan bagian gelombang mempunyai sebagian kecil dari energi partikel kuantum yang mengelilingi bagian partikel. Selain itu, di dalam makalah ini telah ditunjukkan pula bentuk fungsi matematik yang merepresentasikan bagian partikel dan gelombang di atas untuk solusi umum partikel bebas. Bentuk ini didapat melalui penyelesaian persamaan differensial untuk suku amplitudo. Kata kunci: klein-Gordon nonlinear, model matematika, partikel bebas.
Pada makalah ini telah dibahas mengenai model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk kasus partikel bebas. Persamaan ini didapat melalui dua persamaan dari hukum kekekalan fisika klasik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan persamaan kontinuitas. Di dalam hal ini, persamaan Hamilton-Jacobi menggambarkan bagian partikel sedangkan persamaan kontinuitas menggambarkan sisi gelombang. Penurunan persamaan ini didasarkan atas analogi penurunan persamaan nonlinear master Schrodinger yang tidak menggunakan dua postulat di dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum. Menurut teori ini, sisi partikel mempunyai hampir sebagian besar energi partikel kuantum yang terkumpul dalam suatu titik sedangkan bagian gelombang mempunyai sebagian kecil dari energi partikel kuantum yang mengelilingi bagian partikel. Selain itu, di dalam makalah ini telah ditunjukkan pula bentuk fungsi matematik yang merepresentasikan bagian partikel dan gelombang di atas untuk solusi umum partikel bebas. Bentuk ini didapat melalui penyelesaian persamaan differensial untuk suku amplitudo. Kata kunci: klein-Gordon nonlinear, model matematika, partikel bebas.
Di makalah ini diturunkan ulang solusi Perturbatif Persamaan Gross-Pitaevskii untuk beberapa mode yang telah dibahas pada makalah (Physics Letters A, 278(2001):252-230). Teori perturbatif membahas prosedur sistematis untuk mendapatkan solusi terdekat terhadap masalah perturbatif dengan membangun pengetahuan solusi eksak dari kasus tidak terperturbatif. Pada kasus kuantum, perturbatif merupakan gangguan terhadap suatu Hamiltonian energi. Dari sudut pandang yang luas, dinamika gas-gas yang terjebak dalam perangkap magnetik pada suhu yang sangat rendah dapat dijelaskan oleh persamaan fungsi gelombang untuk kondensasi yang dikenal dengan Persamaan Gross-Pitaevskii. Persamaan Gross-Pitaevskii adalah persamaan nonlinear klasik yang mempertimbangkan efek-efek dari interaksi partikel, dan oleh karena itu persamaan ini dapat diperlakukan sebagai sebuah generalisasi nonlinear, yaitu sebagai osilator kuantum makroskopik. Persamaan Gross-Pitaevskii memiliki dua aspek penting, yaitu aspek nonlinear yang menunjukkan persamaan nonlinear Schrodinger, sedangkan aspek linear menunjukkan persamaan Schrodinger dengan potensial osilator harmonik apabila suku nonlinear dihilangkan. Dalam makalah ini aspek nonlinear dalam persamaan Gross-Pitaevskii dianggap kecil. Osilator harmonik telah banyak dibahas dalam bidang kuantum dan model-model dari osilator harmonik telah banyak menjelaskan fenomena fenomena mikroskopik. Kata kunci: Persamaan Gross-Pitaevskii; Solusi Persamaan Schrodinger osilator harmonik; Teori Perturbatif.
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana proses memperoleh rumusan matematis dari persamaan Schrodinger serta mengetahui bagaimana bentuk solusi persamaan Schrodinger dengan menggunakan fungsi Green. Pembahasan permasalahan dalam skripsi ini dibatasi pada sistem yang energi potensialnya tidak tergantung pada waktu. Hasil analisis menunjukkan bahwa proses mendapatkan rumusan matematis dari persamaan Schrodinger meliputi penentuan rumusan kuantum bagi hukum kekekalan energi dengan cara mengubah persamaan hukum kekekalan energi menjadi persamaan operator dan penentuan bentuk operator Eˆ pada persamaan operator yang didapatkan. Rumus matematis dari persamaan Schrodinger yaitu ( ) ( ) ( ) (x t) t V x x t i x x t m , , , 2 2 2 2 y y y ¶ ¶ + = ¶ - ¶ h h , dan solusinya dapat dinyatakan dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / h ) 0 0 0 0 0 , , iEt x j j j x t x G x x V x X x dx e- þ ý ü î í ì y = j + ò , dimana (x) j j merupakan solusi dari persamaan nilai eigen 2 ( ) 0 2 2 = ÷ ø ö çè æÑ + mE x j j h , ( ) 0 G x, x merupakan fungsi Green yang berkaitan dengan persamaan Schrodinger bebas waktu yang dinyatakan dengan ( ) ( ) ( ) å + - = n n n n E m G x x Y x Y x l 2 , 2 0 0 h , dan ( ) 0 X x j merupakan solusi dari persamaan Schrodinger bebas waktu untuk nilai 0 x tertentu yang dinyatakan dengan ( ) 2 0 2 0 i mE x j X x = e h . Dalam mekanika kuantum, fungsi (x t) j y , digunakan untuk menentukan besarnya peluang partikel berada dalam posisi [x, x + dx] pada waktu t .
Telah dilakukan analisis review untuk menentukan nilai rata-rata operator gaya partikel pada potensial step satu dimensi dalam tinjauan persamaan Schrödinger, Persamaan Klein-Fock-Gordon dan persamaan Dirac. Review ini dimaksudkan untuk memberikan penjelasan secara terperinci dan mudah dipahami. Menentukan operator gaya pada kasus ini digunakan teorema Ehrenfest yang akan dianalisis untuk mencari nilai rata-rata operator gaya itu sendiri dengan menggunakan formula nilai rata-rata suatu operator. Hasil yang diperoleh dari review, memberikan bahwa nilai rata-rata operator gaya memiliki hubungan dengan kerapatan probabilitas dari masing-masing kasus dengan kajian masing-masing persamaan gelombang. Nilai rata-rata operator gaya untuk kasus ini dalam kajian persamaan Schrödinger dan Persamaan Dirac memberikan hasil yang mirip, dikarenakan kerapatan probabilitas masing-masing persamaan gelombang adalah fungsi yang kontinu pada titik batas. Berbeda dengan kasus yang sama dengan kajian persamaan Klein-Fock-Gordon diperoleh bahwa nilai rata-rata operator gaya tidak dapat digunakan formula umum nilai rata-rata, karena kerapatan probabilitasnya merupakan fungsi yang diskontinu. Sehingga diberikan solusi menggunakan persamaan Fescbach-Villars untuk menentukan operator gaya pada kasus ini dalam tinjauan persamaan Klein-Fock-Gordon.
Gelombang merupakan getaran yang merambat. Salah satu contoh gelombang adalah gelombang Schrodinger. Gelombang Schrodinger menggambarkan keberadaan elektron pada suatu posisi dan waktu.GelombangSchrodinger dapat dituliskan dalam suatu persamaan diferensial parsial yang dapat disebut dengan persamaan Schrodinger.
Persamaan Schrodinger tersebut yang menyatakan pada suatu posisi satu dimensi disebut persamaan Schodinger satu dimensi.Pada persamaan Schrodinger satu dimensi dapat dibentuk menjadi Persamaan Schrodinger bebas waktu satu dimensi yang artinya persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu.
Untuk menentukan solusi persamaan Schrodinger satu dimensi, menggunakan separasi variabel atas variabel
x
dan
t
. Selanjutnya, masing-masing dari variabel akan dicari solusinya dengan persamaan diferensial biasa.
Persamaan Schrodinger bebas waktu satu dimensi akan diaplikasikan ke dalam potensial undak dan potensial sumur. Potensial undak adalah kondisi dimana suatu partikel mengalami satu kali perubahan besar energi potensial, sedangkan potensial sumur adalah kondisi dimana suatu partikel mengalami dua kali perubahan besar energi potensial.
Kata kunci:Persamaan Schrodinger, Potensial Undak, potensial Sumur, Separasi Variabel.
Telah dikembangkan sebuah metoda mempercepat dinamika kuantum adiabatik pada sistem spin. Metoda ini digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang yang diinginkan dalam waktu yang lebih singkat. Konsep adiabatik digunakan agar sistem tidak mengalami perubahan keadaan selama proses mempercepat berlangsung. Fungsi gelombang adiabatik merupakan fungsi gelombang yang parameter waktunya melibatkan parameter adiabatik ϵyang bernilai sangat kecil serta menambahkan fasa regularisasi θ. Agar sistem tetap memenuhi persamaan Schrodinger, maka regularisasi juga dilakukan pada Hamiltonian sistem dengan menambahkan suku koreksi pada Hamiltonian awal. Upaya mempercepat secara adiabatik ini diawali dengan mendapatkan keadaan eigen sistem melalui Hamiltonian awal. Selanjutnya dengan hanya meninjau satu keadaan eigen ditentukan suku regularisasi Hamiltonian dan Hamiltonian penggerak yang melibatkan parameter pengali waktu αyang menuju tak hingga dan parameter adiabatik ϵyang menuju nol serta melalui konsep α· ϵ= berhingga. Suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang menjamin sistem dapat dipercepat secara adiabatik didapatkan dengan mengasumsikan kandidat suku regularisasi Hamiltonian yang yang melibatkan semua interaksi yang mungkin pada sistem spin yaitu interaksi antar spin, interaksi tiga benda yang hanya muncul pada sistem tiga spin, serta medan magnet. Metoda ini diaplikasikan pada sistem spin tunggal, sistem dua spin dan kluster tiga spin. Pada sistem spin tunggal, digunakan model spin rotasi dan model dua keadaan Landau-Zener. Aplikasi pada sistem dua spin menggunakan model Ising transversal, model XY, model kuantum annealing dan model umum entanglement. Metoda mempercepat pada sistem tiga spin diaplikasikan pada model Ising transversal dan model kuantum annealing. Pada kasus spin tunggal didapatkan satu suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang tidak bergantung pada keadaan eigen yang ditinjau ( state-independent ). Pada sistem dua spin yaitu pada model kuantum annealing dan model umum entanglement masing-masing didapatkan tiga dan dua suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang bergantung pada keadaan eigen yang ditinjau ( state-dependent ), sedangkan pada model Ising transversal dan model XY didapatkan satu solusi yang bersifat state-independent. Aplikasi sistem tiga spin pada model Ising transversal didapatkan dua solusi suku regularisasi sedangkan pada model kuantum annealing didapatkan empat solusi suku regularisasi. Semua solusi pada sistem tiga spin ini bersifat state-dependent. Metoda ini memberikan beberapa keunggulan yaitu perhitungan yang lebih sederhana dalam menentukan suku regularisasi karena hanya meninjau satu keadaan eigen. Selain itu pelibatan semua interaksi yang mungkin pada kandidat suku regularisasi membuat upaya mempercepat menjadi lebih optimal yang ditunjukkan oleh nilai fidelitas yang tinggi. Dihasilkannya solusi suku regularisasi yang beragam juga akan menambah fleksibilitas pada metode ini.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang beberapa potensial shape invariance dengan faktor sentrifugal, yaitu potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Penelitian ini merupakan studi literatur untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal secara analitik. Spektrum energi dan fungsi gelombang diperoleh melalui penyelesaian persamaan Schrodinger menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM), dimana spektrum energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri dan metode Kuantisasi Supersimetri-WKB (SWKB), sedangkan Fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri. Penentuan spektrum energi dengan metode operator supersimetri dilakukan dengan menggunakan sifat shape invariance, dan penentuan spektrum energi dengan metode kuantisasi SWKB dilakukan dengan menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ditentukan menggunakan sifat dari operator penurun, dan untuk fungsi gelombang tingkat ke-n ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik terhadap gelombang dasar. Spektrum energi dari potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal yang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi dari potensial-potensial tersebut yang ditentukan dengan menggunakan metode SWKB. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial Kratzer dapat ditentukan secara eksak untuk setiap bilangan kuantum orbital l, sedangkan untuk potensial Morse dan potensial Manning Rosen hanya dapat ditentukan secara eksak pada bilangan kuantum orbital l=0, sedangkan untuk bilangan kuantum 𝑙≠0 baik spektrum energi maupun fungsi gelombangnya hanya dapat ditentukan dengan cara pendekatan. Kata Kunci: Persamaan Schrodinger,