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Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei

Die wellenmechanische Interpretation der Boltzmannschen Statistik neben der der neueren Statistiken

P. Ehrenfest, G. E. Uhlenbeck

Published Jan 1, 1927• 66 citations
Publisher
DOI
10.1007/bf01454759

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Abstract In vorliegender Arbeit sollen im Anschluß an zwei frühere Veröffentlichungen der Fall des Oszillators und die Integration der Diracschen Differentialgleichungen für die radialen Wellenfunktionen mit Hilfe der Laplace‐Transformation durchgeführt werden. Es zeigt sich auch hier wieder die Überlegenheit, die die Anwendung der Laplace‐Transformation auf solche Aufgaben mit sich bringt. Neben einer wesentlichen Vereinfachung der Rechnungen werden weitergehende Resultate gefunden werden, als sich bei der üblichen Behandlung ergeben; insbesondere läßt sich das Verhalten der Gesamtheit aller Lösungen sofort angeben.

Annalen der Physik•Jan 1, 1948•0 citations

Die statistische Mechanik Boltzmanns als N�herung der Wellenmechanik

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In der Mitte der 1920er Jahre stand an der Wende von der frühen zur modernen Quantentheorie die Erkenntnis, dass die Physik quantisierter Zustände eine besondere Form der Statistik erfordert. Diese “Quantenstatistik” musste die Unterscheidbarkeit für atomare Teilchen aufgeben, - und damit die Vorstellung von “individuellen” Teilchen, die der klassischen Maxwell-Boltzmann Statistik zugrunde gelegen hatte. Die Auswirkung dieses Bruches zeigte sich zunächst in der Änderung der klassischen Abzählmethoden für die möglichen Besetzungen der Zustände mit Teilchen. Aus methodischen Gründen stellt man die möglichen Zustände als Besetzung einer Gesamtheit von Zellen im “Phasenraum” dar. Der Phasenraum wird aus den Orts- und Impulskoordinaten aller Teilchen des betrachteten Systems gebildet, und er gestattet die vollständige Beschreibung seines Zustandes. Bei der Abzählung ununterscheidbarer Teilchen zeigte es sich, dass es nur zwei Klassen von Elementarteilchen geben kann: Eine Klasse, die solche Teilchen enthält, die eine Zelle in beliebiger Anzahl besetzen können, - und eine solche Klasse von Teilchen, die nur einzeln eine Zelle besetzen können. Zur erstgenannten Klasse gehören die Photonen, die a- Teilchen (Heliumkerne) und die Cooper-Paare, - letztere sind die in den 1950er Jahren entdeckten Träger der Supraleitung. (Die Teilchen dieser Klasse haben verschwindenden oder ganzzahligen Spin; sie werden zusammengefasst heute als “Bosonen” bezeichnet.) Hauptvertreter der zweitgenannten Klasse sind die Elektronen und Nukleonen. (Die Teilchen dieser Klasse haben einen halbzahligen Spin und werden heute zusammengefasst als “Fermionen” bezeichnet.) Die Statistiken dieser beiden Klassen von Teilchen wurden im Jahr 1924 in Form der Bose-Einstein Statistik (für Bosonen) und zwei Jahre später als Fermi-Dirac Statistik (für Fermionen) theoretisch manifest. - Damit war die (in der klassischen Physik uneingeschränkt geltende) Vorstellung von im Einzelnen unterscheidbaren Teilchen an dem Charakter derjenigen Abzählmethoden gescheitert, die dem Teilchenbegriff der Quantenphysik angemessen sind.

Vieweg+Teubner eBooks•Dec 6, 2010•0 citations

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ZusammenfassungObwohl das Maxwell-Boltzmannsche Verteilungsgesetz im vorigen Kapitel auf eine Weise abgeleitet wurde, die mit der Quantenmechanik verträglich ist, erhält man dieselben Ergebnisse auch bei einer rein klassischen Vorgangsweise. Wir haben außerdem gesehen, daß es zwischen einer Situation, in der eine kontinuierliche Energieverteilung möglich ist, wie bei den Translationsbewegungen der Moleküle eines Gases, und einer Situation, in der die Energien nur bestimmte diskrete Werte annehmen können, wie bei den Rotationszuständen eines Moleküls, keinen wesentlichen Unterschied gibt. In beiden Fällen haben wir die betrachteten Teilchen als unterscheidbare Objekte angenommen, was für Moleküle in einem Gas erlaubt ist, jedoch für Photonen in einem Hohlraum oder Elektronen in einem Metall nicht mehr zutrifft. Quanteneffekte werden für ununterscheidbare Teilchen wichtig, und die Verteilungsgesetze unterscheiden sich wesentlich von dem Maxwell-Boltzmannschen Gesetz. In diesem Kapitel wollen wir die statistischen Verteilungsgesetze von Bose und Einstein, beziehungsweise von Fermi und Dirac ableiten. Die Bose-Einstein-Statistik gilt für identische, ununterscheidbare Teilchen, die nicht dem Ausschließungsprinzip unterliegen (Photonen), während die Fermi-Dirac-Statistik für solche Teilchen gilt, auf die das Ausschließungsprinzip angewendet werden muß (Elektronen).

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1983•0 citations
Abstract In vorliegender Arbeit sollen im Anschluß an zwei frühere Veröffentlichungen der Fall des Oszillators und die Integration der Diracschen Differentialgleichungen für die radialen Wellenfunktionen mit Hilfe der Laplace‐Transformation durchgeführt werden. Es zeigt sich auch hier wieder die Überlegenheit, die die Anwendung der Laplace‐Transformation auf solche Aufgaben mit sich bringt. Neben einer wesentlichen Vereinfachung der Rechnungen werden weitergehende Resultate gefunden werden, als sich bei der üblichen Behandlung ergeben; insbesondere läßt sich das Verhalten der Gesamtheit aller Lösungen sofort angeben.
In der Mitte der 1920er Jahre stand an der Wende von der frühen zur modernen Quantentheorie die Erkenntnis, dass die Physik quantisierter Zustände eine besondere Form der Statistik erfordert. Diese “Quantenstatistik” musste die Unterscheidbarkeit für atomare Teilchen aufgeben, - und damit die Vorstellung von “individuellen” Teilchen, die der klassischen Maxwell-Boltzmann Statistik zugrunde gelegen hatte. Die Auswirkung dieses Bruches zeigte sich zunächst in der Änderung der klassischen Abzählmethoden für die möglichen Besetzungen der Zustände mit Teilchen. Aus methodischen Gründen stellt man die möglichen Zustände als Besetzung einer Gesamtheit von Zellen im “Phasenraum” dar. Der Phasenraum wird aus den Orts- und Impulskoordinaten aller Teilchen des betrachteten Systems gebildet, und er gestattet die vollständige Beschreibung seines Zustandes. Bei der Abzählung ununterscheidbarer Teilchen zeigte es sich, dass es nur zwei Klassen von Elementarteilchen geben kann: Eine Klasse, die solche Teilchen enthält, die eine Zelle in beliebiger Anzahl besetzen können, - und eine solche Klasse von Teilchen, die nur einzeln eine Zelle besetzen können. Zur erstgenannten Klasse gehören die Photonen, die a- Teilchen (Heliumkerne) und die Cooper-Paare, - letztere sind die in den 1950er Jahren entdeckten Träger der Supraleitung. (Die Teilchen dieser Klasse haben verschwindenden oder ganzzahligen Spin; sie werden zusammengefasst heute als “Bosonen” bezeichnet.) Hauptvertreter der zweitgenannten Klasse sind die Elektronen und Nukleonen. (Die Teilchen dieser Klasse haben einen halbzahligen Spin und werden heute zusammengefasst als “Fermionen” bezeichnet.) Die Statistiken dieser beiden Klassen von Teilchen wurden im Jahr 1924 in Form der Bose-Einstein Statistik (für Bosonen) und zwei Jahre später als Fermi-Dirac Statistik (für Fermionen) theoretisch manifest. - Damit war die (in der klassischen Physik uneingeschränkt geltende) Vorstellung von im Einzelnen unterscheidbaren Teilchen an dem Charakter derjenigen Abzählmethoden gescheitert, die dem Teilchenbegriff der Quantenphysik angemessen sind.
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