Abstract Es wird die bezüglich der im allgemeinen nicht unimodularen Spinor‐Transformationen kovariante Dirac‐Gleichung untersucht. Es wird gezeigt, daß diese Gleichung selbst in kartesischen Koordinaten in der flachen Raum‐Zeit nur dann als eine Ortsdarstellung der quantenmechanischen Bewegungsgleichungen in einem abstrakten Hilbertraum interpretiert werden kann, wenn die diese Darstellung realisierenden Hilbertraum‐Basisvektoren nicht orthonormiert sind.
Abstract Es wird die bezüglich der im allgemeinen nicht unimodularen Spinor‐Transformationen kovariante Dirac‐Gleichung untersucht. Es wird gezeigt, daß diese Gleichung selbst in kartesischen Koordinaten in der flachen Raum‐Zeit nur dann als eine Ortsdarstellung der quantenmechanischen Bewegungsgleichungen in einem abstrakten Hilbertraum interpretiert werden kann, wenn die diese Darstellung realisierenden Hilbertraum‐Basisvektoren nicht orthonormiert sind.
Die Arbeit bietet eine systematische Einführung in die Grundlagen der Quantenmechanik und entwickelt diese ausgehend von Heisenbergs Ansatz, „nur messbare Größen zuzulassen“ . Im Zentrum steht die Abkehr von klassischen Atommodellen und die Etablierung der Operatorenmechanik, in der Observablen durch hermitesche Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum dargestellt werden. Zustände werden als Vektoren formuliert, deren Transformationen und Messprozesse durch lineare Operatoren beschrieben sind. Ein Schwerpunkt liegt auf der physikalischen und mathematischen Analyse des Spins. Ausgehend vom Stern‑Gerlach‑Experiment wird gezeigt, dass Spinkomponenten nicht kontinuierlich, sondern ausschließlich diskrete Werte annehmen: „Dem war aber nicht so. Sondern es gab nur Punkte rund um o und um u.“ . Die Arbeit erläutert die quantisierte Natur des Spins, die Rolle des Landé‑Faktors, die Interpretation von Messprozessen sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei Drehung des Messapparats. Darauf aufbauend wird die mathematische Struktur der Quantenmechanik entwickelt: Hilberträume, Orthonormalbasen, Bra‑Ket‑Notation, Wahrscheinlichkeitsamplituden und die Darstellung von Operatoren als Matrizen. Die Pauli‑Matrizen werden eingeführt und ihre Rolle als Spinoperatoren detailliert hergeleitet. Die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren für stabile Zustände wird anhand des Spinoperators Sz demonstriert. Abschließend verbindet der Text experimentelle Evidenz, mathematische Formalisierung und konzeptionelle Interpretation zu einer kohärenten Darstellung der Quantenmechanik, die sowohl für die physikalische Intuition als auch für die theoretische Weiterarbeit geeignet ist.
Abstract In der Quantentheorie relativistischer Felder (Klein‐Gordon‐Feld, Dirac‐Feld) werden mit Hilfe der dreidimensionalen Fourier‐Transformation Zustände eingeführt, die Teilchen an definierten Orten beschreiben. Diese im Sinne von Newton und Wigner lokalisierten Zustände sind Eigenzustände eines Teilchendichteoperators mit Deltafunktionen als Eigenwerten und bilden somit eine orthogonale Basis des Hilbert‐Raums. Die Entwicklungskoeffizienten des allgemeinen Zustandes nach diesen Basisvektoren sind dann Amplituden der Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Teilchen an bestimmten Stellen des Raumes zu finden. Bei Anwendung der Lorentz‐Transformation werden die lokalisierten Zustände nicht lokal transformiert, im Gegensatz zu den Vektoren der kovarianten Basis. Daher ist dieser Begriff des lokalisierten Teilchens (Einteilchenzustandes) nur in einem bestimmten Lorentz‐System sinnvoll. Beim Übergang zur Quantenmechanik eines Teilchens erhält man zwangsläufig die von Newton und Wigner angegebenen Ortsoperatoren.
Abstract Die grundlegenden Begriffe der Quantentheorie werden analysiert. Es wird dabei untersucht, wie weit die Ergebnisse der orthodoxen Quantentheorie mit Notwendigkeit aus dem experimentellen Material folgen. Als Ergebnis dieser Analyse wird geschlossen, daß auf gewisse spekulative Resultate der Quantentheorie verzichtet werden kann und daß nach Weglassen dieser Resultate, wenigstens im Prinzip, es nicht unmöglich erscheint, für die Quantenerscheinungen ein Modell zu finden, welches einem klassischen Modell viel näher steht, als es im allgemeinen für möglich gehalten wird. Ein solches Modell würde gewisse unannehmbare, idealistische Folgerungen der Theorie unnötig machen, ohne dabei mit solchen Teilen der Theorie in Widerspruch zu geraten, die durch Experiment direkt bestätigt werden können. Das von uns proponierte Modell ist nur qualitativ, es operiert aber explizit mit Wirkungen, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten. Es wird gezeigt, daß die Analyse der experimentellen Resultate notwendigerweise zur Annahme von Wirkungen führen, die mit Überlichtgeschwindigkeit fortgepflanzt werden.
Die geometrische Phase zeigt, wie schon die Vorhersagen der Standard-Quantenmechanik von der Geometrie des zugrundeliegenden Hilbertraumes beeinflusst werden. In der Quantenmechanik wird durch eine nicht triviale Topologie des Zustandsraumes eine Phasendifferenz zwischen Anfangs- und Endzustand des Systems induziert. Diese geometrische Phase hängt - im Gegensatz zur dynamischen Phase - nur vom Pfad ab und nicht von der benötigten Entwicklungszeit oder der Energie des Zustandes. Die vorliegende Dissertation behandelt einige Aspekte dieser geometrischen Phase. Zum einen werden sogenannte nicht-diagonale geometrische Phasen für gemischte Zustände definiert, welche Information über die Topologie des Zustandsraumes bietet, falls die gewöhnliche geometrische Phase nicht wohldefiniert ist. Im zweiten Teil taucht die geometrische Phase im Kontext der Neutroneninterferometrie auf. Ein Interferometer mit zwei Kreisen wird verwendet, um die in einem Kreis generierte Phase relative zu einem Referenzstrahl zu messen. Der Zustand in diesem Kreis kann durch geeignete Wahl eines Absorbers und eines Phasenschiebers so verändert werden, dass schlussendlich nur eine geometrische Phase gemessen wird. Diese folgt wiederum aus der Geometrie des sphärischen Zustandsraumes. Schließlich wird die Frage des Einflusses von äußeren Störungen auf die geometrische Phase aufgegriffen. Einige theoretische Überlegungen kommen zum Schluss, dass diese gut geeignet sei um quantenmechanische Schaltungen zu realisieren. Dieses Verhalten könnte mit ultrakalten Neutronen getestet werden. Numerische Simulationen in Hinblick auf ein zukünftiges Experiment werden präsentiert.
Ankunftszeit- oder Flugzeitmessungen sind in der Atom- und Teilchenphysik allgegenwärtig. Allerdings ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ankunftszeiten von Quantenteilchen einer der letzten Bereiche, in denen sich die Physiker nicht einig sind, was die Quantenmechanik vorhersagt. Bestehende Vorschläge basieren typischerweise auf einer semiklassischen Herangehensweise, auf Quantisierungsprinzipien, Erweiterungen und sogar Interpretationen der (oder genauer gesagt Auffassungen von) Quantentheorie. Die zugehörigen Vorhersagen wurden allerdings bislang nicht so detailliert herausgearbeitet, dass sie mit tatsächlichen Experimenten verglichen werden können. Daher ist es nicht verwunderlich, dass Experimente, die die Wahl zwischen verschiedenen konkurrierenden Vorschlägen erleichtern sollen, auf sich warten lassen. Eindeutige experimentelle Ergebnisse könnten dabei zu einem Paradigmenwechsel in unserem Verständnis der Quantenphysik führen. Vor diesem Hintergrund beginne ich diese Dissertation mit der kritischen Analyse einiger gängiger Ankunftszeitvorhersagen, die auf Quantenobservablen basieren, wie z. B. der Aharonov-Bohm-Kijowski-Observablen und Varianten davon. Ich hinterfrage die physikalische Adäquatheit dieser Observablen. Dabei wird insbesondere gezeigt, dass keine der vorgeschlagenen Observablen zu eichinvarianten Vorhersagen führt, d.h. keine der Observablen kann für Ankunftszeitexperimente mit externen Magnetfeldern verwendet werden. Als nächstes wird eine Klasse von messapparatabhängigen oder operational definierten Ankunftszeitvorhersagen mit vereinfachten Detektormodellen betrachtet. Es wird gezeigt, dass die betrachteten Vorschläge nicht die erwartete Ankunftszeitverteilung für ein frei bewegliches Teilchen, das in einem Quantenzustand präpariert wird, der durch eine Folge von N scharf lokalisierten, nicht überlappenden Gaußschen Wellenpaketen gegeben ist, die sich auf einen Detektor zubewegen, liefern. Es wird weiterhin gezeigt, dass eine in der Impulsspektroskopie der Ankunftszeiten implizite, semiklassische Verteilung ebenfalls nicht das erwartete Verhalten liefert. Des Weiteren werden Ankunftszeitverteilungen behandelt, die auf der Bohmschen Mechanik (De-Broglie-Bohm-Theorie oder Theorie der Führungswelle) basieren und nicht unter den oben beschriebenen Schwierigkeiten leiden. Abschließend wird ein konkretes Ankunftszeitxperiment besprochen, bei dem spinpolarisierte Elektronen entlang eines zylinderförmigen Wellenleiters beschleunigt werden und zu einem dahinter geschalteten Detektor gelangen. Detaillierte analytische und numerische Berechnungen zeigen unerwartete und erkennbar spinabhängige Bohmsche Ankunftszeitverteilungen. Die vorhergesagte Verteilung scheint eine direkte Folge eines seltenen Wellenphänomens zu sein, das als "Quantenrückfluss'' bezeichnet wird (frei übersetzt als Fluss des Wahrscheinlichkeitsstroms entgegen der Ausbreitungsrichtung). Ein Phänomen, dem in letzter Zeit viel Aufmerksamkeit geschenkt wurde. Die Stabilität des Quantenrückflusses wird für den gegebenen Aufbau des Wellenleiters für relativistische Wellenpakete, die der Dirac-Gleichung gehorchen, gezeigt. Der Quantenrückfluss besteht dort unabhängig von der anfänglichen Wellenfunktion. Das hier vorgeschlagene Ankunftszeitexperiment eignet sich gut für die Technologie der sog. Paul-Falle für einzelne Elektronen, die aktuell von einigen Forschungsgruppen entwickelt wird.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.