Es wird eine Kennzeichnung der Räume mit pythagoreischer Metrik angegeben, welche über die Ergebnisse von Helmholtz und Weyl insofern hinausgeht, als außer dem euklidischen und Riemannschen Raum der klassischen und relativistischen Physik auch die quadratische Metrik im quantenmechanischen Zustandsraum erfaßt wird. Die Kennzeichnung beruht auf einem Isotropiepostulat, das im Zustandsraum in die Forderung der Gleichberechtigung aller Zustände vor der Beobachtung übergeht.
Es wird eine Kennzeichnung der Räume mit pythagoreischer Metrik angegeben, welche über die Ergebnisse von Helmholtz und Weyl insofern hinausgeht, als außer dem euklidischen und Riemannschen Raum der klassischen und relativistischen Physik auch die quadratische Metrik im quantenmechanischen Zustandsraum erfaßt wird. Die Kennzeichnung beruht auf einem Isotropiepostulat, das im Zustandsraum in die Forderung der Gleichberechtigung aller Zustände vor der Beobachtung übergeht.
Wir befinden uns an der Schwelle einer Revolution zu einer Quantentechnologie, die nicht nur auf der passiven Nutzung von Quanteneffekten, sondern auf ihrer aktiven Kontrolle beruht.An vorderster Front beinhaltet dies die Realisierung eines Quantencomputers.Das Kodieren von Informationen in Quantenzuständen als "Qubits" erlaubt es, Verschränkung und Quantensuperposition zu nutzen, um Rechnungen durchzuführen, die auf einem klassischen Computer unpraktikabel sind.Eine zentrale Schwierigkeit ist es dabei, Dekohärenz zu vermeiden -der Verlust von Quanteneigenschaften aufgrund ungewollter Wechselwirkung mit der Umgebung.Diese Arbeit thematisiert die Realisierung verschränkender Zwei-Qubit-Gatter, die sowohl gegenüber Dekohärenz als auch klassischen Störeinflüssen robust sind.Sie behandelt dabei drei Aspekte: die Nutzung effizienter numerischer Methoden zur Simulation und optimaler Kontrolle offener und geschlossener Quantensysteme, die Rolle fortgeschrittener Optimierungsfunktionale zur Begünstigung von Robustheit, sowie die Anwendung dieser Techniken auf zwei führende Umsetzungen von Quantencomputern, gefangene Atome und supraleitende Schaltkreise.Nach einem Überblick über die theoretischen und numerischen Grundlagen beginnt der zentrale Teil dieser Arbeit mit der Idee einer Ensembleoptimierung, um Robustheit sowohl gegenüber klassischen Fluktuationen als auch Dekohärenz zu erreichen.Für das Beispiel eines kontrollierten Phasengatters auf gefangenen Rydberg-Atomen wird gezeigt, dass Gatter erreichbar sind, die um mindestens eine Größenordnung robuster sind als der beste bekannte analytische Ansatz.Darüber hinaus bleibt diese Robustheit selbst dann erhalten, wenn die Gatterdauer signifikant gegenüber der kurzmöglichsten Dauer des analytischen Gatters verkürzt wird.Supraleitenden Schaltkreise sind eine besonders vielversprechende Architektur zur Implementierung eines Quantencomputers.Ihre Flexibilität wird durch Optimierungen sowohl für diagonale als auch nicht-diagonale Gatter gezeigt.Um Robustheit gegenüber Dekohärenz zu gewährleisten, ist es essentiell, das Gatter in so kurzer Zeit wie möglich zu realisieren.Das Erreichen dieses Ziels wird durch die Optimierung hin zu einem beliebigen v perfekten Verschränker erleichtert, basierend auf einer geometrischen Theorie der Zwei-Qubit-Gatter.Für das Beispiel supraleitender Qubits wird gezeigt, dass dieser Ansatz zu kürzeren Gatterzeiten, höheren Fidelitäten, sowie schnellerer Konvergenz führt, im Vergleich zur Optimierung hin zu vorausbestimmten, festen Zwei-Qubit-Gattern.Eine Optimierung im Liouville-Raum zur sauberen Berücksichtigung von Dekohärenzeffekten ist mit erheblichen numerischen Herausforderungen verbunden, da die Dimension im Vergleich zum Hilbert-Raum quadratisch wächst.Es kann allerdings gezeigt werden, dass es für ein unitäres Optimierungsziel ausreichend ist, höchstens drei Zustände anstelle der vollen Basis des Liouville-Raums zu propagieren.Sowohl für das Beispiel gefangener Rydberg-Atome also auch für supraleitende Qubits wird die erfolgreiche Optimierung von Quantengattern gezeigt, mit einem numerischen Aufwand, der weit unterhalb der bisher angenommenen Untergrenze liegt.Insgesamt zeigen die Ergebnisse dieser Arbeit zu einem umfassenden Gerüsts zur Optimierung robuster Quantengatter, und bereiten den Weg für die mögliche Realisierung eines Quantencomputers.vi
In der vorliegenden Arbeit „Schrödinger's Equation as Newtons's Law of Motion“ werden neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Transporttheorie vorgestellt und gezeigt wie die wohl bekannteste Gleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung als Newtonsche Gleichung geschrieben werden kann. Also als eine klassische Bewegungsgleichung. Zu Beginn werden die für die Arbeit wichtigsten Ergebnisse der Transporttheorie behandelt. Die Existenz einer optimalen Transportstrategie im Sinne von Kantorovich steht ganz zu Beginn. Es folgen die Definition einer Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und wichtige Eigenschaften dieser Metrik (z.B.: Metrisierung der schwachen Topologie). Danach wird aus der Existenz einer Lösung des Transportproblems im Sinne von Kantorovich die Existenz einer optimalen Transportabbildung hergeleitet. Eine solche Transportabbildung wird auch Lösung des Mongeproblems genannt. Die Herleitung dieser optimalen Abbildung erfolgt nur für den speziellen Fall der für die Arbeit wichtigen Kostenfunktion (die Distanzfunktion des Grundraums zum Quadrat). Mit Hilfe dieser Abbildung werden dann die wichtigsten Resultate für die angestrebte Geometrisierung des Raumes der Wahrscheinlichkeitsmaße gezeigt. Zuerst wird mittels der Transportabbildung eine ganze Familie von Transportabbildungen definiert. Diese Familie von Abbildungen erlaubt es dann Geodäten auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren. In Abschnitt 6 werden diesen Geodäten Vektorfelder zugeordnet und mittels dieser Vektorfelder auch Geschwindigkeitsvektoren. In Abschnitt 7 wird dann mit Hilfe der Benamou-Brenier-Formel eine Norm (bzw. inneres Produkt) von Geschwindigkeitsvektoren definiert. Dieses innere Produkt ist von zentralem Interesse. Mit Hilfe dieses Produktes wird dann (formal) eine differenzierbare Struktur, im Sinne der Riemannschen Geometrie, auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße definiert. Die Notation für diese Geometrie wird in Abschnitt 9 festgelegt. Danach folgen einige Beispiele. Es werden die Gradienten verschiedener Funktionale berechnet. Eines dieser Beispiele (die Fisherinformation) ist auch für den weiteren Teil der Arbeit von höchstem Interesse. Um eine Verbindung der Schrödinger Gleichung zu der von uns angestrebten Newtonschen Gleichung herzustellen ist ein Zwischenschritt erforderlich. In Abschnitt 11 wird ein auf Erwin Madelung zurückgehendes Resultat vorgestellt. Es zeigt, dass die Schrödinger Gleichung in ein System von Gleichungen (eine Hamiltion -Jacobi und eine Kontinuitätsgleichung) umgeschrieben werden kann. Die zentrale Aussage erfolgt dann in Theorem 16. Es wird gezeigt, dass eine Newtonsche Gleichung auf deren rechten Seite ein spezielles Potential steht zu den Madelunggleichungen äquivalent ist. Das angesprochene Potential besteht aus einem klassischen Potential und der sogenannten Fisherinformation. Im letzten Teil der Arbeit wird die Äquivalenz der Gleichungen mittels der Methoden der symplektischen Geometrie gezeigt, um die Aussage in aller Allgemeinheit dar zu stellen.
ZusammenfassungWenn man es mit Korpuskeln hoher Relativgeschwindigkeit zu tun hat — d.h. in dem Fall, wo die klassische Physik an Stelle der Newtonschen Gleichungen die relativistischen Gleichungen verwenden würde — kann die Quantenmechanik nicht mehr so ohne weiteres herangezogen werden. Ihre Formulierung muß erweitert werden. Jedoch bleiben ihre Basisaxiome gültig, und die grundsätzlichen Probleme bei ihrer Deutung sind dieselben wie in der nicht-relativistischen Physik. Der einzige wesentliche Punkt, den man hier erwähnen muß, ist der, daß allein die relativistischen Phänomene der Materie die Möglichkeit geben, sich in Energie umzuwandeln und umgekehrt. Es ist folglich nicht mehr gestattet, die Elementarteilchen als stabile Bestandteile des Universums aufzufassen, die in Ewigkeit existieren und agieren. Es ist daher nicht mehr möglich, zwischen der Existenz eines Teilchens und seinen übrigen Eigenschaften eine deutliche, ebenso qualitative wie fundamentale Unterscheidung zu treffen. Von nun ab hat die Theorie selbst in der Existenz eines Teilchens (oder eines Teilchenpaares) genauso wie in seiner Lage, seiner Geschwindigkeit usw. nahezu eine Art physikalische Eigenschaft zu sehen (nicht des Teilchens, sondern irgendeines Grundelementes). Die Teilchen sind selbst „physikalische Eigenschaften“. Diese Tatsache — daß unter die Eigenschaften eines physikalischen Systems auf gewisse Art auch dessen Existenz zu zählen ist — ist in der Folge beizubehalten. Dies ist genau genommen von allen aus der relativistischen Quantenmechanik herrührenden Tatsachen die einzige, die man zu berücksichtigen hat.
Polarone sind Quasiteilchen, die durch die Wechselwirkung von Elektronen mit Gitterschwingungen entstehen. In der Physik der kondensierten Materie spielen Polarone für viele Systeme eine zentrale Rolle, da sie sowohl Transporteigenschaften als auch optische und supraleitende Eigenschaften maßgeblich beeinflussen können. Es ist deshalb von großer Bedeutung für die theoretische Festkörperphysik, das Verhalten von Polaronen in unterschiedlichen Kopplungsregimen und für verschiedene Wechselwirkungsmechanismen zu verstehen. Die vorliegende Dissertation untersucht verschiedene Polaronmodelle mit Hilfe von analytischen Herleitungen und numerischen Simulationen basierend auf der diagrammatischen Monte-Carlo-Methode (DiagMC). Die Arbeit konzentriert sich dabei auf drei repräsentative Modelle in der Elektron-Phonon-Physik: (i) das historisch wichtige große Fröhlich-Polaron, (ii) das akustische Gitterpolaron, und (iii) das quadratische Polaron. Für das zwei- und dreidimensionale Fröhlich-Polaron werden Grundzustandsenergien, effektive Massen und Dispersionsrelationen präsentiert. Die Ergebnisse werden sowohl mit dem Pfadintegralansatz von Feynman als auch mit bekannten Störungstheorien für das schwache und starke Wechselwirkungsregime verglichen und zur Überprüfung exakter Skalierungsrelationen verwendet. Der zweite Teil dieser Dissertation untersucht das akustische Gitterpolaron, bei dem das Elektron über ein Deformationspotential mit einem akustischen Phononenzweig wechselwirkt. Die Simulationen zeigen eine Selbstlokalisierungsregion, die das schwache und starke Kopplungsregime trennt und durch eine quantenmechanische Resonanz verschiedener Gitterverzerrungen gekennzeichnet ist. Das resultierende Quasiteilchen besitzt eine zusammengesetzte Phononenwolke, welche aus dem Zusammenspiel lang- und kurzwelliger Gitterschwingungen entsteht. Dies führt zur Ausbildung mehrerer konkurrierender Polaronzustände sowie zu einer komplexen spektralen und optischen Antwort, die sich deutlich von zuvor untersuchten Polaronmodellen unterscheidet. Abschließend werden Polarone mit quadratischer Kopplung an Gitterauslenkungen untersucht. Im Gegensatz zu linearen Modellen reagiert das Quasiteilchen weitgehend unempfindlich auf starke quadratische Wechselwirkungen, außer in der Nähe der Instabilitätsschwelle. Die Polaroneigenschaften hängen hauptsächlich vom adiabatischen Verhältnis ab und kaum von der Elektronendispersion oder der räumlichen Dimension des Modells. Außerdem sind die Gitterverzerrungen nur schwach ausgeprägt, selbst nahe der Instabilitätsschwelle. Zusammenfassend liefern die Ergebnisse dieser Dissertation neue Referenzwerte für verschiedene Polaronmodelle und tragen zum Verständnis der Elektron-Phonon-Physik in polarisierbaren Materialien bei.