On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.
On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.
On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas de fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental dans les termes des espaces fonctionnels; on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme une fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique. Enfin, on fait une remarque sur l'énergie libre dans l'ensemble grand canonique et on considère certains marginales (comme la densité à une particule) de l'état fondamental.
Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
Fermions en interaction dans un milieu aléatoire : état fondamental et son entropie d'entrelacement pour un modèle simple Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
On étudie les propriétés des flux d'énergie et d'entropie de l'environnement d'un Système en Interactions Répétées lorsque les sondes sont initialement à l'équilibre thermique, dans le cas particulier où les températures et autres paramètres associés aux sondes (temps d'interaction avec le petit système, hamiltonien libre et couplage) peuvent prendre un nombre fini m de valeurs. On se retrouve alors dans une situation analogue, mais pas équivalente, à un système quantique ouvert couplé à m réservoirs thermiques.Cette analogie soulève la question suivante : peut-on montrer une Théorie de la Réponse Linéaire des courants d'énergie, une Relation de Fluctuation et d'autres propriétés thermodynamiques hors-équilibre attendues sur de tels systèmes ? Dans une situation où les paramètres associés aux sondes varient de manière cyclique, aléatoire i.i.d. ou plus généralement markovienne, on montre que c'est possible en adaptant les méthodes employées par Lebowitz et al. Les résultats prennent alors une forme particulière due à la dynamique en temps discret, et à un manque d'invariance par renversement du temps.En particulier, on se sert de la structure de semigroupe dynamique quantique émergeant de nos modèles et de la notion de semigroupe déformé utilisée notamment dans les travaux de Jaksic, Pillet et al., pour montrer les bonnes propriétés de la fonction génératrice des moments/cumulants des flux d'énergie/entropie, et appliquer les théorèmes de Gartner-Ellis et de Bryc pour montrer un Principe de Grandes Déviations, une Loi des Grands Nombres et un Théorème Central-Limite.Le cas général markovien nécessite un formalisme un peu plus poussé pour faire émerger une structure de semigroupe, à savoir le formalisme de Feynman-Kac employé notamment par Pillet, qui étend l'espace de Hilbert du système quantique étudié à son produit tensoriel par l'espace des états de la chaîne de Markov qui régit les variations des paramètres liés aux sondes. Un résultat de convergence presque sûre sur les produits de matrices aléatoires, qui généralise celui de Bruneau et al. du cas i.i.d. au cas markovien, est démontré afin de compléter l'analyse du modèle.
Nous etudions la densite d'entropie de Renyi pour une classe d'etats, dit a correlations finies, d'une chaine de spins quantiques. Grâce a ce resultat nous obtenons des bornes inferieures pour la densite d'entropie usuelle. En particulier nous appliquons cette technique a l'etude d'un etat fondamental d'un modele a spin 3/2. L'hamiltonien correspondant est defini par une interaction a plus proches voisins, invariante sous SU(2) et sous les translations. Nous montrons que cet etat est a densite d'entropie non nulle ce qui demontre que le modele a une entropie residuelle et ne satisfait donc pas a la Troisieme Loi de la Thermodynamique. La forte degenerescence de l'etat fondamental est levee en introduisant une petite perturbation de periode deux sur la chaine, toutefois invariante sous SU(2). Cette perturbation introduit un «gap» dans le spectre de l'hamiltonien, gap qui tend vers zero quand la perturbation tend vers zero
La dynamique d'un système quantique formée de particules en interaction devient rapidement impossible à décrire exactement lorsque le nombre de particules augmente. Ceci est une des principales difficultés dans la description des noyaux atomiques pouvant contenir plusieurs centaines de nucléons. Une approche simplifiée du problème consiste à supposer que certains degrés de liberté contiennent plus d'information que les autres. Une approximation classique est de se concentrer sur les degrés de liberté à un corps : la dynamique du système peut être approximativement décrite par un ensemble de particules se propageant dans un champ moyen effectif. Si l'approximation de champ moyen a permis de nombreuses avancées dans la compréhension théorique des propriétés des noyaux, il n'en reste pas moins qu'elle ne peut décrire un certain nombre de leurs propriétés, par exemple les effets des collisions directes entre les nucléons où les fluctuations quantiques des observables à un corps. L'objectif de la thèse est de rendre compte de ces corrélations au-delà de l'approximation de champ moyen afin d'améliorer la description dynamique des systèmes quantiques corrélés. Une composante de la thèse a été d'étudier les méthodes qui permettent de traiter les collisions entre les particules en incluant le terme de Born au-delà du champ moyen. Ce terme est particulièrement complexe à cause d'effets non-locaux en temps, effets dits non-markoviens. Des simplifications possibles de ce terme, en vue de futures applications, ont été étudiées. Deux approches simplificatrices ont été proposées, l'une permettant de traiter ce terme à l'aide d'équations maîtresses, l'autre en s'affranchissant des intégrales en temps. La seconde partie de la thèse a été consacrée à l'amélioration de l'approximation de champ moyen afin de décrire les fluctuations quantiques. En se basant sur des méthodes d'espace des phases existantes, une nouvelle méthode, appelée «Hybrid Phase Space Method» (HPS) a été proposée. Cette méthode est une combinaison entre la théorie de champ moyen avec fluctuations initiales et une théorie où les degrés de liberté à deux corps sont propagés explicitement. Cette nouvelle approche a été testée avec succès pour la description d'un ensemble de fermions sur réseau, i.e, le modèle de Fermi-Hubbard et a donné de bien meilleurs résultats que les approches d'espace des phases précédemment utilisées pour décrire les systèmes corrélés, notamment dans un cas de couplage faible. Si cette nouvelle approximation donne des résultats intéressants, elle reste cependant numériquement assez lourde et empirique. Cela a conduit à étudier en détail les formalismes de Wigner-Weyl et de Bohm afin d'explorer de manière plus systématique les méthodes d'espace des phases et amené à la notion de trajectoire en mécanique quantique. La conclusion de cette étude, dont les tests ont été effectués sur l'effet tunnel, est qu'il est nécessaire que les trajectoires interfèrent entre elles au cours du temps pour bien reproduire les effets quantiques.