Methoden der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie
Georg Robert Lang
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ausbau der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie (HFB-Theorie), bzw. mit der Frage nach deren Exaktheit. Es werden sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme betrachtet, wobei auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Statistiken Wert gelegt wurde. Eine zentrale Rolle für die jeweiligen Variationsprinzipien spielen in beiden Fällen die sogenannten quasi-freien Zustände, die durch das Verschwinden ihrer höheren trunkierten Korrelationen charakterisiert sind. Dieses letzte Phänomen untersuchen wir im bosonischen Fall im Detail. Durch die Übertragung des von Bach, Lieb und Solovej erbrachten Beweises der 1:1-Relation zwischen verallgemeinerten Dichtematrizen und quasi-freien Zuständen vom fermionischen in den bosonischen Kontext, können wir die Variationsprinzipien auf den konvexen Mengen der verallgemeinerten Dichtematrizen formulieren. Wir erhalten auf diese Weise einen deutlich einfacheren und konstruktiveren Beweis als beispielsweise den bereits bekannten Beweis der 1:1-Relation von Araki. Außerdem verallgemeinern wir auf den Fall nichtverschwindender Einpunktsfunktionen. Parallel entwickeln wir für beide Statistiken die mächtige Methode der kohärenten Zustände, wobei auch hier auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Fälle Wert gelegt wird. Dieser Teil der Arbeit kulminiert in der Berechnung des generierenden Funktionals von Gibbszuständen allgemeiner quadratischer Operatoren, die die Teilchenzahl möglicherweise nicht erhalten. Im bosonischen Fall können wir dieses Resultat benutzen, um die Quasi-Freiheit dieser Zustände zu zeigen. Wir beschäftigen uns dann mit der Behandlung wechselwirkender Vielteilchensysteme mit periodischen Randbedingungen. Hierbei betrachten wir Wechselwirkungen, die ähnlich wie das Coulomb Potential, als gewichtetes Mittel eines Produktes von lokalisierten Funktionen geschrieben werden können. Anders als etwa Fefferman und de la Llave oder Hainzel und Seiringer, nehmen wir als Lokalisierungsfunktionen periodifizierte Gaußfunktionen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Approximationsfehler der HFB-Theorie zu kontrollieren sei. Eine wichtige Rolle spielen hierbei die sogenannten Korrelationsungleichungen, die es erlauben Erwartungswerte in quartischen Ausdrücken in den Teilchenvernichtern und Erzeugern möglichst ausschließlich durch quadratische solche abzuschätzen. Im fermionischen Fall stellt sich heraus, dass insbesondere normalgeordnete quartische Ausdrücke zu kontrollieren sind. Wir leiten eine entsprechende Korrelationsungleichung her, die allgemeiner als die von Bach sowie von Graf und Solovej verwendete ist, und benützen diese um die Grundzustandsenergie des fermionischen Jellium Modells nach unten abzuschätzen. Wir erhalten hierbei ein ähnliches Resultat wie das bereits bekannte. Im bosonischen Fall gelingt es lediglich eine Korrelationsungleichung herzuleiten, auf deren rechter Seite auch quartische Erwartungswerte des Typs des Quadrates des Teilchenzahloperators vorkommen. Dies überrascht jedoch nicht.
•Jul 3, 2003•0 citations