Fermions en interaction dans un milieu aléatoire : état fondamental et son entropie d'entrelacement pour un modèle simple Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
Fermions en interaction dans un milieu aléatoire : état fondamental et son entropie d'entrelacement pour un modèle simple Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas de fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental dans les termes des espaces fonctionnels; on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme une fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique. Enfin, on fait une remarque sur l'énergie libre dans l'ensemble grand canonique et on considère certains marginales (comme la densité à une particule) de l'état fondamental.
Physique d'une impureté dans un superfluide fermionique Une impureté immergée dans un milieu comportant un grand nombre de particules représente un des paradigmes les plus importants de la physique à N-corps. Bien qu’introduit par Landau et Pekar dans le contexte de la physique du solide pour décrire un électron dans un milieu polarisable, la description d’une impureté immergée dans un milieu à N corps par une quasiparticle appelée polaron a été par la suite étendue aux gaz ultrafroids. Le premier cas étudié fut le polaron fermionique, qui correspond à une impureté dans une mer de Fermi, puis le polaron de Bose fut ensuite étudié, où le milieu environnant est un condensat de Bose-Einstein. Le polaron dans un superfluide fermionique interpole entre ces deux cas : en effet, lorsque la force des interactions est augmentée, le superfluide passe continûment d’une double mer de Fermi dans la limite dite BCS à un condensat de Bose-Einstein de paires de fermions dans la limite BEC. Ce phénomène est appelé crossover BEC-BCS. Nous avons calculé l’énergie et la masse effective du polaron au second ordre en l’interaction impureté-fermion. Comme l’énergie présente une divergence logarithmique, nous avons appliqué une méthode de renormalisation basée sur la physique à trois corps. Bien que le traitement du superfluide par la théorie de champ moyen ne permette pas d’appliquer cette méthode et ne soit pas en accord avec les valeurs attendues du côté BEC du crossover, nous montrons que l’approximation de la phase aléatoire (RPA) suffit à renormaliser l’énergie et nous donne des valeurs numériques en accord à la fois avec les comportements attendus pour l’énergie et la masse effective et des résultats expérimentaux de la littérature.
Localisation d’Anderson dans des systèmes quantiques interagissants Dans cette thèse nous étudions au niveau théorique le comportement des particules quantiques (électrons, atomes, photons, etc.) se mouvant dans un milieu désordonné et sujets à la localisation d’Anderson. Pour des particules non interagissantes, le spectre de l’énergie peut posséder un ou plus points critiques, où les fonctions d’onde étendues deviennent localisées, en donnant lieu à une transition de phase métal-isolant connue comme Transition d’Anderson.Une question fondamentale est si et comment les transitions d’Anderson survivent dans des systèmesquantiques interagissants. Dans cet ouvrage, nous étudions un modèle simple décrivant le cas de deux particules dans un réseau désordonné et sujettes à des interactions mutuelles à courte portée. En combinant des simulations numériques sur une grande échelle avec des techniques à la fonction de Green, nous montrons que les transitions d’Anderson à deux particules se produisent en trois dimensions et explorons le diagramme de phase dans l’espace de l’énergie, du désordre et de l’interaction.Cette dernière présente une structure riche, caractérisée par un double renfoncement de la limite de phase, engendrée par la compétition entre les états de diffusion et les états liés de la paire. Nous prouvons aussi que les annonces précédentes concernant l’apparition de transitions d’Anderson en deux dimensions étaient essentiellement dues à des effets de taille finie.Un deuxième problème que nous abordons dans cette thèse est celui de l’occurrence de transitions métal-isolant en deux dimensions pour une particule en la présence d’un potentiel spatialement corrélé et sujette à des interactions spin-orbite, modélisées par les couplages Rashba-Dresselhaus. On éclaire que, indépendamment des propriétés du désordre, il y a un régime où l’énergie critique dépend linéairement du paramètre de désordre. La pente et l’intercepte sont étudiées en voisinage du point de symétrie spin-hélice persistant, dans lequel la symétrie SU(2) est restaurée et la transition métal-isolant disparaît.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Description des corrélations dans la dynamique des systèmes de fermions en interaction La dynamique d'un système quantique formée de particules en interaction devient rapidement impossible à décrire exactement lorsque le nombre de particules augmente. Ceci est une des principales difficultés dans la description des noyaux atomiques pouvant contenir plusieurs centaines de nucléons. Une approche simplifiée du problème consiste à supposer que certains degrés de liberté contiennent plus d'information que les autres. Une approximation classique est de se concentrer sur les degrés de liberté à un corps : la dynamique du système peut être approximativement décrite par un ensemble de particules se propageant dans un champ moyen effectif. Si l'approximation de champ moyen a permis de nombreuses avancées dans la compréhension théorique des propriétés des noyaux, il n'en reste pas moins qu'elle ne peut décrire un certain nombre de leurs propriétés, par exemple les effets des collisions directes entre les nucléons où les fluctuations quantiques des observables à un corps. L'objectif de la thèse est de rendre compte de ces corrélations au-delà de l'approximation de champ moyen afin d'améliorer la description dynamique des systèmes quantiques corrélés. Une composante de la thèse a été d'étudier les méthodes qui permettent de traiter les collisions entre les particules en incluant le terme de Born au-delà du champ moyen. Ce terme est particulièrement complexe à cause d'effets non-locaux en temps, effets dits non-markoviens. Des simplifications possibles de ce terme, en vue de futures applications, ont été étudiées. Deux approches simplificatrices ont été proposées, l'une permettant de traiter ce terme à l'aide d'équations maîtresses, l'autre en s'affranchissant des intégrales en temps. La seconde partie de la thèse a été consacrée à l'amélioration de l'approximation de champ moyen afin de décrire les fluctuations quantiques. En se basant sur des méthodes d'espace des phases existantes, une nouvelle méthode, appelée «Hybrid Phase Space Method» (HPS) a été proposée. Cette méthode est une combinaison entre la théorie de champ moyen avec fluctuations initiales et une théorie où les degrés de liberté à deux corps sont propagés explicitement. Cette nouvelle approche a été testée avec succès pour la description d'un ensemble de fermions sur réseau, i.e, le modèle de Fermi-Hubbard et a donné de bien meilleurs résultats que les approches d'espace des phases précédemment utilisées pour décrire les systèmes corrélés, notamment dans un cas de couplage faible. Si cette nouvelle approximation donne des résultats intéressants, elle reste cependant numériquement assez lourde et empirique. Cela a conduit à étudier en détail les formalismes de Wigner-Weyl et de Bohm afin d'explorer de manière plus systématique les méthodes d'espace des phases et amené à la notion de trajectoire en mécanique quantique. La conclusion de cette étude, dont les tests ont été effectués sur l'effet tunnel, est qu'il est nécessaire que les trajectoires interfèrent entre elles au cours du temps pour bien reproduire les effets quantiques.