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Spektrum Akademischer Verlag eBooks

Hamilton-Jacobi-Gleichung

Torsten Fließbach

Published Jan 1, 2009• 1 citation
Publisher

Abstract

Wir bestimmen diejenige kanonische Transformation, für die die neue Hamiltonfunktion (28.12) verschwindet: 29.1 $$ H'\left( {Q,P,t} \right) = H\left( {q,p,t} \right) + \frac{{\partial W\left( {q,Q,t} \right)}}{{\partial t}}\mathop = \limits^! 0 $$ Die Erzeugende der Transformation wird hier mit $$ G = W\left( {q,Q,t} \right) $$ bezeichnet; wie wir sehen werden, ist W für die tatsächliche Bahn gleich der Wirkung. Die Bedingung (29.1) führt zu einer partiellen Differenzialgleichung für W(q,Q, t), der Hamilton-Jacobi-Gleichung. Diese Gleichung kann als Grundgleichung der Mechanik aufgefasst werden. Sie ist ein wichtiger Ausgangspunkt für die Untersuchung der Relationen zwischen Mechanik, Optik und Quantenmechanik.

DOI
10.1007/978-3-8274-2188-3_30

Related papers

Die klassische Mechanik als Transformationstheorie

Horst Tietz

Abstract Die Hamiltonsche Theorie kann vollständig durch kanonische Transformationen beschrieben werden. Das ist nichts Neues, denn der Übergang zur Matrizenmechanik beruht hierauf. Dennoch scheint eine auf dieser Auffassung basierende Darstellung in der Literatur zu fehlen, obgleich sie in anschaulicher und elementarer Form möglich ist. Dies zu zeigen, wird hier versucht.

Zeitschrift für Naturforschung A•Aug 1, 1951•1 citation

Überlegungen zur Quantenmechanik für Elektrotechniker: von Kelvins Telegraphengleichung zur statischen Ladungsverteilung

Jürgen Michael Grimm

Die Quantenmechanik wird oft als revolutionärer Bruch mit der klassischen Physik dargestellt – eine mysteriöse Theorie, die nur durch abstrakte Postulate und philosophische Interpretationen verständlich wird. Doch diese Darstellung übersieht, dass ihre mathematischen Grundlagen in der klassischen Elektrotechnik verankert sind. Ausgehend von der Telegraphengleichung, die Lord Kelvin bereits 1855 für transatlantische Kupferkabel formulierte, zeigen diese Überlegungen, wie die Quantenmechanik nicht als Bruch, sondern als logische Weiter-entwicklung bekannter Konzepte verstanden werden kann. Die Telegraphengleichung vereint in sich bereits alle Elemente der nichtrelativistischen Quantenmechanik: Im Grenzfall verlustfreier Leitungen wird sie zur Wellengleichung, bei starker Dämpfung zur Diffusionsgleichung und mit einer rein imaginären Dämpfungskonstante – einer Wick-Rotation – zur Schrödinger-Gleichung. Die zugrundeliegende mathematische Struktur dieser Gleichung, die universelle Theorie der Eigenfunktionen und Eigenwerte, wurde bereits von Sturm und Liouville im 19. Jahrhundert ausgearbeitet. Die dabei auftretenden speziellen Funktionen, wie Hermite-, Legendre- oder Laguerre-Polynome, waren lange vor der Quanten-mechanik bekannt und wurden für klassische Anwendungen entwickelt. Was die Schrödinger-Gleichung liefert, lässt sich statt als abstrakte Wahrscheinlichkeit pragmatisch als statische Ladungsverteilung interpretieren, hier also auf ihren didaktischen Kern reduziert, gleich ob für ein einzelnes Atom oder über das Bloch-Theorem, für ein periodisches Kristallgitter. Die vier scheinbar getrennten Begegnungen mit der Quantenmechanik im Elektrotechnik-Studium – Dotierung, Bipolartransistor, MOS-Transistor und Nanoelektronik – sind keine neuen Prinzipien, sondern Anwendungen derselben Ladungsverteilungs-Logik. Die Quantenmechanik, die ein Elektrotechniker benötigt, ist somit keine neue Physik, sondern die konsequente Anwendung bekannter Mathematik auf atomare Dimensionen. Sie ist kein Mysterium, sondern angewandte Leitungstheorie.

•Jul 13, 2026•0 citations

Die Analogie zwischen Hamilton-Jacobi-Theorie und quantenmechanischem Eigenwertproblem

Gottfried Falk

The European Physical Journal A•Dec 1, 1952•4 citations

Nichtgleichgewichtsthermodynamik und statistische Mechanik dissipativer diskreter Systeme

S. Gümbel

In der Arbeit wird ein dissipatives diskretes System untersucht. Ein dissipatives diskretes System besteht aus dem System selber und seiner Wechselwirkung mit seiner Umgebung. Wird die Wechselwirkung mit der Umgebung ausgeschaltet, so spricht man von einem isolierten diskreten System. Ein isoliertes System kann man auf verschiedenen Stufen beschreiben. Im ersten Teil der Arbeit wird ein solches System auf der phänomenologischen Ebene untersucht. Auf der phänomenologischen Ebene führt diese Untersuchung zu dem Schluss, dass wir die untersuchten phänomenologischen Modelle sowohl in der rationalen Thermodynamik als auch in GENERIC darstellen können. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Grundzüge der klassischen Quantenthermodynamik dargestellt. Der Ausgangspunkt dieser Theorie ist, dass eine ausgewählte Menge makroskopischer Observablen existiert. Diese Menge wird Beobachtungsebene genannt. Weiterhin soll eine geeignete Abbildung existieren, die die Observablen auf die Beobachtungsebene abbildet. Mit dieser Abbildung erhält man eine Dynamik für die Wahrscheinlichkeitsdichte auf der Beobachtungsebene und damit eine Möglichkeit die Entropie einzuführen. Die ungeklärten Fragen dieser Theorie sind aber zum einen: Ist die Entropieproduktion nicht negativ?; und zum anderem: Was zeichnet die makroskopischen Observablen aus?; bzw. kann man wenigstens für die makroskopische Zeitableitung der Erwartungswerte der Observablen zeigen, dass sie gleich den mikroskopischen Erwartungswerte sind. Deshalb wird im dritten Teil der Arbeit Dissipation in die klassische statistische Mechanik durch ein Potential eingeführt. Die konsequente Ableitung befindet sich aber noch in der heuristischen Phase. Deshalb werden die Bewegungsgleichungen postuliert. Aus diesem Postulat folgt dann aber, dass wir die extsc{Generic}-Struktur auf der mikroskopischen klassischen Ebene wiederfinden. Sie gilt hier für alle Observablen. Der Versuch, diese Struktur auf die makroskopische Ebene zu übertragen, scheint im Prinzip möglich.

•May 17, 2004•1 citation

Das Variationsverfahren

Paul Gombás

Ganz ähnlich wie die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen des Hamiltonschen Variationsprinzips sind, ist die Schrödingersche Grundgleichung der Wellenmechanik die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung eines Variationsprinzips, dem man nach Schrödiger für ein System, das aus N Teilchen besteht, folgende Gestalt geben kann 31.1 δ ∫ Ldτ=0 ]] <![CDATA[$$\delta \int {Ld\tau = 0} $$ , wo 31.2 L= ∑ i=1 N h 2 8 π 2 m i ( ∂φ* ∂ x i ⋅ ∂φ ∂ x i + ∂φ* ∂ y i ⋅ ∂φ ∂ y i + ∂φ* ∂ z i ⋅ ∂φ ∂ z i )+Uφ*φ ]] <![CDATA[$$L = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{h^2}}}{{8{\pi ^2}{m_i}}}} \left( {\frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {x_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {x_i}}} + \frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {y_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {y_i}}} + \frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {z_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {z_i}}}} \right) + U\varphi *\varphi $$ ist und die Wellenfunktion ψ der folgenden Nebenbedingung zu genügen hat 31.3 ∫ ψ*ψdτ=1 ]] <![CDATA[$$\int {\psi *\psi d\tau = 1} $$ . m i bedeutet die Masse des i-ten Teilchens und U die potentielle Energie des Systems.

Birkhäuser Basel eBooks•Jan 1, 1950•1 citation

Drehimpulse der Quantenphysik

Gerd Otter, Raimund Honecker

Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1993•0 citations
Wir bestimmen diejenige kanonische Transformation, für die die neue Hamiltonfunktion (28.12) verschwindet: 29.1 H′(Q,P,t)=H(q,p,t)+∂W(q,Q,t)∂t=!0H'\left( {Q,P,t} \right) = H\left( {q,p,t} \right) + \frac{{\partial W\left( {q,Q,t} \right)}}{{\partial t}}\mathop = \limits^! 0H′(Q,P,t)=H(q,p,t)+∂t∂W(q,Q,t)​=!0 Die Erzeugende der Transformation wird hier mit G=W(q,Q,t)G = W\left( {q,Q,t} \right)G=W(q,Q,t) bezeichnet; wie wir sehen werden, ist W für die tatsächliche Bahn gleich der Wirkung. Die Bedingung (29.1) führt zu einer partiellen Differenzialgleichung für W(q,Q, t), der Hamilton-Jacobi-Gleichung. Diese Gleichung kann als Grundgleichung der Mechanik aufgefasst werden. Sie ist ein wichtiger Ausgangspunkt für die Untersuchung der Relationen zwischen Mechanik, Optik und Quantenmechanik.
Die Quantenmechanik wird oft als revolutionärer Bruch mit der klassischen Physik dargestellt – eine mysteriöse Theorie, die nur durch abstrakte Postulate und philosophische Interpretationen verständlich wird. Doch diese Darstellung übersieht, dass ihre mathematischen Grundlagen in der klassischen Elektrotechnik verankert sind. Ausgehend von der Telegraphengleichung, die Lord Kelvin bereits 1855 für transatlantische Kupferkabel formulierte, zeigen diese Überlegungen, wie die Quantenmechanik nicht als Bruch, sondern als logische Weiter-entwicklung bekannter Konzepte verstanden werden kann. Die Telegraphengleichung vereint in sich bereits alle Elemente der nichtrelativistischen Quantenmechanik: Im Grenzfall verlustfreier Leitungen wird sie zur Wellengleichung, bei starker Dämpfung zur Diffusionsgleichung und mit einer rein imaginären Dämpfungskonstante – einer Wick-Rotation – zur Schrödinger-Gleichung. Die zugrundeliegende mathematische Struktur dieser Gleichung, die universelle Theorie der Eigenfunktionen und Eigenwerte, wurde bereits von Sturm und Liouville im 19. Jahrhundert ausgearbeitet. Die dabei auftretenden speziellen Funktionen, wie Hermite-, Legendre- oder Laguerre-Polynome, waren lange vor der Quanten-mechanik bekannt und wurden für klassische Anwendungen entwickelt. Was die Schrödinger-Gleichung liefert, lässt sich statt als abstrakte Wahrscheinlichkeit pragmatisch als statische Ladungsverteilung interpretieren, hier also auf ihren didaktischen Kern reduziert, gleich ob für ein einzelnes Atom oder über das Bloch-Theorem, für ein periodisches Kristallgitter. Die vier scheinbar getrennten Begegnungen mit der Quantenmechanik im Elektrotechnik-Studium – Dotierung, Bipolartransistor, MOS-Transistor und Nanoelektronik – sind keine neuen Prinzipien, sondern Anwendungen derselben Ladungsverteilungs-Logik. Die Quantenmechanik, die ein Elektrotechniker benötigt, ist somit keine neue Physik, sondern die konsequente Anwendung bekannter Mathematik auf atomare Dimensionen. Sie ist kein Mysterium, sondern angewandte Leitungstheorie.
In der Arbeit wird ein dissipatives diskretes System untersucht. Ein dissipatives diskretes System besteht aus dem System selber und seiner Wechselwirkung mit seiner Umgebung. Wird die Wechselwirkung mit der Umgebung ausgeschaltet, so spricht man von einem isolierten diskreten System. Ein isoliertes System kann man auf verschiedenen Stufen beschreiben. Im ersten Teil der Arbeit wird ein solches System auf der phänomenologischen Ebene untersucht. Auf der phänomenologischen Ebene führt diese Untersuchung zu dem Schluss, dass wir die untersuchten phänomenologischen Modelle sowohl in der rationalen Thermodynamik als auch in GENERIC darstellen können. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Grundzüge der klassischen Quantenthermodynamik dargestellt. Der Ausgangspunkt dieser Theorie ist, dass eine ausgewählte Menge makroskopischer Observablen existiert. Diese Menge wird Beobachtungsebene genannt. Weiterhin soll eine geeignete Abbildung existieren, die die Observablen auf die Beobachtungsebene abbildet. Mit dieser Abbildung erhält man eine Dynamik für die Wahrscheinlichkeitsdichte auf der Beobachtungsebene und damit eine Möglichkeit die Entropie einzuführen. Die ungeklärten Fragen dieser Theorie sind aber zum einen: Ist die Entropieproduktion nicht negativ?; und zum anderem: Was zeichnet die makroskopischen Observablen aus?; bzw. kann man wenigstens für die makroskopische Zeitableitung der Erwartungswerte der Observablen zeigen, dass sie gleich den mikroskopischen Erwartungswerte sind. Deshalb wird im dritten Teil der Arbeit Dissipation in die klassische statistische Mechanik durch ein Potential eingeführt. Die konsequente Ableitung befindet sich aber noch in der heuristischen Phase. Deshalb werden die Bewegungsgleichungen postuliert. Aus diesem Postulat folgt dann aber, dass wir die extsc{Generic}-Struktur auf der mikroskopischen klassischen Ebene wiederfinden. Sie gilt hier für alle Observablen. Der Versuch, diese Struktur auf die makroskopische Ebene zu übertragen, scheint im Prinzip möglich.
Ganz ähnlich wie die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen des Hamiltonschen Variationsprinzips sind, ist die Schrödingersche Grundgleichung der Wellenmechanik die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung eines Variationsprinzips, dem man nach Schrödiger für ein System, das aus N Teilchen besteht, folgende Gestalt geben kann 31.1 δ ∫ Ldτ=0 ]] <![CDATA[δ∫Ldτ=0\delta \int {Ld\tau = 0} δ∫Ldτ=0 , wo 31.2 L= ∑ i=1 N h 2 8 π 2 m i ( ∂φ* ∂ x i ⋅ ∂φ ∂ x i + ∂φ* ∂ y i ⋅ ∂φ ∂ y i + ∂φ* ∂ z i ⋅ ∂φ ∂ z i )+Uφ*φ ]] <![CDATA[L=∑i=1Nh28π2mi(∂φ∗∂xi⋅∂φ∂xi+∂φ∗∂yi⋅∂φ∂yi+∂φ∗∂zi⋅∂φ∂zi)+Uφ∗φL = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{h^2}}}{{8{\pi ^2}{m_i}}}} \left( {\frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {x_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {x_i}}} + \frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {y_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {y_i}}} + \frac{{\partial \varphi *}}{{\partial {z_i}}} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {z_i}}}} \right) + U\varphi *\varphi L=i=1∑N​8π2mi​h2​(∂xi​∂φ∗​⋅∂xi​∂φ​+∂yi​∂φ∗​⋅∂yi​∂φ​+∂zi​∂φ∗​⋅∂zi​∂φ​)+Uφ∗φ ist und die Wellenfunktion ψ der folgenden Nebenbedingung zu genügen hat 31.3 ∫ ψ*ψdτ=1 ]] <![CDATA[∫ψ∗ψdτ=1\int {\psi *\psi d\tau = 1} ∫ψ∗ψdτ=1 . m i bedeutet die Masse des i-ten Teilchens und U die potentielle Energie des Systems.
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.