Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

International Journal of Quantum Chemistry

Usage de l'algégbre de lie su(n) dans l'étude des systémes quantiques á n états. IV. Geometrie du domaine des vecteurs de cohérence

Augustin Van Groenendael

Published Apr 1, 1985• 2 citations
Publisher

Abstract

Abstract The density operator of an n level quantum system is known to be a positive semidefinite, hermitian operator of trace one. In a previous article we have established, through su(n) algebras, a formalism where density operators are built from coherence vectors in a n2 − 1 dimension, real, Euclidean space. The last two conditions are then automatically satisfied. Being positive semidefinite means a restriction to the domain of coherence vectors. In this article we clarify this domain and obtain several equivalent tests to know if a given vector is part of it.

DOI
10.1002/qua.560270406

Related papers

Usage de l'algebre de lie su(n) dans l'etude des systems à n etats. VI. Equations linéaires d'evolution positive

A. Van Groenendael

Abstract The n‐level quantum system density‐operators evolution is not usually given by the Liouville equation, but by a more general one. This equation must keep density‐operators trace, hermiticity, and positiveness. These three conditions restrict the available kinds of evolution equations. In this paper we investigate linear equations for systems without memory effects. By using the first two conditions and the formalism we introduced in earlier papers, the evolution equation takes the form of a first order differential equation concerning the n2 – 1 dimension “coherence‐vector.” The third one is the essential object of this paper. Moreover, we obtain a cononical splitting of this equation into four parts that may be separately studied.

International Journal of Quantum Chemistry•Jul 1, 1986•1 citation

Usage de l'Algègbre de Lie su (n) Dans l'Etude des Systèmes Quantiques à n Etats. I. Quelques Conséquences Générales

Jacques Tillieu, Augustin Van Groenedael

Abstract In an n level quantum system there is a relation between each density operator and an element of su (n) Lie algebra. This relation is also established between Cartan's subalgebras and the complete sets of compatible observables. A scalar product is then defined in this algebra in order to introduce orthonormal bases and to simplify many calculations about expectation values of observables. Therefore simple general rules were established which show how to determine (completely or partly), from linearly independent observables, the density operator of the system.

International Journal of Quantum Chemistry•May 1, 1983•8 citations

Usage de l'algèbre de Lie su(n) dans l'étude des systèmes quantiques à n états

Augustin Van Groenendael

Les matrices hermitiques de trace nulles qui sont associees aux operateurs-densites d'un systeme a n niveaux, forment une representation de l'algebre de lie su(n). Dans cette these, nous avons cherche a utiliser les proprietes formelles de ces algebres pour etudier les proprietes des systemes a n niveaux. Nous examinons d'abord les proprietes instantanees, celles qui ne dependent pas de l'evolution du systeme : positivite des operateurs densites, vecteur de coherence d'un etat pur, vecteurs de coherence d'etats orthogonaux. Les resultats obtenus sont alors utilises pour etudier des systemes dont l'evolution est definie par un hamiltonien. Nous nous interessons en particulier aux constantes du mouvement des systemes composes et aux etats equivalents au sens de jauch. Par la suite, l'etude des systemes a evolution non-hamiltonienne et des systemes composes a necessite de completer la structure d'algebre de Lie. Nous obtenons un espace des vecteurs de coherence dont la structure est definie par un tenseur metrique, par les constantes de structure et par un autre tenseur de rang trois. Le formalisme ainsi defini a ete utilise pour obtenir des restrictions aux valeurs possibles des composantes du superoperateur de redfield. Dans le cas des equations de bloch d'un systeme a deux niveaux nous obtenons des inegalites qui doivent etre verifiees par les temps de relaxation

•Jan 1, 1987•0 citations

Usage de l'algkbre de lie su(n) dans l'etude des systèmes quantiques à n etats. III. Définition et obtention des constantes du mouvement conjoncturelles

Jacques Tillieu, Augustin Van Groenendael

Abstract A partir de I'opérateur‐densité d'un système quantique à n états, sont définies et calcultes des constantes du mouvement pour lesquelles est proposée I'appellation nouvelle de conjoncturelles. On établit qu'il en existe au maximum n − 1 linéairement indépendantes. A I'aide des sous‐algèbres su(m) (m < n ), on montre comment il est possible d'introduire, suivant la forme de I'hamiltonien, des constantes du mouvement conjoncturelles reliées aux composantes du vecteur de cohérence.

International Journal of Quantum Chemistry•Oct 1, 1984•3 citations

Usage de l'Algèbre de Lie su (n) dans l'Etude des Systèmes Quantiques à n Etats. V. Application aux Systèmes composés

Augustin Van Groenendael, Jacques Tillieu

Abstract L'usage de l'algèbre de Lie su (n), proposé dans les articles précédents, est adapté a l'étude d'un système formé de deux sous‐systèmes, respectivement à nA et nB états. On montre comment diverses notions (opérateurs‐densités réduits, problèmes de corrélation, équations d'évolution globales et réduites) peuvent être précisées grâce au formalisme introduit.

International Journal of Quantum Chemistry•Aug 1, 1985•4 citations

Usage de l'Algèbre de Lie su (n) dans l'Etude des Systèmes Quantiques à n Etats. II. Transformation de l'Espace des Observables, Problèmes d'Evolution

Jacques Tillieu, A. Van Groenendael

Abstract In the previous paper we examined, for a quantum system, the relation between its n‐dimensional state space and the su (n) Lie algebra. The present paper is devoted to relations between unitary transformations in the state space and orthogonal transformations in Lie's algebra. Two cases can happen. First, the transformations are independently chosen in the two spaces; this amounts to changing the former relation. On the other hand, the relation is maintained and the unitary operators are then related to some of the orthogonal operators. This second case is used to study the evolution operators.

International Journal of Quantum Chemistry•May 1, 1983•8 citations
Abstract The density operator of an n level quantum system is known to be a positive semidefinite, hermitian operator of trace one. In a previous article we have established, through su(n) algebras, a formalism where density operators are built from coherence vectors in a n2 − 1 dimension, real, Euclidean space. The last two conditions are then automatically satisfied. Being positive semidefinite means a restriction to the domain of coherence vectors. In this article we clarify this domain and obtain several equivalent tests to know if a given vector is part of it.
Abstract The n‐level quantum system density‐operators evolution is not usually given by the Liouville equation, but by a more general one. This equation must keep density‐operators trace, hermiticity, and positiveness. These three conditions restrict the available kinds of evolution equations. In this paper we investigate linear equations for systems without memory effects. By using the first two conditions and the formalism we introduced in earlier papers, the evolution equation takes the form of a first order differential equation concerning the n2 – 1 dimension “coherence‐vector.” The third one is the essential object of this paper. Moreover, we obtain a cononical splitting of this equation into four parts that may be separately studied.
Abstract In an n level quantum system there is a relation between each density operator and an element of su (n) Lie algebra. This relation is also established between Cartan's subalgebras and the complete sets of compatible observables. A scalar product is then defined in this algebra in order to introduce orthonormal bases and to simplify many calculations about expectation values of observables. Therefore simple general rules were established which show how to determine (completely or partly), from linearly independent observables, the density operator of the system.
Les matrices hermitiques de trace nulles qui sont associees aux operateurs-densites d'un systeme a n niveaux, forment une representation de l'algebre de lie su(n). Dans cette these, nous avons cherche a utiliser les proprietes formelles de ces algebres pour etudier les proprietes des systemes a n niveaux. Nous examinons d'abord les proprietes instantanees, celles qui ne dependent pas de l'evolution du systeme : positivite des operateurs densites, vecteur de coherence d'un etat pur, vecteurs de coherence d'etats orthogonaux. Les resultats obtenus sont alors utilises pour etudier des systemes dont l'evolution est definie par un hamiltonien. Nous nous interessons en particulier aux constantes du mouvement des systemes composes et aux etats equivalents au sens de jauch. Par la suite, l'etude des systemes a evolution non-hamiltonienne et des systemes composes a necessite de completer la structure d'algebre de Lie. Nous obtenons un espace des vecteurs de coherence dont la structure est definie par un tenseur metrique, par les constantes de structure et par un autre tenseur de rang trois. Le formalisme ainsi defini a ete utilise pour obtenir des restrictions aux valeurs possibles des composantes du superoperateur de redfield. Dans le cas des equations de bloch d'un systeme a deux niveaux nous obtenons des inegalites qui doivent etre verifiees par les temps de relaxation
Abstract A partir de I'opérateur‐densité d'un système quantique à n états, sont définies et calcultes des constantes du mouvement pour lesquelles est proposée I'appellation nouvelle de conjoncturelles. On établit qu'il en existe au maximum n − 1 linéairement indépendantes. A I'aide des sous‐algèbres su(m) (m < n ), on montre comment il est possible d'introduire, suivant la forme de I'hamiltonien, des constantes du mouvement conjoncturelles reliées aux composantes du vecteur de cohérence.
Abstract In the previous paper we examined, for a quantum system, the relation between its n‐dimensional state space and the su (n) Lie algebra. The present paper is devoted to relations between unitary transformations in the state space and orthogonal transformations in Lie's algebra. Two cases can happen. First, the transformations are independently chosen in the two spaces; this amounts to changing the former relation. On the other hand, the relation is maintained and the unitary operators are then related to some of the orthogonal operators. This second case is used to study the evolution operators.