ANALISIS SOLUSI PERTURBATIF PERSAMAAN GROSS PITAEVSKII UNTUK BEBERAPA MODE (Review)

S. Latifah, Teguh Budi Prayitno, Mangasi Alion Marpaung

Published May 1, 2012• 0 citations

Abstract

Di makalah ini diturunkan ulang solusi Perturbatif Persamaan Gross-Pitaevskii untuk beberapa mode yang telah dibahas pada makalah (Physics Letters A, 278(2001):252-230). Teori perturbatif membahas prosedur sistematis untuk mendapatkan solusi terdekat terhadap masalah perturbatif dengan membangun pengetahuan solusi eksak dari kasus tidak terperturbatif. Pada kasus kuantum, perturbatif merupakan gangguan terhadap suatu Hamiltonian energi. Dari sudut pandang yang luas, dinamika gas-gas yang terjebak dalam perangkap magnetik pada suhu yang sangat rendah dapat dijelaskan oleh persamaan fungsi gelombang untuk kondensasi yang dikenal dengan Persamaan Gross-Pitaevskii. Persamaan Gross-Pitaevskii adalah persamaan nonlinear klasik yang mempertimbangkan efek-efek dari interaksi partikel, dan oleh karena itu persamaan ini dapat diperlakukan sebagai sebuah generalisasi nonlinear, yaitu sebagai osilator kuantum makroskopik. Persamaan Gross-Pitaevskii memiliki dua aspek penting, yaitu aspek nonlinear yang menunjukkan persamaan nonlinear Schrodinger, sedangkan aspek linear menunjukkan persamaan Schrodinger dengan potensial osilator harmonik apabila suku nonlinear dihilangkan. Dalam makalah ini aspek nonlinear dalam persamaan Gross-Pitaevskii dianggap kecil. Osilator harmonik telah banyak dibahas dalam bidang kuantum dan model-model dari osilator harmonik telah banyak menjelaskan fenomena fenomena mikroskopik. Kata kunci: Persamaan Gross-Pitaevskii; Solusi Persamaan Schrodinger osilator harmonik; Teori Perturbatif.

Related papers

Model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk partikel bebas

Teguh Budi Prayitno

Pada makalah ini telah dibahas mengenai model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk kasus partikel bebas. Persamaan ini didapat melalui dua persamaan dari hukum kekekalan fisika klasik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan persamaan kontinuitas. Di dalam hal ini, persamaan Hamilton-Jacobi menggambarkan bagian partikel sedangkan persamaan kontinuitas menggambarkan sisi gelombang. Penurunan persamaan ini didasarkan atas analogi penurunan persamaan nonlinear master Schrodinger yang tidak menggunakan dua postulat di dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum. Menurut teori ini, sisi partikel mempunyai hampir sebagian besar energi partikel kuantum yang terkumpul dalam suatu titik sedangkan bagian gelombang mempunyai sebagian kecil dari energi partikel kuantum yang mengelilingi bagian partikel. Selain itu, di dalam makalah ini telah ditunjukkan pula bentuk fungsi matematik yang merepresentasikan bagian partikel dan gelombang di atas untuk solusi umum partikel bebas. Bentuk ini didapat melalui penyelesaian persamaan differensial untuk suku amplitudo. Kata kunci: klein-Gordon nonlinear, model matematika, partikel bebas.

Apr 27, 20110 citations

Analisis Kuantum pada Rangkaian LC dengan Pendekatan Fungsi Gelombang Radial Persamaan Schrȍdinger Potensial Osilator Harmonik

Cecilia Yanuarief

Telah dilakukan analisis teoritik pada rangkaian LC dengan kapasitor dan induktor penyusunnya memiliki dimensi yang sangat kecil serta nilai kapasitansi dan induktansi rangkaian dalam orde 10-18 satuan. Analisis secara teoritik ini dilakukan atas dasar hipotesis bahwa tidak hanya energi elektromagnetik yang tersimpan dalam rangkaian LC terkuantisasi dalam bentuk foton, namun rangkaian LC yang disusun dari kapasitor dan induktor berukuran atomik juga akan menampakkan sekumpulan fenomena probabilistik yang direpresentasi oleh fungsi gelombang dalam mekanika kuantum. Rangkaian LC memperlihatkan fenomena osilasi arus listrik rangkaian dan muatan kapasitor, sehingga rangkaian LC dianalogikan sebagai osilator harmonik kuantum. Pemilihan potensial sentral tiga dimensi sebagai potensial osilator harmonik yang realistik meniscayakan persamaan Schrȍdinger potensial osilator harmonik dinyatakan menggunakan sistem koordinat bola dan mengalami separasi variabel sedemikian rupa sehingga diperoleh persamaan differensial orde dua bagian radial dan bagian angular dengan solusi masing-masing adalah fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang angular. Persamaan energi osilator harmonik memiliki bentuk serupa dengan persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC, sehingga sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi osilator harmonik dapat dianalogikan dengan sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC. Analogi tersebut digunakan ketika melakukan substitusi variabel pada fungsi gelombang radial persamaan Schrȍdinger potensial osilator harmonik menjadi fungsi gelombang rangkaian LC. Hasil visualisasi fungsi gelombang rangkaian LC untuk enam level energi terendahnya menggambarkan sebaran rapat probabilitas dan probabilitas terbesar terjadinya induktansi pada kondisi tertentu muatan kapasitor, yang bervariasi seiring dengan variasi level energi dan bilangan kuantum orbital. Kata kunci: Rangkaian LC, Osilator Harmonik, Persamaan Schrödinger.

Jurnal Teori dan Aplikasi FisikaJan 27, 20240 citations

SEBUAH REVIEW TENTANG PERTURBASI PADA OSILATOR HARMONIK KUANTUM DAN EFEKNYA TERHADAP TEORI MEDAN ELEKTROMAGNETIK KUANTUM

Ristiani Paskaria Tang, Herry Fridolin Lalus, Hartoyo Yudhawardana

Tulisan ini menyajikan review dari sebuah jurnal yang berjudul “Perturbation of Quantum Harmonic Oscillator and its effect on Quantum Electromagnetic Field Theory”, yang membahas tentang Hamiltonian osilator harmonik yang telah diketahui mengalami perturbasi dari luar karena adanya medan elektromagnetik. Penelitian ini memiliki tujuan untuk mengkaji efek dari adanya perturbasi pada osilator harmonik kuantum terhadap teori medan elektromagnetik kuantum, serta interaksi antara medan listrik dan medan magnetik sehingga dapat memunculkan Hamiltonian baru dengan menggunakan metode aljabar yang memuat operator kreasi dan operator anihilasi yang dapat berevolusi terhadap waktu sehingga dapat mempengaruhi keadaan koheren sistem. Dalam penelitian ini, Hamiltonian osilator harmonik yang telah diketahui dapat mengalami perturbasi dari luar karena adanya interaksi dengan medan elektromagentik, di mana Hamiltonian dari medan elektromagentik ini mirip dengan Hamiltonian osilator harmonik kuantum, sehingga ketika diberikan perturbasi, akan terbentuk Hamiltonian baru. Dengan menggunakan Hamiltonian medan eletormagnetik kuantum, maka dapat dianalisis representasi medan listrik yang terkait dengan keadaan koheren. Hasil dari penelitian ini adalah ditemukan bahwa terdapat transisi Hamiltonian medan elektromagentik ketika medan listrik diamati yaitu ketika osilator non-perturbasi berubah menjadi osilator terperturbasi.

JOURNAL ONLINE OF PHYSICSApr 5, 20250 citations

Analisis Kuantum pada Rangkaian LC dengan Pendekatan Fungsi Gelombang Radial Persamaan Schr?dinger Potensial Osilator Harmonik

Cecilia Yanuarief, Muhammad Nurul Huda

Telah dilakukan analisis teoritik pada rangkaian LC dengan kapasitor dan induktor penyusunnya memiliki dimensi yang sangat kecil serta nilai kapasitansi dan induktansi rangkaian dalam orde 10-18 satuan. Analisis secara teoritik ini dilakukan atas dasar hipotesis bahwa tidak hanya energi elektromagnetik yang tersimpan dalam rangkaian LC terkuantisasi dalam bentuk foton, namun rangkaian LC yang disusun dari kapasitor dan induktor berukuran atomik juga akan menampakkan sekumpulan fenomena probabilistik yang direpresentasi oleh fungsi gelombang dalam mekanika kuantum. Rangkaian LC memperlihatkan fenomena osilasi arus listrik rangkaian dan muatan kapasitor, sehingga rangkaian LC dianalogikan sebagai osilator harmonik kuantum. Pemilihan potensial sentral tiga dimensi sebagai potensial osilator harmonik yang realistik meniscayakan persamaan Schr?dinger potensial osilator harmonik dinyatakan menggunakan sistem koordinat bola dan mengalami separasi variabel sedemikian rupa sehingga diperoleh persamaan differensial orde dua bagian radial dan bagian angular dengan solusi masing-masing adalah fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang angular. Persamaan energi osilator harmonik memiliki bentuk serupa dengan persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC, sehingga sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi osilator harmonik dapat dianalogikan dengan sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC. Analogi tersebut digunakan ketika melakukan substitusi variabel pada fungsi gelombang radial persamaan Schr?dinger potensial osilator harmonik menjadi fungsi gelombang rangkaian LC. Hasil visualisasi fungsi gelombang rangkaian LC untuk enam level energi terendahnya menggambarkan sebaran rapat probabilitas dan probabilitas terbesar terjadinya induktansi pada kondisi tertentu muatan kapasitor, yang bervariasi seiring dengan variasi level energi dan bilangan kuantum orbital.

Jurnal Teori dan Aplikasi FisikaJan 29, 20240 citations

Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan

Yudha Arman Iklas Sanubary, Yudha Arman, Azrul Azwar

Persamaan Schrödinger untuk osilator kuantum anharmonik tidak bisa diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan metode lain untuk menentukan energi osilator kuantum anharmonik. Metode yang dapat digunakan adalah teori gangguan. Pada penelitian ini teori gangguan digunakan untuk menentukan tingkat energi osilator kuantum anharmonik untuk beberapa suku gangguan yang tunggal dan suku gangguan dalam bentuk polinomial. Hasil penelitian menunjukkan bahwa perubahan tingkat-tingkat energi akibat suku gangguan dalam bentuk polinomial merupakan penjumlahan dari beberapa suku gangguan yang tunggal.

POSITRONNov 1, 20124 citations

DINAMIKA SPIN KUANTUM ADIABATIK DIPERCEPAT

Iwan Setiawan

Telah dikembangkan sebuah metoda mempercepat dinamika kuantum adiabatik pada sistem spin. Metoda ini digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang yang diinginkan dalam waktu yang lebih singkat. Konsep adiabatik digunakan agar sistem tidak mengalami perubahan keadaan selama proses mempercepat berlangsung. Fungsi gelombang adiabatik merupakan fungsi gelombang yang parameter waktunya melibatkan parameter adiabatik ϵyang bernilai sangat kecil serta menambahkan fasa regularisasi θ. Agar sistem tetap memenuhi persamaan Schrodinger, maka regularisasi juga dilakukan pada Hamiltonian sistem dengan menambahkan suku koreksi pada Hamiltonian awal. Upaya mempercepat secara adiabatik ini diawali dengan mendapatkan keadaan eigen sistem melalui Hamiltonian awal. Selanjutnya dengan hanya meninjau satu keadaan eigen ditentukan suku regularisasi Hamiltonian dan Hamiltonian penggerak yang melibatkan parameter pengali waktu αyang menuju tak hingga dan parameter adiabatik ϵyang menuju nol serta melalui konsep α· ϵ= berhingga. Suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang menjamin sistem dapat dipercepat secara adiabatik didapatkan dengan mengasumsikan kandidat suku regularisasi Hamiltonian yang yang melibatkan semua interaksi yang mungkin pada sistem spin yaitu interaksi antar spin, interaksi tiga benda yang hanya muncul pada sistem tiga spin, serta medan magnet. Metoda ini diaplikasikan pada sistem spin tunggal, sistem dua spin dan kluster tiga spin. Pada sistem spin tunggal, digunakan model spin rotasi dan model dua keadaan Landau-Zener. Aplikasi pada sistem dua spin menggunakan model Ising transversal, model XY, model kuantum annealing dan model umum entanglement. Metoda mempercepat pada sistem tiga spin diaplikasikan pada model Ising transversal dan model kuantum annealing. Pada kasus spin tunggal didapatkan satu suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang tidak bergantung pada keadaan eigen yang ditinjau ( state-independent ). Pada sistem dua spin yaitu pada model kuantum annealing dan model umum entanglement masing-masing didapatkan tiga dan dua suku regularisasi dan Hamiltonian penggerak yang bergantung pada keadaan eigen yang ditinjau ( state-dependent ), sedangkan pada model Ising transversal dan model XY didapatkan satu solusi yang bersifat state-independent. Aplikasi sistem tiga spin pada model Ising transversal didapatkan dua solusi suku regularisasi sedangkan pada model kuantum annealing didapatkan empat solusi suku regularisasi. Semua solusi pada sistem tiga spin ini bersifat state-dependent. Metoda ini memberikan beberapa keunggulan yaitu perhitungan yang lebih sederhana dalam menentukan suku regularisasi karena hanya meninjau satu keadaan eigen. Selain itu pelibatan semua interaksi yang mungkin pada kandidat suku regularisasi membuat upaya mempercepat menjadi lebih optimal yang ditunjukkan oleh nilai ﬁdelitas yang tinggi. Dihasilkannya solusi suku regularisasi yang beragam juga akan menambah ﬂeksibilitas pada metode ini.

Jan 1, 20181 citation