Hamilton-Jacobis partielle Differentialgleichung. Wirkungs- und Winkelvariable. Die Quantenbedingungen

Gottfried Falk

Torsten Fließbach

Wir bestimmen diejenige kanonische Transformation, für die die neue Hamiltonfunktion (28.12) verschwindet: 29.1 $$ H'\left( {Q,P,t} \right) = H\left( {q,p,t} \right) + \frac{{\partial W\left( {q,Q,t} \right)}}{{\partial t}}\mathop = \limits^! 0 $$ Die Erzeugende der Transformation wird hier mit $$ G = W\left( {q,Q,t} \right) $$ bezeichnet; wie wir sehen werden, ist W für die tatsächliche Bahn gleich der Wirkung. Die Bedingung (29.1) führt zu einer partiellen Differenzialgleichung für W(q,Q, t), der Hamilton-Jacobi-Gleichung. Diese Gleichung kann als Grundgleichung der Mechanik aufgefasst werden. Sie ist ein wichtiger Ausgangspunkt für die Untersuchung der Relationen zwischen Mechanik, Optik und Quantenmechanik.

Wolfgang Nolting

Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorigen Kapitels zur Observablen Drehimpuls soll nun wieder ein Abschnitt folgen, in dem wir anhand von konkreten und wichtigen Beispielen praktische Lösungsmethoden erarbeiten wollen. Das theoretisch-quantenmechanische Grundproblem liegt stets in der Lösung der Schrödinger-Gleichung, d. h. in dem Eigenwertproblem des Hamilton-Operators. Die Schrödinger-Gleichung ist im allgemeinen eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und damit fast nie streng lösbar. Für eindimensionale Problemstellungen geht sie dagegen in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, die mathematisch wesentlich einfacher zu behandeln ist und in Kapitel 4 in der Tat für einige einfache Modellsysteme exakt gelöst werden konnte. Eine bisweilen erfolgreiche Lösungsmethode zielt deshalb darauf ab, komplizierte mehrdimensionale Schrödinger-Gleichungen durch geschickte Wahl der Variablen in mehrere unabhängige, gewöhnliche Differentialgleichungen zu zerlegen. Man nennt dieses Verfahren Separation der Variablen, das wir im übrigen schon an vielen Stellen dieses Grundkurs: Theoretische Physik angewendet haben. Natürlich lassen sich nicht alle Probleme separieren. Es gelingt allerdings insbesondere bei Teilchenbewegungen in einem Zentralpotential.

Anatoli V. Babin, Alexander Figotin

Claude Gignoux, BERNARD SILVESTRE-BRAC

A. P. Iwanow