Abstract Die drei Newtonschen Axiome einerseits und das Gravitationsgesetz andererseits bilden in der klassischen Mechanik zwei völlig unabhängige Aussagen. Im folgenden soll darauf hingewiesen werden, daß diese Unabhängigkeit sehr vermindert wird, wenn von vornherein quantenmechanisch denkt.
Die Gesetze der klassischen Mechanik und nach ihrem Vorbild die der ganzen klassischen Physik sind so beschaffen, daß, wenn die Variablen eines abgeschlossenen Systems in einem Anfangszeitpunkt gegeben sind, sie für jede andere Zeit berechnet werden können — wenigstens im Prinzip; denn die mathematische Durchführung übersteigt in den meisten Fällen mensch= liche Kräfte. Dieser deterministische Gedanke hat eine große Anziehungs= kraft auf viele Denker ausgeübt und wurde zu einem wesentlichen Teil der naturwissenschaftlichen Philosophie. Die moderne Physik aber hat den Determinismus mit andern überkommenen Lehren über Raum, Zeit und Materie unter dem Druck neuer empirischer Erkenntnisse aufgeben müssen. Die Quantenmechanik, die an die Stelle der Newtonschen Mechanik getreten ist, erlaubt nur statistische Aussagen über das Verhalten von Masse= teilchen. Die große Mehrzahl der Physiker hat sich mit dieser Sachlage abgefunden; denn sie entspricht genau der empirischen Situation in der Atom= und Kernphysik, wo die Experimente im wesentlichen auf Zählun= gen von Ereignissen beruhen. Unter den Theoretikern aber sind einige, die sich damit nicht zufrieden geben, und zwar sind es gerade einige der großen Männer, denen die Quantentheorie ihre Entstehung und Entwick= lung verdankt. Soviel ich weiß, war Planck selbst immer skeptisch gegen über der statistischen Deutung der Quantenmechanik. Von Einstein gilt das gleiche; er hat bis heute nicht aufgegeben, den Widersinn dieser Deu= tung durch raffinierte Beispiele nachzuweisen (wobei er übrigens noch mehr Anstoß nimmt an der Auflösung des Begriffs der physikalischen Realität, die mit der Aufgabe des Determinismus eng zusammenhängt). Schrödinger geht noch weiter und schlägt vor, den Begriff von Teilchen (Elektronen, Kernen, Atomen etc.) zu opfern und die Physik ganz und gar auf die Vorstellung von Wellen aufzubauen, die dann nach der Wellen= mechanik deterministischen Gesetzen gehorchen. de Broglie (und andere) gehen den umgekehrten Weg; sie verwerfen die Wellen und versuchen eine Umdeutung der Quantenmechanik, bei der im Prinzip alles determiniert ist und nur durch das Vorhandensein verborgener, nicht beobachtbarer Para= meter eine Unbestimmtheit der Vorhersagen entsteht. — Keiner von ihnen leugnet, daß die Quantenmechanik im Bereiche ihrer Zuständigkeit (d. h. abgesehen von der Theorie der Elementarteilchen) im Einklang mit der Er= fahrung ist und allen Anforderungen der Experimentatoren genügt. Die Ablehnung wird in jedem Falle damit begründet, daß die übliche Deutung der Quantenformeln unklar und philosophisch unbefriedigend ist.
Gegen Ende des 19. Jh. machten drei grundlegende Beobachtungen deutlich, daß die klassische Mechanik bei Anwendung auf molekulare oder atomare Phänomene keine korrekten Resultate liefern kann. Diese Experimente beruhten auf Beobachtungen der Atomspektren, der Strahlung des schwarzen Körpers und des lichtelektrischen Effekts. Im folgenden Abschnitt wird jedes dieser Experimente diskutiert und gezeigt, wie die grundlegenden Annahmen der klassischen Mechanik modifiziert werden müssen10). Unter diesem Aspekt wird die Quantenmechanik mit einer Reihe von Postulaten eingeführt. Diese Postulate werden dann auf die Berechnung einiger einfacher Systeme angewandt.
Im Sommer des Jahres 1965 fand an der Washingtoner Universität in Seattle eine Konferenz über neue Lehrmethoden in der Physik statt.Bei einer vorbereitenden Planungsdiskussion wurde darauf hingewiesen, daß viele Studenten beim Erfassen einiger Begriffe der modernen Physik Schwierigkeiten haben, insbesondere bei denen der Quantentheorie, und daß eine Wiederholung der experimentellen Grundlagen nützlich wäre.Mit diesem Buch wird versucht, dem gerecht zu werden.Die Auswahl der zu berücksichtigenden Experimente ist zwangsläufig willkürlich.Selbstverständlich werden die Vorstellungen der Quantentheorie stark betont, da sie sehr oft dem "gesunden Menschenverstand" widersprechen.Andererseits ist die spezielle Relativitätstheorie, obwohl sie in ähnlicher Weise dem "gesunden Menschenverstand" widerspricht, nicht berücksichtigt, weil sie sich erstens fast vollständig auf ein einziges Experiment stützt, das zu gut bekannt ist, um hier wiederholt zu werden, und weil sie zweitens im Momentum Book, Band 9, An Introduction to the Special Theory of Relativity, von ROBBET KATZ treffend dargestellt ist.Untersuchungen der Eigenschaften des Elektrons sind zweifellos ebenfalls wichtig.Sie sind aber im Momentum Book, Band 3, The Discovery of the Electron, von DAVID L. ANDERSON enthalten.Dieses Buch kann mit unterschiedlichen Vorkenntnissen gelesen werden.Es ist so geschrieben, daß es für Abiturienten und Studenten der ersten Semester verständlich ist, wenn sie über Grundkenntnisse der klassischen Physik verfügen.Die Ausführungen sollen ihnen erleichtern, die mitunter paradoxen Vorstellungen, auf denen die moderne Physik aufbaut, zu erfassen.Das Buch kann aber auch für Studenten höherer Semester, die ihr Wissen in einen besseren historischen Rahmen einbetten möchten, nützlich sein.Deshalb ist versucht worden, jedes Experiment -mit einer Ausnahme, auf die ausdrücklich hingewiesen wird -vom Standpunkt eines Physikers jener Zeit darzustellen und die Experimente hinreichend ausführlich zu
Den eigentlichen Inhalt einer physikalischen Theorie erkennt man nicht so sehr aus den mathematischen, technischen Hilfsmitteln, deren sie sich bedient, sondern viel eher aus den neuen Begriffsbildungen, zu denen sie Anlaß gibt. Die Quantenmechanik führt neue Begriffe in die Kinematik und Mechanik sehr kleiner Massen ein. Bis vor 20 Jahren wurde die Newlonsche Mechanik als die Grundlage aller exakten Physik angesehen. Die Relativitätstheorie hat dann unsere Begriffe von Baum und Zeit abgeändert und erweitert und gezeigt, daß auf Grund der neuen Begriffe die Newlonsche Mechanik für große Bäume und Zeiten durch eine andere »relativistische« Mechanik zu ersetzen sei.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.