Abstract Das Ziel der vorliegenden Arbeit und einer ihr folgenden soll es sein zu zeigen, daß es mit Hilfe der Methode der Laplace‐Transformation gelingt, wellenmechanische Probleme in einer neuen, zum Teil wesentlich einfacheren Weise als bisher darzustellen und zu behandeln. Insbesondere wird in dieser ersten Arbeit — nach einer einleitenden Bemerkung über die Laplace‐ Transformation — der radiale Anteil des H‐Atoms behandelt, wobei sich sowohl die diskreten als auch die kontinuierlichen Eigenfunktionen aus einer einzigen Gleichung (3,20) gewinnen lassen.
Abstract In vorliegender Arbeit sollen im Anschluß an zwei frühere Veröffentlichungen der Fall des Oszillators und die Integration der Diracschen Differentialgleichungen für die radialen Wellenfunktionen mit Hilfe der Laplace‐Transformation durchgeführt werden. Es zeigt sich auch hier wieder die Überlegenheit, die die Anwendung der Laplace‐Transformation auf solche Aufgaben mit sich bringt. Neben einer wesentlichen Vereinfachung der Rechnungen werden weitergehende Resultate gefunden werden, als sich bei der üblichen Behandlung ergeben; insbesondere läßt sich das Verhalten der Gesamtheit aller Lösungen sofort angeben.
Abstract Als weiterer Beitrag zur Behandlung wellenmechanischer Probleme mittels der Laplace‐Transformation wird in vorliegender Arbeit die Integration der Schrödinger‐Gleichung des Raumrotators im Unterbereich durchgeführt. Man erhält in diesem, wenn man von der Rotator‐Gleichung in der Form (2, 9) ausgeht, eine Differentialgleichung, die sich in zweifacher Weise reduzieren läßt. Beide Fälle werden diskutiert. Dabei kommt im Unterbereich die Tatsache, daß der eine Faktor der Lösung (die zugeordneten Kugelfunktionen) sich als Differentialquotient der Legendreschen Polynome darstellen läßt, unmittelbar zum Ausdruck, wozu es im Oberbereich wohl kein Gegenstück gibt. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Rotators werden ebenfalls im Unterbereich ermittelt. Es ist auch möglich, die Rotatorgleichung in der Form (2, 6), in welcher die Winkelkoordinate ϑ unabhängige Variable ist, direkt in den Unterbereich zu übertragen, was zu einer Funktionalgleichung führt.
Die experimentelle Untersuchung des erstaunlichsten Phänomens, das von der Quantentheorie hervorgebracht wurde, ist seit vielen Jahren ein sehr umtriebiges Feld. Die Erforschung von Verschränkung hat nicht nur zu einer deutlichen Steigerung unseres Verständnisses der fundamentalen Vorgänge im Mikrokosmos beigetragen, sondern hat auch gezeigt, dass dieses Phänomen für technische Anwendungen gebraucht werden kann. Vor allem die Quantenkommunikation wird von vielen Physikern als das vielversprechendste Gebiet in der Quantentechnologie angesehen. Die vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, einen signifikanten Beitrag zur Forschung an Quantenkommunikation zu leisten. Nach einer kurzen Einführung und der Behandlung einiger relevanter theoretischer Konzepte wird im zweiten Teil eine neue Messmethode vorgestellt, die den Nachweis hochdimensionaler Verschränkung von sogenannten Laguerre-Gauss Moden deutlich verbessert. Der zweite experimentelle Teil der vorliegenden Arbeit soll den Nachweis eines großen Vorteils erbringen, welche hochdimensionale Systeme (qudits) gegenüber zwei-level Systemen (qubits) zeigen. Es ist eine wohlbekannte Tatsache - zumindest in der Theorie – dass verschänkte qudits signifikant resistenter gegenüber Hintergrundrauschen sind als qubits. Diese Abhandlung setzt sich deshalb auch zum Ziel zu zeigen, dass die räumliche Struktur von Licht ein vielversprechender Kandidat für die Rolle als Informationsträger zukünftiger Kommunikationsprotokolle ist.
Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen, der erste betrifft die Quantenmechanik, im zweiten geht es um Quantenkosmologie. Beiden liegt das Bestreben zu Grunde, den Übergang von klassischer Dynamik zu quantenmechanischem Verhalten zu verstehen, und die auftretenden Abweichungen zu analysieren. Im ersten Teil liegt das Interesse bei der semiklassischen Phase der Zeitentwicklung, in der zwar noch keine Revivalph\"anomene, auftreten, aber dennoch bereits Quanteneffekte zum tragen kommen. Es wird die Methode der Laplacetransformation eingeführt, mit deren Hilfe man die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung angeben kann, wenn die Lösung der zeitunabhängigen Gleichung bekannt ist. Dabei ist es nicht nötig, Eigenzustände zu summieren oder das Pfadintegral zu Hilfe zu nehmen. Es werden die Propagatoren für das Kastenpotential, die Potentialstufe, das asymmetrische Kastenpotential (Kasten mit Ausgang) und die endliche Barriere hergeleitet. Die Lösungen geben anschaulich die Dynamik der Wellenpakete wieder und beinhalten das quantenmechanische Analogon zum klassischen Reflexionsprozess. Im Fall des Kastenpotentials gelingt es, die Spiegellösung herzuleiten, ohne dabei die Symmetrie des Potentials zu Hilfe zu nehmen. Es werden zwei Theoreme präsentiert, die zeigen, dass in einer bestimmten Phase der Zeitentwicklung nur bestimmte Terme der Spiegiellösung zum tragen kommen. Bei der Potentialsufe wird gezeigt, dass Wellenpakete, die eine niedrigere Enegrie als die der Stufe haben, nur während des Reflexionsprozesses in den verbotenen Bereich jenseits der Stufe hineinfließen. Der Reflexionskoeffizient für genügend konzentrierte Wellenpakete enspricht dem bekannten Wert für das zeitunabhängige Problem. Die Propagator für das asymmetrische Kastenpotential stellt sich als intuitive Kombination der Lösungen für das das gewöhnliche Kastenpotential und die Potentialstufe heraus. Dieses Ergebnis unterscheidet sich grundsätzlich von dem, was unter dem Gesichtspunkt der Darstellung als einer Kombination von Eigenzuständen erwartbar ist, da der Kasten mit Ausgang zum Unterschied vom unendlich hohen Potentialtopf sowohl gebundene als auch ungebundene Eigenzustände besitzt. Soweit bekannt ist, ist das Anfangswertproblem für das asymmetrische Kastenpotential noch nicht betrachtet worden. Bei der Untersuchung der endlichen Barriere ist es gelungen, den Hartmann Effekt in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Dieser besagt, dass für genügend dicke Barrieren die Tunnelzeit nicht von der Barrierendicke abhängt. Interessanter Weise ist es jedoch nicht ein Wellenpaket, das die Barriere verlässt, sondern es sind unendlich viele, die eines nach dem anderen hindurch tunneln. Die Zeit, die jedes davon für das Durchtunneln der Barriere benötigt hängt nicht von der Dicke der Barriere ab. Aber je dicker die Barriere ist, desto stärker werden die späteren Wellenpakete abgeschwächt. Um eine eindeutige Zeitentwicklung in der Quantenkosmologie zu erhalten, wurde die unimodulare Theorie anstatt der allgemeinen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung verwendet. Diese Theorie ist praktisch ununterscheidbar von der allgemeinen Relativit\"atstheorie. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die kosmologische Konstante eine Erhaltungsgröße und nicht eine Naturkonstante ist. Da die unimodulare Theorie jedoch eine andere kanonische Struktur hat, führt sie auf eine Quantentheorie, die eine Zeitentwicklung zulässt. Im Rahmen des untersuchten Modells eines räumlich flachen Universums mit einem masselosen skalaren Feld werden Lösungen mit einer unitären Zeitentwicklung konstruiert. Im Gegensatz zu den geläufigen quantenmechanischen Modellen (wie den im ersten Teil untersuchten), bekommen die Lösungen in diesem Modell mit der Zeit in einem gewissen Sinn immer mehr klassischen Charakter. Außerdem ist es gelungen das Analogon zu den de Sitter Lösungen zu finden, indem bestimmte Symmetriebedingungen an die Lösungen gestellt werden. In einem expliziten Beispiel werden Lösungen präsentiert, die über die Singularität bei
t=0 hinaus fortgesetzt werden können, wobei die minimale Ausdehnung das Universums endlich bleibt.