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The European Physical Journal A

Funktionalmittelwerte in der statistischen Theorie von quantenmechanischen und klassischen Systemen vieler Teilchen

J. Zittartz

Published Jun 1, 1964• 11 citations
Publisher
DOI
10.1007/bf01380541

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Diese Dissertation entwickelt eine neuartige operative Perspektive auf das Verhalten quantenmechanischer Teilchen. Der Ansatz folgt der operativen Rekonstruktion der Quantentheorie, in der empirische Szenarien durch Präparationen, Transformationen und Messungen modelliert werden. In der Praxis unterscheiden wir bislang zwei Familien quantenmechanischer Teilchen nach ihrem statistischen Verhalten: Bosonen und Fermionen. Der Weg, auf dem sich diese beiden Klassen in der Literatur herausgebildet haben, geht der modernen Quantentheorie historisch voraus und lässt sich auf Probleme der Ununterscheidbarkeit von Teilchen zurückführen, die bereits in der klassischen statistischen Mechanik auftreten. Die physikalischen Prinzipien jedoch, die allein diese beiden Typen von Teilchen im Universum auszeichnen sollen, bleiben unklar. Das Ziel dieser Dissertation ist es, zu klären, warum das so ist. Kapitel 1 bietet einen Überblick darüber, wie Ununterscheidbarkeit und Identität im Laufe eines Jahrhunderts behandelt wurden, einschließlich der Symmetrisationspostulate sowie algebraischer, topologischer und raumzeitlicher Argumente in der Quantenfeldtheorie. Kapitel 2 führt eine vollständige Charakterisierung derjenigen Teilchenstatistiken ein, die mit universellen operativen Szenarien vereinbar sind. Diese Szenarien erzwingen Symmetrieeinschränkungen auf den zugänglichen Quantenzustandsräumen, die sich aus der Wirkungsweise von Interferometern auf Einzelteilchen und der Detektion mehrerer Teilchen ergeben. Unter vollständiger Kenntnis der inneren Freiheitsgrade bleiben nur Bosonen und Fermionen konsistent. Wenn man diese Bedingung lockert, treten jedoch neue Klassen von quantenmechanischen Teilchen zutage, die wir Transtatistiken nennen. Sie sind vollständig mit der Quantentheorie vereinbar, wurden jedoch bislang in der Literatur nicht diskutiert. Kapitel 3 ordnet diese Ergebnisse dem Übergang von der ersten zur zweiten Quantisierung zu und untersucht, ob die in Kapitel 2 eingeführten alternativen Statistiken auf diesem Wege erzeugt werden können. Wir konstruieren Vielteilchenzustände als Äquivalenzklassen von Zuständen identischer, aber unterscheidbarer Konstituenten und erhalten quadratische Algebren, die transtatistische Zustandsräume reproduzieren und zugleich neue Werkzeuge für Vielteilchensysteme und letztlich auch für die Feldtheorie bereitstellen. Dieses Projekt bildete den zentralen Teil meiner Promotion unter der Betreuung von Borivoje Dakic.

•Jul 13, 2026•0 citations

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Wir sprachen bereits vom „klassischen Ideal“ der Wissenschaft als Weltbild, in denrdie Gesetze der Bewegung von den Newtonschen zwar abweichen können, aber doch vom gleichen Typ sind: Die Grundbegriffe sind die relative Bewegung und die Wechselwirkung von Teilchen (und von Körpern, die aus ihnen zusammengesetzt sind). Der Zusammenstoß der Newtonschen Mechanik mit der Thermodynamik endete zugunsten der ersteren und des „klassischen Ideals“ im allgemeinen. Die Newtonsche Mechanik behauptete ihre Stellung im Hintergrund der statistischen Gesetze der Thermodynamik. Dies konnte jedoch noch nicht die absolute Genauigkeit der Newtonschen Variante des klassischen Ideals garantieren. Andere Konfrontationen (z. B. mit der Elektrodynamik) erzwangen andere Varianten.

Birkhäuser Basel eBooks•Jan 1, 1977•0 citations

Grundlagen der statistischen Mechanik und Quantenmechanik

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Quantum Markov processes and applications in many-body systems

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Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung von quantenmechanischen und klassischen Markov-Prozessen und deren Anwendung im Bereich der stark korrelierten Vielteilchensysteme. Unter einem Markov-Prozess versteht man eine spezielle Art eines stochastischen Prozesses, dessen weitere dynamische Entwicklung unabhängig ist von der Vorgeschichte seiner Entwicklung und nur von der derzeitigen Konfiguration abhängt. Die Anwendung von Markov-Prozessen im Bereich der statistischen Mechanik von klassischen Vielteilchensystemen hat eine lange Geschichte. Markov-Prozesse dienen nicht nur der Beschreibung der Dynamik von stochastischen Systemen, sondern liefern vielmehr auch eine sehr praktische Methode, mit dereren Hilfe grundlegende Eigenschaften komplexer Vielteilchenprobleme in Form eines probabilistischen Algorithmus berechnet werden können. Ziel dieser Arbeit ist es das Verhalten von quantenmechanischen Markov Prozessen, dies sind Markov-Prozesse, welchen ein quantenmechanischer Konfigurationsraum zu Grunde liegt, zu untersuchen und mit deren Hilfe komplexe Vielteilchensysteme besser zu verstehen. Darüber hinaus formulieren wir einen Quantenalgorithmus, mit dessen Hilfe es möglich ist, die thermischen- und Grundzustandseigenschaften von quantenmechanischen Vielteilchensystemen zu berechnen. Nachdem wir eine kurze Einführung in das Feld der quantenmechanischen Markov-Prozesse gegeben haben, untersuchen wir deren Konvergenzeigenschaften. Wir finden Schranken für die Konvergenzraten der quantenmechanischen Prozesse, basierend auf einer Verallgemeinerung von geometrischen Schranken, welche für klassische Prozesse gefunden wurden. Wir verallgemeinern ein Abstandsmaß, die Chi-Quadrat Divergenz für nicht kommutative Wahrscheinlichkeitsräume, welches unseren Untersuchungen zu Grunde liegt. Diese Divergenz ermöglicht auch eine Verallgemeinerung der detaillierten Balance für quantenmechanische Prozesse. Danach konstruieren wir den Quantenalgorithmus, der als natürliche Verallgemeinerung des Metropolisalgorithmus für quantenmechanische Hamiltonoperatoren verstanden werden kann. Wir beabsichtigen damit zu zeigen, dass ein Quantencomputer in der Lage ist, als universeller Quantensimulator zu fungieren, welcher nicht nur die Dynamik eines Quantensystems beschreiben kann, sondern auch den Zugang zu statischen Berechnungen ermöglicht. Danach untersuchen wir die Korrelationseigenschaften von klassischen Nichtgleichgewichtszuständen mit Methoden der Quanteninformationstheorie. Wir konstruieren eine Klasse von Matrix-Produkt-Zuständen, deren Korrelationen anhand von klassischen Markov-Prozessen verstanden werden können. Schließlich untersuchen wir die Transporteigenschaften eines stationären Nichtgleichgewichtszustandes. Die dynamische Gleichung ist so konstruiert, dass der Transport je nach Parameterwahl entweder hauptsächlich stochastisch oder hauptsächlich kohärent stattfindet. Wir können somit die unterschiedlichen Formen des Transports innerhalb eines Modells miteinander vergleichen.

•Jan 1, 2010•0 citations
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Wir sprachen bereits vom „klassischen Ideal“ der Wissenschaft als Weltbild, in denrdie Gesetze der Bewegung von den Newtonschen zwar abweichen können, aber doch vom gleichen Typ sind: Die Grundbegriffe sind die relative Bewegung und die Wechselwirkung von Teilchen (und von Körpern, die aus ihnen zusammengesetzt sind). Der Zusammenstoß der Newtonschen Mechanik mit der Thermodynamik endete zugunsten der ersteren und des „klassischen Ideals“ im allgemeinen. Die Newtonsche Mechanik behauptete ihre Stellung im Hintergrund der statistischen Gesetze der Thermodynamik. Dies konnte jedoch noch nicht die absolute Genauigkeit der Newtonschen Variante des klassischen Ideals garantieren. Andere Konfrontationen (z. B. mit der Elektrodynamik) erzwangen andere Varianten.
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung von quantenmechanischen und klassischen Markov-Prozessen und deren Anwendung im Bereich der stark korrelierten Vielteilchensysteme. Unter einem Markov-Prozess versteht man eine spezielle Art eines stochastischen Prozesses, dessen weitere dynamische Entwicklung unabhängig ist von der Vorgeschichte seiner Entwicklung und nur von der derzeitigen Konfiguration abhängt. Die Anwendung von Markov-Prozessen im Bereich der statistischen Mechanik von klassischen Vielteilchensystemen hat eine lange Geschichte. Markov-Prozesse dienen nicht nur der Beschreibung der Dynamik von stochastischen Systemen, sondern liefern vielmehr auch eine sehr praktische Methode, mit dereren Hilfe grundlegende Eigenschaften komplexer Vielteilchenprobleme in Form eines probabilistischen Algorithmus berechnet werden können. Ziel dieser Arbeit ist es das Verhalten von quantenmechanischen Markov Prozessen, dies sind Markov-Prozesse, welchen ein quantenmechanischer Konfigurationsraum zu Grunde liegt, zu untersuchen und mit deren Hilfe komplexe Vielteilchensysteme besser zu verstehen. Darüber hinaus formulieren wir einen Quantenalgorithmus, mit dessen Hilfe es möglich ist, die thermischen- und Grundzustandseigenschaften von quantenmechanischen Vielteilchensystemen zu berechnen. Nachdem wir eine kurze Einführung in das Feld der quantenmechanischen Markov-Prozesse gegeben haben, untersuchen wir deren Konvergenzeigenschaften. Wir finden Schranken für die Konvergenzraten der quantenmechanischen Prozesse, basierend auf einer Verallgemeinerung von geometrischen Schranken, welche für klassische Prozesse gefunden wurden. Wir verallgemeinern ein Abstandsmaß, die Chi-Quadrat Divergenz für nicht kommutative Wahrscheinlichkeitsräume, welches unseren Untersuchungen zu Grunde liegt. Diese Divergenz ermöglicht auch eine Verallgemeinerung der detaillierten Balance für quantenmechanische Prozesse. Danach konstruieren wir den Quantenalgorithmus, der als natürliche Verallgemeinerung des Metropolisalgorithmus für quantenmechanische Hamiltonoperatoren verstanden werden kann. Wir beabsichtigen damit zu zeigen, dass ein Quantencomputer in der Lage ist, als universeller Quantensimulator zu fungieren, welcher nicht nur die Dynamik eines Quantensystems beschreiben kann, sondern auch den Zugang zu statischen Berechnungen ermöglicht. Danach untersuchen wir die Korrelationseigenschaften von klassischen Nichtgleichgewichtszuständen mit Methoden der Quanteninformationstheorie. Wir konstruieren eine Klasse von Matrix-Produkt-Zuständen, deren Korrelationen anhand von klassischen Markov-Prozessen verstanden werden können. Schließlich untersuchen wir die Transporteigenschaften eines stationären Nichtgleichgewichtszustandes. Die dynamische Gleichung ist so konstruiert, dass der Transport je nach Parameterwahl entweder hauptsächlich stochastisch oder hauptsächlich kohärent stattfindet. Wir können somit die unterschiedlichen Formen des Transports innerhalb eines Modells miteinander vergleichen.