Fonctions de corrélation de systèmes quantiques aléatoires

C. Comte

Yves Ayant

Les théories des effets de relaxation dus au couplage spin-milieu dans les diverses techniques font apparaitre une analogie entre une fonction aléatoire stationnaire du temps et une variable quantique, quand on a affaire à un grand nombre de systèmes, formant un ensemble de Gibbs. Pour préciser cette analogie, on essaie de définir l'analogue d'une fonction de corrélation pour une variable quantique. On montre que cette fonction s'avère commode pour la résolution de certains problèmes d'élargissement de raies.

Nikolaj A. Veniaminov

On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.

Anthony Leverrier

Romain Pascalie

Tenseurs aléatoires et modèle de Sachdev-Ye-Kitaev Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.

Michel Bitbol